2012年北京市中考数学二模分类汇编

2012年北京市中考数学二模分类汇编——圆

（一）与圆有关的填空选择题

1.（西城3）若⊙O1与⊙O2内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距O1O2的结论正确

的是A

A.O1O2=5 B.O1O2=11 C.O1O2＞11 D. 5＜O1O2＜11

2.（延庆） 如图,⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD?弦BC于点D,OD?1,则?BAC的度数是B

A．55° B．60° C．65° D．70°

3.（通州7）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=60，则sin∠BDC的值为（ ）

12o

A． B．

33 C．

22 D．

32

4.（丰台11）如图, ⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD?弦BC于点D， 如果OD?1，那么

?BAC?________?．60°

AABODCBODC355.（西城6）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，cos?BOD? A . 20 B. 16 C. 12 D. 8

， 则AB的长是

6.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为

A．7个单位 B．6个单位 C．5个单位 D．4个单位

B

F

OEA 7.（怀柔5）一条排污水管的横截面如图所示，已知排污水管的横截面圆半径OB=5m，横截面的圆心O到污水面的距离OC=3m，则污水面宽AB等于A

A．8m B．10m C．12m D．16m

OD?BC于D，:C8.（密云7）如图，AB是半⊙O的直径，C是⊙O上一点，若ACB?4:3，AB?10cm，

则OD的长为

A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

- 1 -

C9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为D

A．6π B．4π C．3π D．2π

10.（平谷11）如图，在⊙O中，直径AB=6，∠CAB=40°，则阴影部分的面积是 ．

AOB11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．?

3212.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇

形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．

13．（延庆）如图，点A、B、C在直径为23的⊙O上，?BAC?45°，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留π）

3π4?32第12题图

14.（西城8）如图，在矩形ABCD中，AB?3，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C顺时针旋转90°得到矩形

A?B?CD?，则

AD边扫过的面积(阴影部分)为 13 A .

12π B. π C.

11π D. π 4515.（东城12） 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以圆心O为顶点作 ∠MON，使∠MON＝90°，

OM、ON分别与⊙O交于点E、F，与正方形ABCD的边交于点G、H, 则由OE、OF、⌒EF及正方形ABCD的边围

成的图形(阴影部分)的面积S= ．??2

A

C

B

?OC及边AC所围AOB、B16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC中，若将两条含120?圆心角的 ?成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积比是 ______ ． 17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）

A．132π平方厘米 B．123π平方厘米 C．25π平方厘米 D．无法计算

18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ． 19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（D ）.

A．15? B．14? C．13? D．12?

20.(西城11)如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形

纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm．

- 2 -

（二）与圆有关的计算问题

1.怀柔20. 如图，点D在⊙O直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积. 20.（1）证明：连结OC.………………1分

?∵ AC，?， ACD?120?CD?∴ ?.……………2分 A??D?30?∵ OA,∴ ?. 2??A?30?OC?∴ ?. OCD??ACD??2?90∴ CD是⊙O的切线. ………………………………3分 ?（2）解:∵∠A=30o， ∴ ?. 1??2A?6020题图 60??22∴ Sπ. ……………………4分 ??扇形OBC33602在Rt△OCD中, CD?OC?tan60??23. ∴SRt?OCD?12OC?CD?12?2?23?23. 232.（石景山21）已知：如图，M是⊙O的直径AB上任意一点，过点M作AB的垂线MP，D是MP的

延长线上一点，联结AD交⊙O于点C，且PD?PC． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

∴ 图中阴影部分的面积为23?π. ……………5分

（2）若tanD?22，OA?3，过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N．求弦AN的长．

解：21.（1）联结CO, …………………………1分 ∵DM⊥AB∴∠D+∠A=90°∵PD?PC∴∠D=∠PCD ∵OC=OA∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90°∴PC⊥OC ∴直线PC是⊙O的切线 ……………………2分 （2）过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN⊥OC,设垂足是Q ∴Rt△CQA中∴tan?QAC?tanD?∴设CQ=x，AQ=2x ∴OQ=3?x ∵OA2BDPCAMO22

?OQ22222?AQ∴3?(2x)?(3?x)解得x?2

∴AQ?22∴AN?2AQ?42 ∴CD?AC?AD22?163……………… 5分

3.（门头沟20） 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D. (1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长. 20.(1)证明：连接OC,

∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分 ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD为⊙O的切线． …………………………2分

(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC=FD，OF=CD.

