基于二分网络模型的模拟电路网络特性分析及测点选择 - 图文

电 子 科 技 大 学

UNIVERSITY OF ELECTRONIC SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA

论 文 题 目：学 科 专 业：指 导 教 师：作 者 姓 名：班 级 学 号：

硕士学位论文

MASTER THESIS

基于二分网络模型的模拟电路网络 特性分析及测点选择

控制理论与控制工程 程玉华 副教授 付家敏 201021070536

分类号 密级

UDC

学 位 论 文

基于二分网络模型的模拟电路 网络特性分析及测点选择

付家敏

指导教师姓名 程玉华 副教授 电子科技大学 成都 （职务、职称、学位、单位名称及地址）

申请学位级别 硕士 专业名称 控制理论与控制工程 论文提交日期 论文答辩日期 学位授予单位和日期

答辩委员会主席

评阅人

年 月 日

独 创 性 声 明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

签名： 日期： 年 月 日

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本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）

签名： 导师签名：

日期： 年 月 日

摘 要

摘 要

模拟电路系统故障测试与诊断是电子系统研究的一个热点问题，而测点选择是其中一个重要研究方向。随着电路系统复杂度与集成度的不断增加，模拟电路系统测点选择也越来越复杂。目前为止，复杂网络理论在电子电路系统的网络特性分析和测点选择中的研究成果较少。本文基于复杂网络理论，采用二分网络模型，重点讨论模拟电路系统的网络特性分析和测点选择问题。本文的主要研究内容和成果如下：

1 基于二分网络模型的模拟电路网络特性研究。本文分析了二分网络模型较传统的网络模型在模拟电路系统研究中的优势，采用二分网络模型的两种研究方法（投影法和直接分析法）对模拟电路进行了网络参数计算以及网络特性研究，并将研究结果进行了比较。发现两种方法的研究结果能够更全面地反映模拟电路的网络特性，并且该网络特性与电路的故障传播及测点选择有密切关系。

2 模拟电路测点网络的节点重要性及测点选择研究。首先，本文从拓扑和数据两种角度对测点的重要性进行了研究。一方面，从拓扑节点中心性角度，结合了网络的拓扑节点中心性判断方法和模糊决策方法，对测点的重要性进行判断。另一方面，从数据节点中心性角度，基于Pspice数据仿真，采用Granger因果关系（GCCA）分析测点网络的节点因果流，研究了测点的重要性。其次，根据测点的重要性，提出了基于节点中心性的测点选择算法。最后，在节点中心性分析的基础上，研究了模拟电路测点网络的脆弱性。通过实际模拟电路验证发现，采用节点中心性的测点选择算法得到的测点选择结果与前人的研究结果相符，从而验证了该算法的正确性。

3模拟电路二分网络分析及测点选择系统的软件设计。本文基于Matlab软件完成了模拟电路系统的二分网络模型分析及测点选择系统，实现了模拟电路系统的测点网络和元器件网络的参数计算、网络特性分析、测点重要性分析及测点选择功能。

关键词：模拟电路，测点选择，二分网络，节点中心性，模糊决策，Granger因果关系

I

ABSTRACT

ABSTRACT

The problems of analog fault testing and diagnosis are hot issues in the research of electronic systems and the test points selection is an important direction of these studies. With the increasing complexity and intergration of circuit systems, the test points selection becomes more and more complicated. So far, there are a few research in analyzing network properties and the test points selection on account of the complex network theory. Therefore, in this paper, it focuses on the network characteristics and measuring point selection problem of analog circuit systems based on the theory of complex networks with the bipartite network model. The main research results are as follows:

1 The complex network features are studied for analog circuits based on the bipartite network model. Advantages for analog circuit systems are analyzed and displayed based on the bipartite network model in this paper. The complex network parameters and characteristics are studied by two kinds of the bipartite network model methods (one is the projection method and anther is the direct analysis method) for analog circuits. And the research results by these two methods are compared. It is shown that the results of the two methods can display the complex network characteristics of analog circuits comprehensively, and these complex network characteristics of circuits have close relationships with the fault propagation and the test points selection.

2 The networks of measuring points for the analog circuits are further studied by the projection method. First of all, the importance of test points is researched from the perspective of both topology and data. On the one hand, the importance of measuring points is analyzed by the way combining with the bipartite network model, judgment methods of the network node centricity and fuzzy decision methods based on the topological node centricity. On the other hand, to study the importance of measuring points, the data of test points by simulation with the Pspice software are researched by using Granger causality connection analysis (GCCA) based on the data node centricity. Second, the algorithm with the node centricities for testing points selection is proposed

II

ABSTRACT

based on the importance of test points. Finally, the vulnerability of testing points networks for analog circuit systems are analyzed based on the analysis of the node centricity. It is verified by actual analog circuits that test points selection results by the proposed aigorithm are in accord with the predecessors’ research results, which verify the correctness of this algorithm proposed.

