优化方案数学必修4（北师大版）第一章§9应用案巩固提升

[A 基础达标]

1

1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将

2传播至( )

A．甲 C．丙

B．乙 D．丁

解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.

2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos?

?

gπ?t＋，其中g是重力加速度，当小球摆动l3?

的周期是1 s时，线长l等于( )

gg

A. B. π2πC.g

D.2 π4π2 g

解析：选D.因为周期T＝

2πgl

，所以

g2πg＝＝2π，则l＝2. lT4π

3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

x y 1 10 000 2 9 500 3 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A．10 000元 C．9 000元

B．9 500元 D．8 500元

解析：选C.因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 5003π

＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝

2500sin?

3π

x＋π?＋9 500.当x＝3时，y＝9 000. ?2?

4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝t

50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )

2

A．[0，5] C．[10，15]

B．[5，10] D．[15，20]

πtπ

解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.当k

222＝1时，得t∈[3π，5π]，

而[10，15]?[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．

5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一︵

周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )

ldαα

解析：选C.由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin ，所以d＝2Rsin ＝

R2222Rsin

ll

，又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦图像可知，选C. 2R2

6.

如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关π1

系式θ＝sin?2t＋?，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是 ．

2?2?2π1π11解析：t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.

2222π

11答案：，

2π7．(2015·高考陕西卷)

π

如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此

6函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．

解析：根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 答案：8

8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针匀速地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝ ，其中t∈[0，60]．

ππ

解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了 t弧度，如图所示，(1)当t＝0时，d＝0，

3030d

πt2πt

(2)当0＜t＜30时，由sin ＝，所以d＝10sin ；(3)当t＝30时，d＝10；(4)当30＜t

60560πtd

2π－

302

＜60时，sin＝，

25

πtd

即sin?π－?＝，

60?10?

πtπt

所以d＝10sin?π－?＝10sin；(5)当t＝60时，d＝0.

6060??πt

综上可知当0≤t≤60时，均有d＝10sin. 60答案：10sin 9.

πt 60

将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，π

求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝，r＝ω＝1时，

6说明其图像与函数y＝sin t图像有什么关系？

解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线．

2π

所以y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.

ω

πππ

当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin?t＋?，其图像是将y＝sin t的图像向左平移个单位长

66?6?度得到的，如图所示．

10.

如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像．

(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；

(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解：(1)由题图可知，周期T＝2?

7ππ??12－12?＝π，

所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.

(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，

从题图中可以看出A＝4，T＝2×?

7ππ?

?12－12?＝π.

即

2ππ

＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，

12ω

ππ

得sin?＋φ?＝1，解得φ＝.

3?6?

π

所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin?2t＋?，t∈[0，＋∞)．

3??(3)当t＝0时，s＝4sin cm.

[B 能力提升]

1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωxπ

＋φ)＋B?A>0，ω>0，|φ|

2??份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )

ππ

A．f(x)＝2sin?x－?＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

4??4B．f(x)＝9sin?

ππ??4x－4?(1≤x≤12，x∈N＋) π

x＋7(1≤x≤12，x∈N＋) 4

π

＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是23 3

C．f(x)＝22sin

ππ

D．f(x)＝2sin?x＋?＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

4??4

?A＋B＝9，?A＝2，??

解析：选A.由?得?

??－A＋B＝5，B＝7，??

又T＝2(7－3)＝8. 2π2ππ

所以ω＝＝＝，

T84所以f(x)＝2sin?

π

x＋φ?＋7， ?4?3π

＋φ?＝1. ?4?

由f(3)＝9，得sin?

3ππ

所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．

42又因为|φ|<

π

， 2

πππ

所以φ＝－，所以f(x)＝2sin?x－?＋7.

44??4

2．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0

为圆周上一点，且∠AOP0＝

π

，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时6

针方向作匀速圆周运动．

(1)1秒钟后，点P的横坐标为 ．

(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 ．

解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－3.

(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt， π

则此时点P的横坐标为2cos?πt＋?，

6??所以点P到直线l的距离为 π

3－2cos?πt＋?，t≥0.

6??

π

答案：(1)－3 (2)3－2cos?πt＋?(t≥0)

6??3.

一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：

(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式； (2)点P的运动周期和频率；

ππ

(3)如果ω＝ rad/s，l＝2，φ＝，试求y的最值；

64(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间． 解：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 2π1ω

(2)由解析式得，周期T＝，频率f＝＝.

T2πω

ππ

(3)将ω＝ rad/s，l＝2，φ＝代入解析式，

64ππ

得到y＝2sin?t＋?，t∈[0，＋∞)．

4??62π2π

得最小正周期T＝＝＝12.

ωπ

6当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2， 当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2. (4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴， ππ

令t＋＝2π，得t＝10.5， 64

所以当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，

所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.

4．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：

y(米) t(时) 1.0 0 1.4 3 1.0 6 0.6 9 1.0 12 1.4 15 0.9 18 0.4 21 1.0 24 (1)试画出散点图；

(2)观察散点图，从y＝At＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段． 解：(1)散点图如图．

(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适． 2ππ2

由图可知A＝1.4－1.0＝0.4＝，T＝12，b＝1，ω＝＝，

5T6

ππt2

此时解析式为y＝sin?＋φ?＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有

5?66?

×0＋φ＝0，所以φ＝0.

2πt

所求函数的解析式为y＝sin＋1(0≤t≤24)．

562πt4

(3)由y＝sin＋1≥(0≤t≤24)，

565得sin

πt1≥－， 62

ππt7π

则－＋2kπ≤≤＋2kπ，(k∈Z)，

666得－1＋12k≤t≤7＋12k，(k∈Z)． 令k＝0，1，2，

从而得0≤t≤7或11≤t≤19，或23≤t≤24， 所以应在白天11时～19时进行训练．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z8l.html