- 3 -

BPDACOE∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ……………………3分 ∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2. 即(5?x)2?(6?x)2?25，化简得：x2?11x?18?0

解得x?2或x?9（舍）.∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB， AB=2AF=6.

4.（通州20）已知：如图直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径

AB．

（1）求证：AC平分∠DAB．

（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径． 20. 答案：(1)连结OC

∵DC切⊙O于C∴OC⊥DC

又∵PA⊥DC∴ OC∥PA∴∠PAC=∠OCA

又 OC=OA∴ ∠OCA=∠OAC∴∠PAC=∠OAC∴AC平分∠DAB (2)作OF⊥AE于F，设⊙O的半径为R ……………..(3分)

又∵PA⊥DC OC⊥DC ∴四边形OCDF为矩形∴OF=CD=4 且 DF=OC=R 又 DA=2，∴ AF=DF-AD=R-2……………………………..(4分)

在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2∴ 42+(R-2)2=R2 解得：R=5∴⊙O的直径：2R=10 5.（海淀20）如图，AC、BC是⊙O的弦, BC//AO, AO的延长线与过点C的射线交于点D, 且?D=90?-2?A.

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若BC=4，tanD?12，求CD和AD的长．

AODC20.（1）证明：连结OC.

∴ ∠DOC =2∠A. ∵∠D = 90°?2?A， ∴∠D+∠DOC =90°. ∴ ∠OCD=90°.

∵ OC是⊙O的半径，∴ 直线CD是⊙O的切线. （2）解: 过点O作OE⊥BC于E, 则∠OEC=90?.

∵ BC=4, ∴ CE=

12BBC=2. ∵ BC//AO,∴ ∠OCE=∠DOC.

AODC∵∠COE+∠OCE=90?, ∠D+∠DOC=90?, ∴ ∠COE=∠D.

∵tanD=

12,∴tan?COE?12B.

CEtan?COE2A?4OE∵∠OEC =90?, CE=2,∴OE?.

BCD在Rt △OEC中, 由勾股定理可得 OC?OE?CE?25. 在Rt △ODC中, 由tanD?OCCD?122，得CD?45, …………4分

由勾股定理可得 OD?10. ∴AD?OA?OD?OC?OD?25?10.…………………5分 6.（密云）19．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30?． （1）求∠P的大小； （2）若AB=6，求PA的长．

- 4 -

19． （1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴ PA?AB．∴?BAP?90?-----------------1分 ∵ ∠BAC=30?， ∴ ?PAC?90???BAC?60?．

又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴ PA?PC--------------2分

∴△PAC是等边三角形．∴ ?P?60?． ------------------------3分 ( 2 ) 如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90?． --------4分

在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30?，∴AC?AB?cos?BAC?6cos30?33．

又∵△PAC是等边三角形，∴ PA?AC?33． --------------------------5分

7.（西城区21）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，

取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P. (1)求证：AP是⊙O的切线； 21.(1)证明：连结AO，AC.(如图5)

∵ BC是⊙O的直径， ∴ ?BAC??CAD?90?.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E是CD的中点，∴ CE?DE?AE?

(2)若OC=CP，AB=33，求CD的长.

. ∴ ?ECA??EAC.

∵ OA=OC，∴ ?OAC??OCA. ∵ CD是⊙O的切线，∴ CD⊥OC.

∴ ?ECA??OCA?90?. ∴ ?EAC(2) 解：由(1)知OA⊥AP.

在Rt△OAP中，∵?OAP?90?，OC=CP=OA，即OP=2OA，

∴ sinP?OAOP?1??OAC?90?.

ADEBOCP ∴ OA⊥AP.∵ A是⊙O上一点， ∴ AP是⊙O的切线.

图5 ∴ ?P?30?. ∴ ?AOP?60?. .2 ∵ OC=OA，∴ ?ACO?60?.