3 The software system with bipartite network model anlysis and test points selection for analog circuit systems is designed and implemented. By using the software of Matlab, the complex network parameters and network chanracteristics of test points networks and components networks for analog circuit systems can be analyzed by this analysis system. And the importance for the test points and the test points selection also can be commplished with this system.

Keywords: Analog Circuits, Test Points Selection, Bipartite Networks, Node centricity, Fuzzy Decision, Granger Causal Connectivity Analysis

III

目录

目 录

第一章 绪论 .................................................................................................................... 1

1.1 选题背景及研究意义 ............................................................................... 1 1.2 模拟电路测点选择研究国内外发展现状 ............................................... 2

1.2.1 解析法 ............................................................................................ 2 1.2.2 仿真法 ............................................................................................ 4 1.3 本文研究方法 ........................................................................................... 5 1.4 本文内容与章节安排 ............................................................................... 6

第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍 ................................................................ 9

2.1 复杂网络模型 ........................................................................................... 9

2.1.1 无权网络模型 .............................................................................. 10 2.1.2 加权网络模型 ............................................................................... 11 2.2 复杂网络的小世界性、无标度性和社团结构 ..................................... 13

2.2.1 复杂网络的小世界性 .................................................................. 13 2.2.2 复杂网络的无标度性 .................................................................. 15 2.2.3 复杂网络的社团结构特性 .......................................................... 15 2.3 复杂网络软件介绍 ................................................................................. 18

2.3.1 Pajek软件 ..................................................................................... 18 2.3.2 UCINET软件 ................................................................................ 20 2.4 本章小结 ................................................................................................. 22

第三章 模拟电路系统的二分网络特性 ...................................................................... 23

3.1 模拟电路系统的二分网络建模原理 ..................................................... 23

3.1.1 二分网络模型 .............................................................................. 23 3.1.2 二分网络模型在模拟电路系统研究中的优势 .......................... 24 3.2 基于二分网络模型的模拟电路系统研究方法 ..................................... 25

3.2.1 二分网络模型的研究方法 .......................................................... 25 3.2.2 模拟电路系统的二分网络研究流程 .......................................... 29 3.3 基于投影法的模拟电路系统二分网络实例分析 ................................. 30

3.3.1 线性网络电路 .............................................................................. 31

IV

目录

3.3.2 带通滤波器电路 .......................................................................... 35 3.3.3 四阶椭圆低通滤波器电路 .......................................................... 40 3.4 基于直接分析法的模拟电路系统二分网络实例分析 ......................... 44

3.4.1 直接分析法实例 .......................................................................... 44 3.4.2 投影法与直接分析法的网络特性分析结果比较 ...................... 46 3.5 本章小结 ................................................................................................. 47

第四章 网络节点中心性与测点选择 .......................................................................... 49

4.1 复杂网络节点中心性 ............................................................................. 49

4.1.1 网络节点中心性判断方法 .......................................................... 49 4.1.2 网络节点中心性判断方法关系分析 .......................................... 53 4.2 基于测点网络中心性的模拟电路测点选择方法 ................................. 54

4.2.1 基于拓扑的节点中心性判断方法 .............................................. 55 4.2.2 基于数据的节点中心性判断方法 .............................................. 56 4.3 测点重要性实例分析 ............................................................................. 56

4.3.1 基于拓扑节点中心性 .................................................................. 56 4.3.2 基于数据节点中心性 .................................................................. 57 4.3.3 基于节点中心性的测点选择算法 .............................................. 59 4.3.4 基于节点中心性的测点选择实例分析 ...................................... 60 4.4 脆弱的可测性 ......................................................................................... 62

4.4.1 测点网络故障分析 ...................................................................... 62 4.4.2 测点网络故障实例分析 .............................................................. 63 4.5 本章小结 ................................................................................................. 67

第五章 模拟电路二分网络分析及测点选择系统的软件设计 .................................. 69

5.1 总体设计流程 ......................................................................................... 69 5.2 软件界面 ................................................................................................. 71

5.2.1 模拟电路系统的网络参数特性界面 .......................................... 72 5.2.2 模拟电路系统的网络特性界面 .................................................. 74 5.2.3 模拟电路测点重要性分析及测点选择界面 .............................. 75 5.3 本章小结 ................................................................................................. 77

第六章 总结与展望 ...................................................................................................... 78

6.1 本文工作总结 ......................................................................................... 78 6.2 未来工作展望 ......................................................................................... 80

V

目录

致谢 ................................................................................................................................ 82 参考文献 ........................................................................................................................ 83 攻读硕士期间取得的研究成果 .................................................................................... 87 攻读硕士期间参与的科研项目 .................................................................................... 88

