《材料力学》i截面的几何性质习题解

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）

解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+??=?=

（b ） 解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =?

?=?= （c ）

解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-??=?= （d ）

解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-??=?=

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为：

θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2

半圆对x 轴的静矩为：

3

2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300

2

r r x d dx x S r r

x =--?=-?=?=??

πθθθπ

π

因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π

34r

y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边

上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右

150 20 3000 75 225000

14000

1730000

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai

(b) 解：

(c)

解：

[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩x I、y I和惯性积xy I。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(

四分之一圆对x 轴的惯性矩为：

???-?==2/0042/02

0322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r r

x )]2(2cos 21[2142/02/0

4θθθππd d r ??-?= }]2[sin 2

12{82/04πθπ-=r 164

r ?=π

由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：

164

r I I x y ?==π

微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：

xydA dI xy =

8

)42(21]42[21)(2144404222200022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r x r r xy =-=-=-==???- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：

222r y x =+

如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为： dy y r dA 222-=

切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：

dy y r y I r r x 22sin sin 22-=?-α

α

αα

sin sin 42222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -??????+--= )4sin 4

1(24αα-=r )4sin 4(8

4

αα-=r 222

1100)20100(=-+x

360021=x

)(601mm x = 3

46020100tan =-=

α )(927.013.5334arctan 0rad ===α )(10963.3)52.212sin 927.04(8

1004704

mm I x ?=-?= [习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。

dy y dz dy y dz dA y I a a z a

z a z a

z a A

z ?

?

?

?

?+

--+

---+==2

20

2

22

2222222

2

2

2

][22

20

2

20

22

20

2

2

2dy y dz dy y dz a a z a z a ?

?

?

?

+

-+

-+?=

[]

[]

][322

20

2

20

3

222

20

3

?

?+

--+

+?=a a z a

a z dz y dz y

])2

2()22()22()22([3222

030223??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z a a a z a z 2

2

40

2

244)22(324)22(32????????????+--????????????+?=-

=???

?

??+16163244a a 12

4

a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：12

4

a I z =。

[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。

(a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=

απ (b) )(9044999915090121210150121433mm I x =??-??=

[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心

轴 的惯性矩

所以

再次应用平行轴定理，得

[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩

再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 632。 利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩

)(657600002)101201151012012

1(104.34237mm I z =???+??+?= （b ）等边角钢

的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是 mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下： 习题I-11（b ）图

图形

b h Ix

c a A Ix 中间矩形 10 600 0 0 6000 0

上矩形 250 10 20833 305 2500 3 下矩形 250 10 20833 305 2500 3 左上L 形 1795100 1926 5 右上L 形 1795100 1926 5 左下L 形 1795100 1926 5 右下L 形

1795100

1926

5 A a I I xc x 2+=

45

[习题I-12] 试求习题I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩

计算如下：

[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x 的惯性矩。

习题I-13(d)

图形

bi

hi

Ai

Yci

AiYci

Yc ai Ixci

Ix(mm 4

)

从下往上

220 16 3520 8 28160 374 75093 3 180

14 2520 23 57960 359 41160 0 16 674 10784 367 3957728 0

9

9 220 14 3080 711 2189880 329 50307 7 445 9

4005

2893613 341 27034 5

23909

9127341

382

14

[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42?的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。

解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y 轴向下为正）

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

（组合图形对形心轴x 的惯性矩）

习题I-14

b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc

ai Ix(a4)

矩

形 4 2

1

-8

圆 4 0 0

-8

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15

图形

bi hi

r

Ai

Yci AiYci

Yc

Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000 3 2 1 半圆 50 -3927 79 -309365 685977

24 2860346 全图

36073

3690635 102

5

π

34100r y c -= π

π9884

4r r I xc -?=

A a I I xc x 2+=

形心位置：X （0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4130686455mm I x =。对竖直形心轴

的惯性矩：

)(13087896685014159.31220081244

444mm r a I y =?-=?-=π 习题I-15

图形

a r Iy （mm 4

） 正方形

200 半圆

50 2454367 全图 6 8

124

4r a I y ?-=π [习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少

解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴

、 的惯性矩是 ， ；横截面积为

；槽钢背到其形心轴 的距离是

。 根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是

； 若

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

于是

所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I

解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则

由平行移轴公式得：

2241)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =??+=+=

故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 224

1h b I xy =

[习题I-18] 图示截面由两个

mm mm mm 10125125??的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截

面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。

解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。过C 点作水平线，

向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的直线为c y 轴向上为正。把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0

45

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。主惯性矩

max 0I I x =，min 0I I y =

查型钢表得：号等边角钢的参数如下：

2373.24cm A = ，4'46.14900cm I I x y ==，4

'89.5730

0cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

cm z a 295.3)5.045.3(212

2

20=+=?+

= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =?+?==

)(114889.57324min 0cm I I y =?==

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。

习题I-17

图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 重复加的矩形 10

10

2500 全图

上图+下图-重复图=

497500

解：12

4

a I x = 12

4

a I y = 0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）

12

00212122sin 2cos 2244

41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα 12

00212122sin 2cos 2244

41a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα 0002cos 2sin 211=-=+-=

ααxy y

x y x I I I I 结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；

2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。

[习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a ）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

)(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =?-??+???-+??=)(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =??+???-+??=)(2592000002]40200)2

202200()2402400([4mm I xy -=???-?--= 3164.16

.1813466665.575146666)259200000()2(22tan 0=--?-=--=y x xy

I I I α '47523164.1arctan 200==α

'242600=α

Ix

Iy Ixy

-0 Ix0= 7 -0 Iy0=

224)(2

120

xy y x y x y x I I I I I I I +-±+=

(b)

解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。8号槽钢编号

为图II 。则组合截面的形心计算如下：

习题I-20(b) 长度单位:cm

图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 10 64 II 16 -15 全图

习题I-20（b ）

图

形 Ai

i a

bi

Ixci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0 a0 Ix0 Iy0

I

1981 165 0

II 0

全

图

2296 249 0

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mm r 100 。

解：圆的方程为：

222100=+y x

把y 轴的半径10等分，即mm 10=δ。过等分点，作x 轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y 坐标与x 坐标如下表所示。

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯

性积绝对值为724a I xy =（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

解: b

y b h z )(-= 24)(222202200h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b

z A yz =-=??????==??

?? 72

23324)3)(3(2222h b bh h b h b A h b I I yz z y C C -=??-=-= 令a h b ==得:72||4

a I C

C z y =.

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