在Rt△BAC中，∵?BAC?90?，AB=33，?ACO?60?，

∴ AC?ABtan?ACO?33tan60??3.

又∵ 在Rt△ACD中，?CAD?90?，?ACD?90???ACO?30?， ∴ CD?ACcos?ACD?3cos30??23. ﹍﹍﹍﹍5分

8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C． （1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论； （2）若BC=2，sin

- 5 -

12?APC?13，求PC的长及点C到PA的距离．

BCOPA

20．解：（1）直线PC与⊙O相切．

证明：连结OC，

∵BC∥OP，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4． 又∵OC=OA，OP=OP，∴△POC≌△POA．

∴∠PCO =∠PAO．∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC与⊙O相切．…………… 2分 （2）解：∵△POC≌△POA，∴∠5=∠6=12?APC．∴sin?5?sin1213B31CO4A2P?APC?13．

∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．∴cos?2?sin?5?∵∠3=∠1 =∠2，∴cos?3?13．

．

BCcos?3?213?6．

OCsin?5连结AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =90°．∴AB?∴OA=OB=OC=3，AC?∴PC?OP?OC22AB?BC22?42．∴在Rt△POC中，OP?B31?9．

?62．…………… 4分 C568过点C作CD⊥PA于D，

∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． O24∴∠3=∠8．∴cos?8?cos?3?13P．

13?432．

7AD在Rt△CAD中，AD?AC?cos?8?42? 9.（延庆19）已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=

43CD，求⊙O 的半径。

19. （1）证明：连接BD ……………….…1分 ∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC=90°

∵AB是直径 ∴∠ADB=90°……………….2分 ∴∠ABD=∠C∵OD=OB ∴∠OBD=∠ODB

∵∠AOD=∠ODB+∠OBD∴∠AOD=2∠C ……………….3分 (2)由（1）可知：tanC=tan∠ABD =

43AOB……………….4分

ADBDAD2DC在Rt△ABD中有：tan∠ABD =即

8BD

AOB=

43 ∴BD=6∴AB=?BD2?10

∴半径为5 ……………….……………….5分

10.（丰台20）已知：如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，联结AB交OC于点D，AC=CD． （1）求证：OC⊥OB； （2）如果OD=1，tan∠OCA=

52，求AC的长．

- 6 -

BODAC

20．（1）证明：

∵OA=OB，∴∠B=∠4．

∵CD=AC，∴∠1=∠2．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1． ∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC．……1分

∴∠OAC=90°．∴∠1+∠4=90°．∴∠3+∠B=90°．∴OC⊥OB．……2分 （2）在Rt△OAC中 ，∠OAC=90°， ∵tan∠OCA=

52O3421BDCA， ∴

OAAC?52．……3分 ∴设AC=2x，则AO=5x．

由勾股定理得，OC=3x．

∵AC=CD， ∴AC=CD =2x．∵OD=1， ∴OC=2x+1．

∴2x+1=3x．……4分 ∴x=1． ∴AC=2?1=2．……5分

11.（大兴21）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC,垂足为E，延长

AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

BF（2）若⊙O的半径 为2，AE=3，求BF的长． 21． 解：（1）连接OD．

∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA．

∵AD平分∠BAC∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD． ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC，∴∠DEA=∠FDO=90°∴EF⊥OD．

∴EF是⊙O的切线． ……………………………………2分 （2）设BF为x． ∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF． ∴

ODAE?OFAFAODEC，即

23?x?2x?4． 解得 x=2 ∴BF的长为2． …

12.（昌平20）如图，⊙O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一点，连结AP交⊙O于点D，

点E在OP上且DE=EP ．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

HBEPD（2）作DH?OP于点H，若HE=6，DE=4

3，求⊙O的半径的长．

OA20．（1）证明：连结OD． ……………………… 1分 ∵ OA=OD，∴ ∠A=∠1．

∵ DE=EP， ∴ ∠2=∠P．∵ OA?OB于O，

∴ ∠A+∠P=90°．∴ ∠1+∠2=90°．∴ ∠ODE=90°．即 OD?DE． ∵ OD是⊙O的半径， ∴ DE是⊙O的切线． （2）解：∵DH?OP于点H，∴ ∠DHE=90°． ∴ cos∠3=

DHHEO1HB23EP=

643=

32A．∴ ∠3=30°

D- 7 -

∵ 在Rt△ODE中，tan∠3=

ODDE，∴

OD43=

33．

∴ OD=4.即 ⊙O的半径为4．………………… 5分

13.（朝阳19）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线

HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG. （1）求证：AB⊥CD；

（2）若sin∠HGF＝

34F，BF＝3，求⊙O的半径长.