VI

第一章 绪论

第一章 绪论

1.1 选题背景及研究意义

随着电子技术的迅猛发展和电子电路系统的日趋复杂化、集成化和小型化， 使得电子电路系统的故障诊断与测试难度急剧增加。经典的测试技术与方法已经难以实现现在电子电路系统的故障诊断和测试要求。并且早期的电子电路系统，几乎没有展开过测试性设计与验证，这造成了系统的测试性极差，测试故障所用的时间较长。长达数小时、数十小时甚至数百小时的测试时间消耗在一般的集成电路的电子设备中。先前的电子设备并不仅仅测试耗时较长，高昂的测试费用也是及其不划算的方面。因此，可测性设计在电子电路系统中的研究势在必行。

1962年，R.S.Berkowitz[1]给出了电路系统的外端点（测点）数目具有下界性：：一个无源电路网络的故障诊断的必要性条件是k(k?1)2?m。其中k是电路系统的外端点数目（即测点数目），m代表电路系统待诊断参数个数。这也是电路系统故障诊断中的一个基本定理，对实际电子电路系统的可测性设计具有一定的指导性意义。同时该条件也表明电子电路系统的故障诊断与测点选择是密不可分的。

在电子电路系统中，80%是由数字电路部分组成，但是，模拟部分发生故障概率却占到了80%。并且，自动测试和故障诊断方面是相对成熟的数字电路系统。然而，在模拟电路系统方面，由于难以建立简便的元器件故障模型，并且各种元器件存在不同的容差，以及电路系统呈现出非线性特性，使得其发展仍然还处在一个相当低的水平上。

因此，要想电子电路系统的测试性问题，模拟电路部分成为电子电路系统的可测性设计重点。但是模拟电路部分的测试性问题较数字电路部分难度系数更高。一方面，与数字电路不同，模拟电路元器件参数量的连续性使故障参数集十分庞大，故障状态比较复杂；而且由于模拟电路中的各个元器件的容差特性也使得故障状态更加复杂，测试难度更大。另一方面，随着电子电路系统复杂化集成和小型化的不断提高，测试时的能够可测的节点较少，并且环境因素对测试的精度等造成很大的影响；再者，由于电子电路系统故障参数集的庞大和电路系统的多样化导致故障模型的建立比较困难。

二十世纪七十年代以后，可测性逐渐成为大家研究的热点问题，电子电路系

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统可测性的研究成果也愈来愈多。针对电子电路系统的可测性设计，国际测试会

（OTC）（DAC）议、国际设计自动化会议等一些重要的国际会议也开展了重点性

研究。集成电路设计工业也逐步开始重视电子电路系统的可测性设计，并且已经开始把某些可测性设计作为其相关的工业制造和生产的标准。

因此，电子电路系统的可测性设计已经成为目前研究一个非常重要的课题。而测点选择是其中的一个十分关键因素，原因主要有：

（1）电子电路系统可测性设计的主要和重要工作是系统测试的故障类别产生（如模拟电路系统的信号类型的选择，电源频率参数的确定）、系统的各种参量以及实际系统中的测点的选择问题。

（2）由于模拟电路系统本身的特性造成测试过程中需要处理巨大的数据集，对待测向量进行维数和规模压缩方法的应用也具有十分现实的意义。

（3）电路系统中在实际能够测得的节点数目比较有限，在满足电路网络的故障诊断的必要性条件和提高可测性指标的同时，选择较优可及测点以达到减少物理测点数量，是目前电子电路系统可测性设计的研究重点。

1.2 模拟电路测点选择研究国内外发展现状

对于模拟电路系统，传统的测点选择方法主要分为解析法和仿真法两种。若选择的测点用于故障诊断时，是通过求解电路方程来完成的，则测点选择常用电路方程求解来评估和实现，这就是解析法。相对于解析法，采用电路仿真的策略来进行故障诊断，使得故障诊断及与之关联测点选择依赖于信号分析和特征提取，且将信号分析的结果转化为故障字典等技术，从根源上依赖于仿真技术，属于仿真法的讨论范畴。

1.2.1 解析法

解析法指通过求解电路方程来进行电路系统的故障诊断。解析法的提出者认为通过严谨的数学分析与推导，建立起模拟电路可测性测度的表述是测点选择需要解决的首要问题。基于解析法的测点选择方法直接针对电路系统的故障诊断，可同时考虑元器件的容差、测量误差等因素。主要方法包括：基于灵敏度矩阵的方法、基于电路传输函数的方法、符号分析和拓扑图分析法等。

在早期的解析法研究中，参考文献[3]给出了将元器件灵敏度组成矩阵的列秩秩作为被测系统的可测性测度，从而奠定了后续大部分基于元器件灵敏度矩阵的

2

第一章 绪论

测点选择的的基本理论基础。在此基础上，文献[4][5]分别提出了基于灵敏度矩阵的QR分解和奇异值分解的方法，避免了没有进行测点选择时的随机测试所带来的测试高昂成本。而更多的方法不仅看到了灵敏度矩阵分析与测点可测性之间的关系，将灵敏度矩阵分析与各种智能优选算法、仿真实验、数值计算与测量相结合，进一步提高了测点选择的精度，采用组合迭代算法和系统灵敏度矩阵分析对电路系统进行测点选择。将解析法与仿真法相结合；文献[6]Varaprased通过测试频率的压压缩解决了频率选择没有目的性使得仿真与求解仿真的工作量较大该方法的缺陷，减少了测试时间，同时恰当的敏感频率选择并不损伤测点选择精度。

