试验设计与数据分析第一次作业习题答案

习题 答案

1．设用三种方法测定某溶液时，得到三组数据，其平均值如下：

试求它们的加权平均值。

解：根据数据的绝对误差计算权重：

， ，

因为 所以

2．试解释为什么不宜用量程较大的仪表来测量数值较小的物理量。

答：因为用量程较大的仪表来测量数值较小的物理量时，所产生的相对误差较大。如 3．测得某种奶制品中蛋白质的含量为 ，试求其相对误差。 解：

4．在测定菠萝中维生素C含量的测试中，测得每100g菠萝中含有18.2mg维生素C，已知测量的相对误差为0.1%，试求每100g菠萝中含有维生素C的质量范围。 解：

，所以

所以m的范围为 或依据公式

5．今欲测量大约8kPa（表压）的空气压力，试验仪表用1）1.5级，量程0.2MPa 的弹簧管式压力表；2）标尺分度为1mm的U型管水银柱压差计；3）标尺分度为1mm的U形管水柱压差计。

求最大绝对误差和相对误差。

解：1）压力表的精度为1.5级，量程为0.2MPa，

则

2）1mm汞柱代表的大气压为0.133KPa，

所以

3）1mm水柱代表的大气压： ，其中 ，通常取 则

6．在用发酵法生产赖氨酸的过程中，对产酸率（%）作6次评定。样本测定值为3.48，3.37，3.47，3.38，3.40，3.43，求该组数据的算术平均值、几何平均值、调和平均值、标准差s、标准差 、样本方差 、总体方差 、算术平均误差 和极差 。 解： 数据 3.48 3.37 计算公式 算术平均值 计算结果 3.421667 3.421407 几何平均值 调和平均值 3.421148 3.47 或 3.38 3.40 3.43 标准样本差 0.046224 0.042197 0.002137 0.001781 总体标准差 样本方差 总体方差 算术平均误差 0.038333 0.11 极差

7．A与B两人用同一种分析方法测定金属钠中的铁，测得铁含量（ ）分别为： 分析人员A：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0，4.0，6.0，6.0，8.0 分析人员B：7.5，7.5，4.5，4.0，5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0 试问A与B两人测定铁的精密度是否有显著性差异？（ ）

解：依题意，检验A与B两人测定铁的精密度是否有显著性差异，采用F双侧检验。根据试验值计算出两种方法的方差以及F值：

，

根据显著性水平 ， ， 查F分布表得 ， ，

， 。所以 ， ， ，A与B两人测定铁的方差没有显著差异，即两人测定铁的精密度没有显著性差异。

分析人员A 8 8 10 10 6 6 4 6 6 8 分析人员B 7.5 7.5 4.5 4 5.5 8 7.5 7.5 5.5 8 分析人员B 6.55 2.302778 10 9 F-检验 双样本方差分析 分析人员A 平均 方差 观测值 df F P(F<=f) 单尾 F 单尾临界

7.2 3.733333333 10 9 1.621230398 0.24144058 3.178893104 8．用新旧两种工艺冶炼某种金属材料，分别从两种冶炼工艺生产的产品中抽样，测定产品中的杂质含量（%），结果如下： 旧工艺（1）：2.69，2.28，2.57，2.30，2.23，2.42，2.61，2.64，2.72，3.02，2.45，2.95，2.51；

新工艺（2）：2.26，2.25，2.06，2.35，2.43，2.19，2.06，2.32，2.34

试问新冶炼工艺是否比旧工艺生产更稳定，并检验两种工艺之间是否存在系统误差？（ ）

解：工艺的稳定性可用精密度来表征，而精密度可由极差、标准差或方差等表征，这里依据

方差来计算。 ， ，由于 ，所以新的冶炼工艺比旧工艺生产更稳定。

（依据极差： ， ，同样可以得到上述结论）

（依据标准差 ， ）

检验两种工艺之间是否存在系统误差，采用t检验法。

1）先判断两组数据的方差是否有显著性差异。根据试验数据计算出各自的平均值和方差：

，

，

故

已知n1=13，n2=9，则 ， ，根据显著性水平 ，查F分布表得 ， ，

， ，两方差有显著差异。 旧工艺 2.69 2.28 2.57 2.30 2.23 2.42 2.61 2.64 2.72 3.02 2.45 2.95 新工艺 2.26 2.25 2.06 2.35 2.43 2.19 2.06 2.32 2.34 新工艺 2.51 F-检验 双样本方差分析 旧工艺 平均 标准差 方差 观测值 df F P(F<=f) 单尾 F 单尾临界 2.568461538 2.251111111 0.242103496 0.128105859 0.058614103 0.016411111 13 12 3.571610854 0.039724983 3.283939006 旧工艺 新工艺 9 8 t-检验: 双样本异方差假设 平均 方差 观测值 假设平均差 df t Stat P(T<=t) 单尾 t 单尾临界 2.568461538 2.251111111 0.058614103 0.016411111 13 0 19 3.988050168 0.000393697 1.729132812 9 P(T<=t) 双尾 t 双尾临界 2）进行异方差t检验