HCGEBD19. （1）证明：如图，连接OF，

∵HF是⊙O的切线，

∴∠OFH = 90°…………………1分

即∠1 + ∠2 = 90o.

∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF. ∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1. ∵OF =OB，∴∠B = ∠2. ∴∠ B + ∠3 = 90o.

∴∠BEG = 90o.

∴AB⊥CD. ………………………………3分 （2）解：如图，连接AF，

∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，

∴∠AFB = 90o. ………………………………4分 即∠2 +∠4 = 90o. ∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A. 在Rt△AFB中，AB =

BFsin?AAOF142HC3GAOEBD?3=4 . 34∴⊙O的半径长为2. …………………………5分

14.（东城区21）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的⊙O与AD，AC分别交于（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若 DE:EC=1：2, 点E，F，∠ACB=∠DCE ．

BC?2，求⊙O的半径．

21．解：（1）直线CE与⊙O相切 证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD,∠ACB=∠DAC． ∵?ACB??DCE, ∴?DAC??DCE.……1分 连接OE,则?DAC??AEO??DCE.

- 8 -

??DCE??DEC?90,??AEO??DEC?90.

?? ??OEC?90.??2分 ∴直线CE与⊙O相切．

(2)?tan?ACB? ABBC?22,BC?2,6.??3分??AB?BC?tan?ACB???ACB??DCE,?tan?DCE?22,2,AC??DE?DC?tan?DCE?1.在Rt?CDE中,CE?3.??4分

设⊙O的半径为r, 则在Rt?CE O中,CO?CE?EO22222即(6-r)?r?3,解得 r?64.??5分

⌒

15.（平谷20）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E是AD的中点，连结BE交AC于点G，BG的垂直平分线

CF交BG于H交AB于F点.

（1） 求证：BC是⊙O的切线； （2） 若AB=8，BC=6，求BE的长.

EGCD20．（1）证明：连结AE.

∵ BG垂直平分CF， ∴ CB=CG， ∴ ∠1=∠2.

∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠E=90°. ........................................1分 ∴ ∠3+∠4=90°. ∵ ∠3=∠1=∠2， ∴ ∠2+∠4=90°.

⌒⌒

∵ AE=ED， ∴ ∠ABE=∠4.

∴ ∠2+∠ABE=90°.

∴ BC是⊙O的切线..........................................2分 （2）∵ BC是⊙O的切线，

∴ ∠ABC=90°.

由勾股定理，可得 AC=10....................................3分 ∵ CG=CB=6， ∴ AG=4.

可证 △AEG∽△BEA,

- 9 -

AOFHBCDE34G1H2AOFB

∴

AEEB?AGAB?48?12................................................4分

设AE=x，BE=2x.

由勾股定理，可得 x2?(2x)2?102.解得 x?25. ∴ BE?2x?45.....................................................5分

16.（房山20） 如图，⊙O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D，点D是弦BC的中点，CD=4，

DF=8.⑴求⊙O的半径及线段AD的长；⑵求sin∠DAO的值. 20． 解：⑴∵D是BC的中点，EF是直径

∴CB⊥EF且BD=CD=4---------------- 1分 ∵DF=8

∴OD=8?R

∵OB2?OD2?DB2

∴R2?(8?R)2?42

∴R=5 --------------------------2分 连结AC，过D作DH⊥AB交AB于H． ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°

∵CB=2CD=8，AB=10 ∴AC=6

∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4

∴AD?213---------------------------------------3分 ⑵∵Rt△DHB中，DH=DB·sin∠DBH=4?3125?5--------------------4

分

?sin?DAO?DH613AD?65------------------5分

- 10 - CEDAOBFCDEAOHBF

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z8rp.html