1995年，Mohamed A等人[8]通过建立电路系统的传输函数，然后研究系统中中待选测点实际的响应属性，研究结果发现在一定的故障诊断标准下，可以选择出测点以用于硬故障故障诊断。Xi Han[9]等人也发现，若能建立其电路件的参数模型，进而确定出电子电路系统的系统函数，则可找出需要被诊断的故障所需要的测点。更多的方法以导纳矩阵为前提，或通过行列式判决图的计算分析可测性测度，或通过写出测点上被测电压向量与故障电流向量的函数关系，进而判断故障诊断的可测性，同时选择出最佳测点集合。考虑到以上方法中浮点运算误差在计算机辅助诊断中带来的对测点选择的影响，李润梅给出传递函数组所得到的符号矩阵，用符号矩阵的秩来求解可能的测点组合，事实表明，可以获得正确有效的测点选择结果。则可能会面对复杂电路，其传递函数不易写出和不易求解的囧境。在电路传递函数的求解中，Xi Han[9]的方法由于需要求解系统函数，使得其方法可能对复杂系统而言是不实用的。符号矩阵法由于需要在处理过程中列举所有的测点组合，使得计算的复杂性一开始就会达到很高的水平。

针对无源电路系统，文献[10]提出了一种基于图论分析的电路系统测点选择的的方法。通过用边代表电路系统中的支路情况，节点表示电路系统的测点。这种策略可以很好地解决该系统测点选择的问题，但是对其他类型的模拟电路诊断，可测性设计与测点选择（如带有运算放大器的模拟电路）则无法实用。文献[11]将电路系统的拓扑结构抽象为图的模型，从而得到系统的映射矩阵，结果由于不用灵敏度矩阵或传递函数方程组的秩而是用映射矩阵的列秩来判断电路故障的可测性，避免了传递函数难解，灵敏度矩阵分析困难的缺陷，其测点选择可通过选择映射矩阵中最少的列，使其线性独立来完成。在文献[7]中使用了集成运算放大器件的模拟滤波器电路，从故障传播的角度出发，理解和认识测点可测性，通过建立故障传播因果图，及合理的推理机制寻找故障诊断所需要的测点。

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1.2.2 仿真法

相对于解析法中的所有方法，仿真法具有的优势是既不需要求解复杂的电路方程，也不需要构建复杂的拓扑结构后进行复杂的图论分析，这无疑对测点选择和相应的故障诊断都具有积极的意义。直到目前为止，仿真法一直都是较为有效和简便的方法，众多的研究学者对此进行了大量的研究。仿真法主要包括基于响应信号分析的方法，以及基于故障字典技术（可测性矩阵）的方法。

关于响应信号分析法，文献[12]提出采用结合激励信号的频率选择和测点选取取的方法，通过将电路系统的测试波形空间映射到元器件参数空间，并设法使得测试激励的选择和测点选择在通过空间映射后可以反映出较为精确的反应电路参数，从而发展出不使用电路传输函数即可进行测点选择的新思路。针对具体的模拟电路类型，如级联滤波器，文献[13]认为，通过比较阶跃激励下的故障响应与正正常响应之间的偏离，可以选择出最合适的测点，这种方法的弱点是适用范围窄，且诊断标准客观性差，从而使得对应的测点选择也缺乏说服力和通用性。M.F.Abu

El-Yazeed[14]提出一种通过分析输出信号特征来选择测点的方法，其方法的主要特

特点是基于傅立叶的频谱特性分析和使用人工神经网络来进行分析和分类，该方法主要问题是信号特征的分析与列举过程非常复杂，使得由此形成的故障字典过于庞大，运行神经网络算法时时间复杂度非常高，并不适用于复杂电路。在文献[7]中，针对时频分析与神经网络在故障诊断的应用提出了更简洁的故障特征提取和分析策略，从而充分利用多特征建模获得的有效特征向量简化了神经网络应用时的必用的故障特征维数，不过，如何较好的应用到测点选择中去，却未深入研究。不过，信号分析+特征提取+模式识别与智能分类，一直在故障状态的分析与研究中占有重要地位，合理的特征提取，完全可以压缩测点规模到更小。加入反馈回路，将滤波器，放大器电路构建为振荡器，通过级联系统得到最后输出的震荡频率，这一简单而且自然的特征测量，其优点在于特征提取与测点选择简单直接，可用最少一个测点即可获得相当好的故障诊断结果。

