赌本的公平分配

浅谈赌博问题中赌本的公平分配

1、 绪论

1．1 综述

公平分配赌本问题的大意是：甲、乙两人各拿出相同的一份赌注来赌博，赌博形式是同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理？这个问题相传是1645年法国著名数学家巴斯卡(Pas—cal)和费马(P·Fermae)多次书信来往中讨论的一个问题。费马与巴斯卡进行了几次通信，不仅完全地解决了这个古老的赌博难题，还为解决其他机会性游戏搭起了框架，于是后人把他们建立通信联系的这一天看作是现代概率论的生日，概率论即由此而产生了。

概率论作为一门独立的数学分支，是一门研究随机现象的数量规律的学科。从它的起源至近并没有多长的时间，但是，在这段时期，特别是近期，概率论对人类社会的影响却异常重要的。它已被广泛的应用于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术等诸多方面，近期更是有越来越多的概率论方法被引入经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。而概率论引入统计后，更使统计方法体系越来越严谨、广博，并形成具有自身特点的认识模式，即以概率论为基础的统计思想体系，使统计由描述走向推断。

概率论起源于15-16世纪时对赌博问题的研究，通过对其中概率问题研究讨论，才使概率论逐渐发展成一门逐渐成型的学科。而它真正的奠基人是雅格布·伯努利（Jacob Bernoulli,1654-1705），他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，此书成为概率论的第一本专著，在概率论发展史上占有重要地位。由他的名字命名的伯努利试验和伯努利概型更是成为概率论中的经典。之后又有棣莫弗、蒲丰、拉普拉斯、高斯、泊松、切贝谢夫和马尔可夫等诸多名家对概率论做出了许多工作，使得概率论开始形成了一门严密、系统的学科。

伯努利概型是概率论中研究得最多的一种数学模型，尽管它比较简单，却也概括了许多实际问题，因而很有实用价值。而巴斯卡分布又作为伯努利概型中一个重要的分布形式，是一种非常简单、常用的随机模型，被广泛的应用于产品检验和质量控制中。所以，我们现在来研究这个赌博问题，研究巴斯卡分布是很有必要的。

那么，就让我们从巴斯卡和费马的方法开始，来慢慢解答这个曾经困扰了世界多年的问题，同时，我也将尝试着用现在已学到的概率论的知识来补充当年他

们没做完的一些事，并充分的介绍一下巴斯卡分布。

1．2 基础知识

1、巴斯卡分布：

巴斯卡分布既然是属于伯努利概型，所以首先它便是满足伯努利试验中的一些规律：在试验中，事件域可取为{?，A，A，?}，并称出现A为“成功”，出现A为“失败”。这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。在伯努利试验中，首先是要给出下面概率：P(A)?p，P(A)?q。显然p≥0，q≥0，且p+q=1。而巴斯卡分布的基本模型为：

?k?1?rk?rf(k;r,p)???r?1??pq，k=r，r+1，?

??其描述的内容为考察在伯努利试验中要多长时间才会出现第r次成功。

首先，若第r次成功发生在第ξ次试验，则必然有ξ≥r。我们以Ck表示第r次成功发生在第k次试验这一事件，并以f（k；r，p）记其概率，Ck发生当且仅当前面的k-1次试验中有r-1次成功，k-r次失败，而第k次实验的结果为成功，

?k?1?r?1k?r这些事件的概率分别为??r?1??pq与p，于是利用试验的独立性，得到

???k?1?r?1k?r?k?1?rk?rP?Ck???pq?p????pq

?r?1??r?1?即

?k?1?rk?rf(k;r,p)???r?1??pq，k=r，r+1，?

??注意到

?k?1?rk?r?f(k;r,p)????r?1??pq

k?rk?r??????r?l?1?rl??r?lrl ????r?1??pq????l??(?1)pq

l?0?l?0???? ?pr(1?q)?r?1，l=k-r

??r?l?r?l?1???这里利用了推广的二项系数公式??(?1)?l??l??。证明如下：

????l?r(?r?1)(?r?2)???r?l?1???r?A?r ????l!?l?l!(?1)l?r?l?1??r?l?2???r?1?r ?

l!Arl?l?1l?r?l?1? ?(?1)?(?1)??

ll!??l即得所求。

2、巴斯卡分布的期望和方差：

因为当r=1时，该分布便成为几何分布，所以巴斯卡分布期望方差的计算可以依赖于几何分布的结果，而几何分布的期望方差又可通过对其矩母函数的求导来得出。

如果随机变量X1服从参数为p的几何分布，则可以通过对其矩母函数的求导得：

E?X1???1'?0??2qq'? ,Var?X1???1''?0????0???12??pp现在由概率论的知识可知，假定X服从参数为r和p的巴斯卡分布，则X可以表示成r个独立随机变量的和X1???Xr，且每个随机变量均与X1是有相同的分布，则由几何分布的结果得：E?X??显然，当0

rqrq,Var?X??2。 pp2、 巴斯卡与费马的通信

2．1 如何公平分配赌本

对于这个问题，也许有人说：甲应该得到全部的100法郎，因为这个赌博只有两种结果，而现在甲领先；又有人说：既然比分是2：1，那么甲应该得到赌金的2/3，乙得另外的1/3。但真实情况是怎样的呢？

