有限元法课程总结12

有限元法课程总结

摘 要：阐述有限元发展的大致历程。有限元法的基本思想，以及有限元在土木

工程中的运用。并以自己对有限单元法的了解，结合自己的所学、所悟，简述有限单元法的Matlab语言实现的一点体会。

关键词：有限元（FEM）；Matlab程序；总结

1有限元法的发展历程

1960年，Clough[1]在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。 有限元法(FEM)是计算力学中的一种重要的方法, 它是20 世纪50 年代末60 年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中, 用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题, 有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。

有限元法概念浅显，容易掌握，可以在不同的水平上建立起对该法的理解，既可以通过非常直观的物理解释，也可以建立基于严格的数学分析的理论。它不仅对结构物的复杂几何形状有很强的适应性，也能应用于结构物的各种物理问题，如静力问题、动力问题、非线性问题、热应力问题等。还能处理非均质材料、各向异性材料，以及复杂边界条件等难题。因此，有限元法已经被公认为是工程分析的有效工具，受到普遍重视。

到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。

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2 有限元法的基本思想

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

在数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金

(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

3 有限元法在结构分析中的运用

在工程技术领域中，绝大多数问题尽管已得到其基本方程和边界条件，但仍得不到解析解。于是引入简化假设，求得问题在简化状态下的近似解，由于问题的复杂性，这种近似解往往导致误差过大甚至是错误的结论。另辟蹊径的有限元法则是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解。

参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，用它代替原来的结构。这些单元仅在有限个结点上彼此铰结。如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来就是由杆件组成的。但是，如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。每一单元所受的已知体力和面力都按静力等效原则移置到结点上，成为结点荷载。计算通常采用位移法，取结点的未知位移分量{δ}e 为基本未知量。为了在求得结点位移后可求得应力，必须建立单元中应力与结点位移的关系，由应力转换矩阵[S]表达。

有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的Ritz 法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。

3.2 位移模式及形函数

为了能把单元的应变和应力用结点位移来表示，首先必须假定一个位移模式，也就是假定单元的位移分量为坐标的某种函数。当然，这些近似的假定函数在结点处的数值，应等于结点的位移分量。

由于在大多数情况下，单元内任意一点的实际位移，若用坐标为自变量来确定将是一个十分复杂的函数。合理的选择由节点位移来确定的，可以用来替代单元实际位移的位移模式，随着单元尺寸的减小，结果会收

3.1 结构离散化

它是有限单元法的基本概念。有限元法一开始就对一个连续体用有限个坐标或自由度来近似地加以描绘。一个离散化的结构可由许多结构单元组成，使相邻单元的有关

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敛于实际位移。

在选择位移函数时，反映单元刚体位移 和常量应变是两个必要条件（亦称完备性条件），加上反映相邻单元的位移连续性，就是充分条件（亦称协调性条件），要求假定的位移模式能够满足上述条件，以反映结构的真实位移形态。

形函数是坐标的函数，取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素，一般采用多项式作为近似函数，不仅因为运算简便，而且随着项数的增多，由低次到高次，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。但选择多项式位移模式的阶次时，要考虑解的收敛性，还要考虑位移模式应与局部坐标系的方位无关，即几何各向同性。

不同的单元类型其位移模式不同，形函数也不同。

对于位移模式的选择应依据帕斯卡三

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角。尽量选择对称的项。

图-1 帕斯卡三角

三结点三角形单元选用位移模式如下：

u?a1?a2x?a3y,v?a4?a5x?a6y

在形函数的表达为：

发展而飞速发展的。让计算机识别并计算待分析的结构，必须要有一种计算机能够识别的语言。在程序语言的实现上，没有选择Fortran，C或C++这样的计算机语言，而选用了Matlab[5]语言。所以，用计算机语言来实现有限元算法是本学期的一项重要任务。

Matlab是当今国际科学界最具影响力和活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学计算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。Matlab在各国高校与研究单位发挥着重要的作用。Matlab具有强大的数学运算能力、方便实用的绘图功能及语言的高度集成性，它在其他科学与工程领域的应用也越来越广，并且有着更广阔的应用前景和无穷无尽的潜能。

Matlab编程时也简洁明了，可以添加注释，拥有自己的函数库，用户可以自编函数，然后打包运用。我们在学习平面钢架程序时，就已经有所体会。除了主程序之外，还有若干个子程序。这些子程序就是用户自编的函数。利用Matlab软件在矩阵运算上的强大功能，灵活的程序设计流程，我们在学习运用过程中获益颇丰。有限元法是一种数值方法，应用性很强，因此在学习的过程中，必要的程序设计、编写和调试能加深理解有限元理论，增加从实际工程出发建立有限元模型的感性认识，极大地提高学习的兴趣和效率。

1(ai?bix?ciy)(i,j,k次序轮换)2?其中：?为单元面积， Ni?ai?xjyk?xkyj；bi?yj?yk； ci??(xj?xk);(i,j,k次序轮换)

双线性矩形单元，八节点等参数单元等位移模式的选择，以及形函数都有相应的表达式，详见各有限元专著[2-4] 。

5 总结

通过这一个学期的学习，掌握并理解有限元方法的基本思想和一般方法，并学会用Matlab语言编写一些简单程序。如最近也在用Matlab语言编写程序来模拟大型桥梁上的实时车流分布。以获得在车桥耦合作用时，车辆的速度，荷载等信息。

最后，在有限元法这门课即将结束时，能够在这门课学习过程中，体会编程这样的一种思想，处理问题的方式、方法，当然是大有裨益的。

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4 有限元法与Matlab语言实现

有限元法是伴随电子科学技术的快速

参考文献

[1] Clough R W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis[J]. Proc. 2nd ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburgh, PA , 345-378,Sept.1960

[2] 王焕定，王伟. 有限单元法教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003 [3] 朱伯芳.有限单元法原理和应用[M]，第二版. 北京：中国水利电力出版社，1998 [4] 王勖成. 有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003

[5] 徐荣桥, 结构分析的有限元法与MATLAB程序设计[M]. 北京. 人民交通出版社， 2006

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z8ot.html