关于故障字典法[2]，在测点选择方面，其主要方法的统一特点就是将电路测点点的选择问题，转化为在一定条件下的优化问题，利用合理和有效的测点评估标准，使用约束逻辑规划（CLP）方法，启发式搜索，遗传算法，模糊理论，蚁群算法等方法来实现测点选择。在此之中，Prasad[15]提出测点选择问题转化为布尔求解问题以获得所有可能的测点选择解。讨论了测点选择的评估标准，并对多种测点选择策略进行了定义。不是所有的方法都能从理论上得到验证，因此在大规

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第一章 绪论

模故障字典的应用中的可行性也无法证明。

1.3 本文研究方法

模拟电路系统广泛存在于通信、控制、信息技术等各个领域。传统的电路系统故障诊断与测点选择方法主要针对中小型电路系统。电子电路系统的不断发展，而模拟电路系统的复杂度急剧增长，系统可靠性需要要得到良好的保证，然而，这也对系统测试以及故障诊断的研究提出了更具有挑战性的任务。由于电路系统复杂度与集成度的不断增长，对系统的故障诊断与测点选择复杂度也愈来愈高。

目前，复杂网络理论正是研究具有大规模，高复杂程度网络的一门交叉性和综合性学科。复杂网络存在于各个领域，包括科技，文学，社会等领域，如国内国际的航空运输网，公路运输网络以及水路运输网，小说著作中的人物关系网，人类的社会关系网络等。

复杂网络在电子电路系统的研究早在二十一世纪初就开始了。2001年，

Ramon Ferrer i Cancho等人将模拟电路系统和数字电路系统映射成相应的网络模

型，发现这些网络都具有小世界性（Small-World）[16]。吕金虎，陈关荣等人对复复杂网络结构及同步的研究[17][18]，提出网络的边权能够更加细致地描述实际网络。2004年，M. E. J. Newman研究了复杂网络的加权网络模型。复杂网络的加权分析方法更能够很好地体现和描述出电子电路系统的特点[19]。Minfang Peng等人[20]于于2011年给出一种适用于大规模电路系统故障诊断的复杂网络方法。Hu Tan和

Minfang Peng[21]在2012年提出了一种最小化模拟电路参数故障诊断的模糊组的复

复杂网络方法。

各个领域的学者对复杂网络的研究推动了复杂网络理论的不断发展，但该理论在其他陌生领域的普适性和实用性还有待复杂网络研究学者的进一步深入专研。而根据一定的规则，能够将模拟电路系统映射成为相应的网络模型，元器件之间的联系以及元器件可以构成电路系统的一种网络模型，而测点之间的联系以及测点亦可以映射成电路系统的另一种网络模型。其实利用测点或者元件在电路中可以抽象为网络模型，基于复杂网络理论可以研究电路系统的测试和故障诊断能够得出采用传统方法所不能得到的研究结果。

但是到目前为止，复杂网络理论和电子电路系统的故障诊断、测点选择所结合，得到的研究成果还较少，主要研究成果仅限于电子电路系统的小世界性。并且，大都采用传统的网络建模方法，只能研究电路系统的单一网络模型：元器件

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网络模型或者测点网络模型，这种方法丢失了原始电路系统的许多有用信息。鉴于目前研究的诸多缺陷，而二分网络模型能够弥补其一些相应的不足，因此本文提出采用二分网络模型对模拟电路系统进行深入研究。

二分网络模型是复杂网络中的一种，在该网络模型中，节点有两种类型。实际网络中，如科学家合作网络，人类疾病网络，企业精英网络等都属于二分网络。目前，二分网络模型主要应用在社会科学网络中，本文首次将二分网络模型应用到模拟电路系统的分析与研究中，主要研究方面包括模拟电路的拓扑网络特性、测点网络节点中心性以及模拟电路系统的故障诊断测点选择等。

1.4 本文内容与章节安排

本课题根据目前模拟电路系统测试和故障诊断的研究发展情况，以及复杂网络理论的迅猛发展和复杂网络的各种特性，将复杂网络理论应用到模拟电路系统的测试和故障诊断研究中来，这也是目前研究的一个新方向。本文将结合电路系统自身的特性，采用二分网络模型对模拟电路系统进行分析和研究，从以下几个方面展开工作：

首先，介绍复杂网络的基本知识，方便后面的研究工作。（1）初步介绍复杂网络模型。从无权网络和加权网络的角度分别介绍复杂网络的基本参数以及参数计算公式，如度、度分布、平均最短路径长度、平均集聚系数等；（2）简单地介绍复杂网络的三种基本的网络特性：小世界性（Small-World）、无标度性（Scale-Free）以及社团结构特性（Community Structure）；（3）为了方便研究，将对复杂网络分析软件进行简略介绍。

其次，运用二分网络模型对模拟电路系统进行细致而深入地研究。（1）简单介绍二分网络模型，并对本文采用二分网络模型来研究模拟电路系统的原因进行详细分析；（2）介绍二分网络模型的主要研究方法，并给出本文基于该模型的模拟电路系统的研究流程；（3）采用投影分析法与直接分析法分别对三种模拟电路系统进行实例分析与验证，详尽深入地分析三种电路的二分网络参数，讨论各个电路相对应的二分网络的小世界性、无标度性以及社团结构特性；（4）将两种二分网络方法对电路系统的研究结果进行比较和分析。