据说对于这个赌本问题，巴斯卡和费马共有7封来往信件，其中巴斯卡致费马的有三封。不管真实情况是怎样的，总之他们都给出了自己的答案，虽然是两份看似不同的答案，但他们都不约而同的运用到了组合工具和递推公式，使得问题能顺利解决且直接推导出了雏形的巴斯卡分布函数。

巴斯卡的做法是：可以先认为甲、乙两人赢得一局的概率相同，都是1/2，那么就可以从第四局开始计算了。甲有两种情况获胜，即直接赢了第四局获胜，

它发生的概率为1/2。另一种情况是第四局输了但第五局赢了，它发生的概率为乙赢得第四局的概率乘上甲赢得第五局的概率，为1/2*1/2，则甲获胜的概率为1/2+1/2*1/2=3/4。同理，可计算出乙获胜的概率为1/4，这也正是两人公平分配赌本的方式。

费马的做法是：也先需设双方赢得一局的概率相同，都是1/2。之后显然最多再比两局便可分出胜负了，其中甲要获胜，只需在这两局中赢下一局即可。此

1?22?2时费马想到的是二项分布，即有甲获胜的概率为C22?C22?3/4，乙要获胜2?2则必须连赢两局，其概率为C22?1/4，得到了与巴斯卡相同的答案。

这两种方法有着明显的相同点，而且由此推出的结果的计算式子都是一样的，这多少让人看的有些眼花缭乱。其实这是再正常不过的了，因为他们只是从不同的角度出发，最终推出的都是解决此类问题的巴斯卡分布概率。那么巴斯卡和费马的推导又到底有那些不同，这个赌本问题就只是这样简单吗？显然两位学者并不想就此放弃向深处探讨的机会，否则他们也就成为不了伟大的学者。

2．2 巴斯卡与费马的通信

现在让我们再回到那个分赌本的问题，在给定输赢局数的情况下，巴斯卡和费马都解出了相同的答案，但他们并不仅仅满足于此，他们分别用自己的方法将此问题推广开来，使问题在输赢局数不给定的情况下也有了它的解法，这才是他们真正伟大和有区别之处了。

首先，我们可以把问题假设为：甲、乙两人各拿出相同的一份赌注来赌博，赌博形式是同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满t点者赢取全部赌注。假定在甲得r点、乙得s点（r

显然，根据以上所介绍的内容，若以n=t-r及m=t-s分别记甲及乙为达到最后胜利所须再胜的局数，又设甲在每局中取胜的概率仍为1/2，我们便可以把分赌本问题归结为如下概率问题：在伯努利试验中，求在出现m次A之前出现n次A的概率。（A为甲胜，A为乙胜）。若以p甲记上述概率，则它为甲最终取胜的概率，那么赌本以p甲：1-p甲分配是公平合理的。此时再来看巴斯卡和费马的方法，便可很容易的看出里面的一些不同之处了。

在解决这个问题上，巴斯卡首先接受了一些前人的观点，即公平地分配赌本的原则只与双方为获胜所需赢得的局数n，m有关。设e?n,m?为A最终取胜的概率，总赌本为1，则e?n,m?既是A获胜的概率，又是期望，同时还是A应获得的总赌本的比例。为了得到e?n,m?，巴斯卡考察了几个简单的情况，如下表：

(1) (2) (3) (4) (5) (6) n 0 k 1 1 1 2 m k>0 k 2 3 4 3 e?n?1,m? 1 1 1 7/8 e?n,m?1? 1/2 3/4 7/8 1/2 e?n,m? 1 1/2 3/4 7/8 15/16 11/16 通过细心观察，巴斯卡很快发现其中的规律，并认为对一般情况也成立，即：

11e?n,m?=e?n?1,m?+e?n,m?1? （1-1）

22边界条件为：

e?0,k??1,e?k,k??1/2,e?n,0??0

上式是一个简单的偏微分方程，也是一个递归方程。它非常类似算术三角形

kk?k1的一个性质： Cn?1?Cn?Cn

巴斯卡对算术三角形的这个性质当然非常熟悉，于是他 令 e?n,m?=Cnn?m?Cnm?m， 便猜出

1n?m?1k， （1-2） ()e?n,m?=?Cn?m?12k?0m?1并且证明了他的猜想。实际上，式1-1是一个全概率公式的简单应用，即如果赌博不被打断，双方再赌一局，则A以1/2的概率或胜或败，因此式1-1成立。

费马考虑了一个简单的情况，?n,m?=（2，3）。虽然赌博最多需进行2+3-1=4局才结束，但也可能在这之前就结束。不过费马认为想象赌博共进行4局并不影响赌本的分配结果，这一点可从下表中看出： 第一局结果 第二局结果 第三局结果 第四局结果 最终结果 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 从表中可以看出，在总共16种结果中，有4种甲在第二局胜出；有4种甲在第三局中胜出；有3种甲在第四局胜出。据此费马得出结论：

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