0.000787395 2.093024054

根据显著性水平 ，查单侧t分布表得 ，所以 ，则两种工艺的平均值存在差异，即两种工艺之间存在系统误差。

备注：

实验方差分析是单侧检验：因为方差分析不像差异显著检验，方差分析中关心的只是组间均方是否显著大于组内均方或误差均方。目的是为了区分组间差异是否比组内差异大的多，因为只有大得多，才能证明实验的控制条件是否造成了显著的差异，

方差齐性中F检验要用到双侧检验，因为要看的是否有显著性差异，而没有说是要看有差异时到底是谁大于谁，所以没有方向性。

9．用新旧两种方法测得某种液体的黏度（ ）如下：

新方法：0.73，0.91，0.84，0.77，0.98，0.81，0.79，0.87，0.85 旧方法：0.76，0.92，0.86，0.74，0.96，0.83，0.79，0.80，0.75

其中旧方法无系统误差。试在显著性水平（ ）时，检验新方法是否可行。

解：检验新方法是否可行，即检验新方法是否有系统误差，这里采用秩和检验。 先求出各数据的秩，如表所示。 2 3 4 5 6.5 6.5 8 9 10 11 12 13 14 15

此时，n1=9，n2=9，n=18，

对于 ，查秩和临界值表，得 ， ，由于 ，故，两组数据无显著差异，新方法无系统误差，可行。

0.77 0.79 0.81 0.84 0.85 0.74 0.75 0.76 0.79 0.80 0.83 0.86 秩 1 新 0.73 旧 16 17 18 0.98 0.87 0.91 0.92 0.96

T检验成对数据的比较 新方法 旧方法 di 0.73 0.76 -0.03 0.91 0.92 -0.01 0.84 0.86 -0.02 0.77 0.74 0.03 0.98 0.96 0.02 0.81 0.83 -0.02 0.79 0.79 0 0.87 0.8 0.07 0.85 0.75 0.1 0.14 0.015556

0.00207531 0.00065309 0.0012642 0.00020864 1.9753E-05 0.0012642 0.00024198 0.0029642 0.00713086 0.01582222 0.04447221 0.34978145 n=9 1.04934436 对于 ，查表 ，所以 ，即两组数据无显著差异，新方法无系统误差，可行。

10．对同一铜合金，有10个分析人员分析进行分析，测得其中铜含量（%）的数据为：62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.25，71.33，71.38（%）。问这些数据中哪个（些）数据应被舍去，试检验？（ ） 解：1）拉依达（Paǔta）检验法 1检验62.20 ○

计算包括62.20在内的平均值 及标准偏差 计算

比较 和 ， ，依据拉依达检验法，当 时，62.20应该舍去。 2检验69.49 ○

计算包括69.49在内的平均值 及标准偏差 计算

比较 和 ， ，依据拉依达检验法，当 时，69.49应该舍去。 3检验70.30 ○

计算包括70.30在内的平均值 及标准偏差 计算

比较 和 ， ，依据拉依达检验法，当 时，69.49不应该舍去。 4检验71.38 ○

计算包括71.38在内的平均值 及标准偏差 计算

比较 和 ， ，依据拉依达检验法，当 时，71.38不应该舍去。

2）格拉布斯（Grubbs）检验法 1检验62.20 ○

计算包括62.20在内的平均值 及标准偏差 ，查表得

计算 所以62.20应该舍去。 2检验69.49 ○

计算包括69.49在内的平均值 及标准偏差 ，查表得

，

计算 所以69.49应该舍去。 3检验70.30 ○

计算包括70.30在内的平均值 及标准偏差 ，查表得 计算

计算 69.49不应该舍去。 4检验71.38 ○

计算包括71.38在内的平均值 及标准偏差 ，查表得 计算

计算 当 时，71.38不应该舍去。

3）狄克逊（Dixon）检验法 应用狄克逊双侧情形检验：

1对于62.20和71.38， ，计算 ○

，当 ，对于双侧检验，查出临界值 由于 ，且 ，

故最小值62.20应该被舍去。

2舍去62.20后，对剩余的9个数据（n=9）进行狄克逊双侧检验： ○

，当 ，对于双侧检验，查出临界值 由于 ，且 ，

没有异常值。

， ，没有异常值。 单侧检验时，查表得到临界值

11．将下列数据保留4位有效数字：3.1459，136653，2.33050，2.7500，2.77447 解：3.146、1367×102、2.330、2.750、2.774

12．在容量分析中，计算组分含量的公式为 ，其中V是滴定 时消耗滴定液的体积，c是滴定液的浓度。今用浓度为（1.000±0.001）mg/mL的标准溶液滴定某试液，滴定时消耗滴定液的体积为（20.00±0.02）mL，试求滴定结果的绝对误差和相对误差。 解：根据组分含量计算公式 ，各变量的误差传递系数分别为

，

所以组分含量的绝对误差为

（mg）

（mg）

最大相对误差为

13．在测定某溶液的密度ρ的试验中，需要测定液体的体积和质量，已知质量测定的相对误差≤0.02%，预使测定结果的相对误差≤0.1%，测量液体体积所允许的最大相对误差为多大？ 解：由公式 ，误差传递系数为

，

则绝对误差

相对误差

由于质量的相对误差 ，预使得 ，需要 ，即测量液体体积所允许的最大相对误差为0.08%。

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