再次，将网络节点中心性应用到模拟电路故障诊断测点选择研究问题中。（1）介绍两类网络节点中心性的判断方法，一类是基于拓扑结构的节点中心性判断方法，另一类是基于数据仿真的节点中心性判断方法，并对节点中心性进行分类，分析之间的联系性；（2）基于模拟电路系统的测点网络，分析测点的重要性，并

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第一章 绪论

给出基于节点中心性的测点选择算法和利用该算法得到的模拟电路系统的测点选择结果；（3）分别从拓扑结构的节点中心性与数据仿真的节点中心性对模拟电路系统的测点网络进行脆弱性分析。

最后，基于Matlab软件，完成模拟电路的二分网络分析及测点选择系统软件设计，该系统主要包括测点网络和元器件网络的网络参数计算界面、网络特性分析界面以及模拟电路的测点重要性分析及测点选择界面。

本文根据上面提出的研究内容，给出本文写作安排：

第二章：首先从无权网络和加权网络分别介绍复杂网络的各种统计特性描述。然后，介绍复杂网络的小世界性、Scale-free性以及社团结构特性。最后对复杂网络软件Pajek，UCINET等进行简单介绍。

第三章：首先分析对于模拟电路系统，介绍模型的定义，分析本文采用二分网络模型的原理，目前的研究方法以及相应的研究流程。其次，采用投影法对三种电路进行二分网络参数计算，并对网络的小世界性、Scale-free性以及社团结构特性进行分析。最后，基于模拟电路系统的原始二分网络模型，采用直接法进行分析研究。将两种二分网络研究方法得到的分析结果进行比较和进一步地分析。

第四章：对第三章中采用投影法得到的模拟电路系统的测点网络进行进一步分析，采用网络节点中心性研究测点的重要性，并提出基于节点中心性的测点选择算法。首先，分别介绍两类节点中心性以及测点重要性研究的方法，七种网络节点中心性判断方法：节点度中心性判断方法（DC）、介数中心性判断方法（BC）、凝聚度中心性判断方法（CC）、网络流中心性判断方法（FC）、随机行走中心性判断方法（RC）、子图中心性判断方法（SC）以及特征向量中心性判断方法（EC）是属于拓扑结构类，而节点因果流是属于数据仿真类。基于两类中心性，给出相应的分析实例。然后，基于模拟电路系统的测点网络，分析测点的重要性，从而提出基于节点中心性的测点选择算法，并且利用该算法得到的模拟电路系统的测点选择结果；最后分析模拟电路测点网络的脆弱性。

第五章：完成了模拟电路的二分网络模型分析及测点选择系统软件设计。基于Matlab软件，给出软件设计的总体流程和该系统的界面实现。

第六章：对全文进行工作总结，给出今后基于复杂网络在模拟电路系统的测试和故障诊断的研究方向和内容。全文的结构框架如图1-1所示：

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绪论复杂网络模型介绍复杂网络特性介绍复杂网络相关软件介绍模拟电路的二分网络建模原理二分网络主要研究方法模拟电路二分网络实例分析投影法分析网络特性分析结果比较直接法分析基于拓扑的节点中心性判断方法节点中心性介绍基于数据的节点中心性判断方法各种中心性判断方法关系分析测点重要性分析测点选择研究测点网络的脆弱性分析系统软件设计总体流程系统软件的界面实现全文总结与展望 图1-1论文结构框图

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第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

复杂网络理论的系统研究源于20世纪60年代匈牙利数学家Erd?s和Rényi建立的随机图理论[24][25]。随着小世界网络模型、无尺度网络模型在20世纪末被提出提出来，通过对众多不同领域的实际网络进行研究，分析其拓扑结构特征，并且对这些网络模型进行了深入的实证分析与研究，复杂网络理论得到了飞速发展，逐渐成为了各个科学领域的研究和探讨的热点。复杂网络的社团结构特性与计算机图形学中的分割（graph partition）以及社会科学中的分层聚类（hierarchical clustering）的关系比较密切。虽然它的研究已经有很长的历史，但是随着近些年来，复杂网络的蓬勃发展，社团结构已经成为复杂网络的一个重要分析和研究方向。为了方便有效地研究复杂网络，各类复杂网络研究软件不断产生，如UCINET [38]、NetVis[31]、Pajek [36][37]等。

2.1 复杂网络模型

复杂网络是一个由节点集V(G)和边集E(G)组成的图G(V,E) [24]。边集E(G)E(G)中的每条边ei与节点集V(G)中的点对(u,v)一一对应。复杂网络是对实际系

