高考最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学试题及解答（WORD版） 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P(A?B)?P(A)?P(B)球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V?43?R 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k

一．选择题

（1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为 （A）

???? （B） （C） （D） 6432（2）设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则

（A）M?N?? （B）M?N?M （C）M?N?M （D）M?N?R （3）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则 （A）f(2x)=e2x(x?R) （B）f(2x)=ln2lnx(x>0) （C）f(2x)=2e2x(x?R) （D）f(2x)=lnx+ln2(x>0) （4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m= （A）-

11 （B）-4 (C)4 （D） 44（5）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4=

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （6）函数f(x)=tan(x+

?)的单调递增区间为 4

??,k?+),k?Z （B）(k?,(k+1)?),k?Z 223???3?（C）(k?-,k?+),k?Z （D）(k?-,k?+),k?Z 4444（A）(k?-（7）从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 （A）

133 （B） （C） （D）0

522（8）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB= （A）

1322 （B） （C） （D） 4443（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A）16? （B）20? （C）24? （D）32? （10）在（x-

110

）的展开式中，x4的系数为 2x（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15

（11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是 （A）

478 （B） （C） （D）3

535（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许

折断),能够得到期的三角形面积的最大值为

（A）85cm2 （B）610cm2 （C）355cm2 （D）20cm2

第Ⅱ卷

二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）已知函数f(x)=a-

1,若f(x)为奇函数，则a=___________。 2x?1（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于_____________。

?2x?y?1?（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件?3x?2y?23，则z的最大值为__________

?y?1?（16）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 已知{an}为等差数列,a3=2,a2+a4=

20,求{an}的通项公式. 3

（18）（本大题满分12分）

△ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos

B?C取得最大值,并求出这个最2大值

（19）（本大题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为服用B有郊的概率为

2，31. 2（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;

（Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.

（20）（本大题满分12分）

如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，

l1 AM=MB=MN （I）证明AC?NB

（II）若?ACB?60，求NB与平面ABC所成角的余弦值

（21）（本大题满分12分）

?l2 C

A M B N

x22设P为椭圆2?y?1(a>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值

a

（22）（本大题满分14分）

设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-?,0)和(1,?)都是增函数,求a的最值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

参考答案

一、选择题:1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.A12.B 1π

二、填空题:13.14. 15.1116.2400

23三、解答题:

a32

17.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q

qq2201

所以+2q=,解得q1=,q2=3,

q33

11－18－

当q1=,a1=18.所以an=18×()n1=n－1=2×33n.

33322－

当q=3时,a1= ,所以an= ×3n－1=2×3n3.

99

B+CπAB+CA

18.解:由A+B+C=π,得= －,所以有cos=sin.

22222B+CAAA

cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin 2222A13

=－2(sin－)2+

222

πA1B+C3

当sin=,即A= 时,cosA+2cos取得最大值为 22322

19.解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\124224111依题意有:P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P(B0)=×=,

339339224111

P(B1)=2××=,所求概率为:P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)

2221414144=×+×+×= 4949299

4604

(Ⅱ)所求概率为:P=1－(1－)3=

9729

20.解法一:(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的

l1

射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面

A ABC所成的角. M 3

AB

HB36

在Rt△NHB中,cos∠NBH===.

NB23

AB2

解法二:如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN.l2平行→→

于z轴.故可设C(0,1,m).于是AC=(1,1,m),NB=(1,－1,0).∴→→

AC·NB=1+(－1)+0=0∴AC⊥NB.

→→→→

(Ⅱ)∵AC=(1,1,m),BC=(－1,1,m),∴|AC|=|BC|,又已知∠

ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB=2,可得NC=2,故C(0,1,2).

→

连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ,2λ)(λ>0).∴HN=(0,1－λ,－2λ), 1→→→

MC=(0,1,2).HN·MC=1－λ－2λ=0,∴λ=,

3

122212→→

∴H(0,,),可得HN=(0,,－),连结BH,则BH=(－1,,),

333333

22→→→→

∵HN·BH=0+－=0,∴HN⊥BH,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

99→

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(－1,1,0), 4

→→

3BH·BN6

∴cos∠NBH= = =

23→→

|BH|·|BN|×2

3

21.解:依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=x2+(y－1)2 ,又因为Q在椭圆上, 所以,x2=a2(1－y2),|PQ|2=a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2

l1 A M B x H y N H N

B l2 C

l2 z C

=(1－a2)(y－1212

2)－2+1+a. 1－a1－a

a2a2－111

因为|y|≤1,a>1,若a≥2,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值2 ;

1－a21－a2a－1若1

22.解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2. (ⅰ)若△=12－8a2=0,即a=±数.所以a=±

6

. 2

6aa

,当x∈(－∞,),或x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函233

3

(ⅱ)若△=12－8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a2>,

2即a∈(－∞,－66

)∪(,+∞) 22

2

a－3－2a2a+3－2a266(ⅲ)若△12－8a>0,即－

当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥3－2a2 ,解得1≤a<由x2≤1得3－2a2 ≤3－a,解得－综上,a的取值范围为(－∞,－

6

2

666

6666

]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞). 2222

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