统进行抽象的一种模型，节点表示实际系统中的事物个体或者事件个体，连边表示原始系统中个体u和v之间存在某种特定的关系，否则该边就不存在。网络的邻接矩阵记为A?(aij)n?n。有连边的两个节点(u,v)被看作是相邻节点。用n表示节点集V(G)元素的个数，则根据网络的连接情况，可以得到网络模型的邻接矩阵。如果把两个个体i,j之间具有某种特定关系的连边用aij?1表示，不具有某种关系的邻节点之间连边用aij?0表示，则该系统所用的网络模型为无权无向网络。如果根据两个个体关系的亲密程度，采用不同的数值代表相应之间的连边，此时，该系统所用的网络模型为加权无向网络。若相邻节点的关系为偏序关系或者具有方向性，则可以采用有向网络对实际复杂系统进行映射。

本节中，我们主要介绍单顶点网络模型的参数描述，下面将从无权网络模型和加权网络模型分别介绍复杂网络的各种统计描述特征。

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2.1.1 无权网络模型

无权网络是指网络中的相邻节点的连边权重为1表示，而不相邻节点之间的连边权重用0表示。描述无权网络模型的参量很多，其中主要有：平均集聚系数、平均最短路径长度以及度分布。 2.1.1.1 平均最短路径长度

在介绍平均最短路径长度（Average shortest path length）[24]之前，先给出节点点之间的最短路径长度。设网络中的两个节点为i和j，则节点i,j之间的最短路径（距离）dij指为从节点i、j之间所有路径中的最短连边数目。

节点间最长路径的连边数目表示网络的直径D：

则其平均最短路径长度L为：

2.1.1.2 平均聚类系数

网络的平均聚类系数（平均集聚系数，Average clustering coefficient）[24]，是是指网络中一个节点的邻居之间也互为邻居的比率。节点i可能存在的邻点的最大值为ki(ki?1)2。设i节点在网络中的邻点数目为Ei，则其的聚类系数Ci定义为：

该网络的平均聚类系数C为：

C?1Ci ?niD?maxdij

i,j(2-1)

L?2dij ?N(N?1)i?j(2-2)

Ci?Ei

ki(ki?1)2(2-3)

(2-4)

由于在实际网络中Ei?ki(ki?1)2，则0?Ci?1，0?C?1。 基于邻接矩阵A?(aij)n?n的计算公式为：

其中

C?3N? N3(2-5)

N??k?j?i?aaijjkika (2-6)

10

第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

N3?k?j?i?(aaijik?ajiajk?akiakj)

(2-7)

2.1.1.3 度、度分布和度相关性

网络的度（Degree）[25]刻画了一个节点在网络中重要性的一个简单概念。一一个节点的度ki定义为该节点的邻边数目或邻点数目。ki越大表明节点i在网络中的重要性愈高。

平均度?k?和最大度kmax定义分别为：

?k???ki???aij??aji

jj(2-8) (2-9)

kmax?maxki

i网络的度分布（Degree distribution）是指节点度k的分布情况，用P(k)表示。 度的相关性：

度为k的节点的邻点平均度knn(k)定义为：

knn(k)??k?P(k?|k)

k?(2-10)

?ak?ijj? j?Ni?

knn(k)??knn,i(k)??1Ni?Mk?knn,i(k)?1N?1??i?Mk?ki(2-11)

2.1.2 加权网络模型

无权网络是复杂网络中一种最为简单的模型，其节点之间是一种开关关系。如果i,j之间有连接则用1表示，否则用0。但是在很多实际网络中，节点i与节点

j,k都有联系，但或许与节点j关系更紧密，耦合度更强，而与节点k的关系较节

点j疏远，耦合度弱。在这种情况下，采用不同的值表示与不同节点的耦合程度，能够对实际复杂网络提供更加真实、细致和全面的描述。在网络模型的建立过程中，无权网络仅是对实际网络的一种粗糙的近似简化，加权网络是一种更准确的模型，保留了实际网络的众多信息。

如果根据两个个体关系的亲密程度，采用不同的数值代表相应之间的连边，此时，该系统所用的网络模型为加权网络。如果加权网络的边权仅用0,1表示节点之间的亲密程度，则加权网络退化为上面的无权网络了。在加权网络中，主要需要关心几个方面的概念：点权、单位权和权重分布差异性、平均最短路径和平均聚类系数。下面将分别介绍这几个参数。

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2.1.2.1 点权、单位权和权重分布差异性

（1）点权Si（点强度）：

其中Ni表示节点i的近邻集合。 （2）单位权Ui：

表示顶点连接的平均权重。 （3）权重分布的差异性记为Yi：

?wij?Yi????

j?Ni?Si?2Si??wij

j?Ni(2-12)

Ui?Si ki(2-13)

(2-14)

表示与节点i相连的边权分布的离散程度。当两个节点有相同的点权和单位权，则差异性越大，离散程度越大。 2.1.2.2 最短路径长度

在加权网络中，最短路径长度的定义与无权网络中基本相同。但在无权网络中，边权不是1就是0表示连接与不连接的意义，而在加权网络中，边权有了不同的意义。当边权的意义不同时，网络中两点i,j之间的距离以及聚类系数的计算方式已经发生了巨大变化。在加权网中，按照连边权重的实际意义可以划分为相异权和相似权。在研究实际网络系统时，需要判断该加权网络是相似权网络还是相异权网络。

（1）相异权是节点i,j之间的连边权重与其之间关系的“亲密程度”呈正相关。节点(i,j)之间的各边权的和为：

wdij??wl

l?L(2-15)

其中l表示路径L上的一条边，wl表示它的边权。

（2）相似权是指节点(i,j)的连边权重与其之间关系的“亲密程度”呈负相关。两节点(i,j)之间的各边权的和为：

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第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

wdij?1 1/w?ll?L(2-16)

在本文中，由于两个测点之间的元器件数目越多使得该测点之间的“亲密程度”越大，测点之间的关系越强。因此，在研究模拟电路系统时，我们采用相异权的加权网络对模拟电路系统进行建模。 2.1.2.3 聚类系数

节点i的聚类系数Ci反映了该节点的邻居节点联系的密切程度。Ci越趋向于

1说明该节点的邻点之间的关联越密切。对于加权网络中的集聚系数有多种定义

方式，如Barat聚类系数，Onnela聚类系数和Petter Holme聚类系数[29]。本文中主主要用Petter Holme聚类系数，其定义如下：

wCH?www?maxw?wwijjkkij,ki,ji,jijj,k (2-17)

ki并且它满足下面几个条件： （1）Cw?[0,1]；

w（2）当转化为无权网络时，聚类系数CH应该与Watts-Strogatz定义的聚类系

数的结果统一。

（3）若网络中边权为0，则表示该边不存在（该权重必须为相似权）。 （4）包含节点i的三角形集团中三条边对加权集聚系数Cw(i)的贡献应该和边权成正比。

其中，Watts-Strogatz定义的聚类系数为：

?aaaC(i)??aaijj,kijkij,kjkik (2-18)

2.2 复杂网络的小世界性、无标度性和社团结构 2.2.1 复杂网络的小世界性

1998年，Watts和Strogatz[24][25]发现实际生活中的网络既不是规则网络，也不

也不是随机网络，而是一种具有“小世界性（Small-world性）”的网络。他们构造

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出了具有小世界性的WS（Watts-Strogatz）模型，其网络构成算法步骤如下：

（1）从一个具有N个节点规则网络出发，每个网络节点具有k（k为偶数）个邻点。

（2）以一定的概率p进行随机化重连，并且保证两节点i,j之间没有重边。 通过调整概率p的值可以得到从规则网络（p?1）到完全随机网络（p?0）之间的不同网络。当0?p?1时，如图2-1所示，构造的网络具有与规则网络和随机网络完全不同的特性：具有较大的聚类程度和较小的最短路径长度。

图2-1 不同p下，WS模型与随机网络的聚类系数C和平均路径L之比

由于小世界网络的高集聚系数使得网络的结构中出现许多团或者群。另一方面，大多数节点对之间以较短的最短路径长度相互连接。这是网络要求具有较小平均最短路径长度的结果。在此种情况下，这类网络常常会出现“枢纽”。

据研究表明，大量的实际网络都具有较高的集聚系数C和较小的平均最短路径L，表明他们都呈现出小世界性特征。许多学者发现在研究耦合微分方程系统的弛豫过程、同步现象是，发现这些耦合微分方程系统不仅具有较短的弛豫时间长度，而且具有良好的共振性特点。如果将耦合微分方程系统所描述的实际系统对于到其相应的网络模型上，可以看出：较短的弛豫时间长度也就是网络具有较短的平均最短路径长度，良好的共振性也就表明网络具有较高的集聚系数。因此，小世界性能够真实的刻画实际中的复杂系统的主要特性，小世界网络模型对于复杂系统、复杂网络的研究具有重大的实际意义。

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第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

2.2.2 复杂网络的无标度性

具有幂律性的度分布是大量实际网络除了小世界特性以外的另一个比较突出的特征，称为网络的无标度性（Scale-free性）[24]，如图2-2所示。无标度性是指网络的度分布不仅具有自相似结构，也具有较高的弥散性。对于Scale-free网络，多数节点只有较少的邻点，节点度较小；少数节点有较多的邻居点，节点度较大。此种结构使得无标度网络具有一个显著性的特性：网络的度分布呈现出幂律分布（或者称为帕累托分布）。含有该特征的网络能够对随机性的破坏具有较强的承受力，而对蓄意性（协同性）破坏的承受能力较差。现实生活中，Internet网络、金融网络以及社会关系网络等都具有无标度性。

在无标度网络中，任意节点i的度d为k的概率为

P(d?k)?1 k?(2-19)

表示节点i的度为k的概率与k的某个幂次具有正比例关系。

图2-2 20万个节点的无尺度网络的度分布

2.2.3 复杂网络的社团结构特性

复杂网络的社团结构特性是指网络从外部呈现出群（Group）或者团（Cluster）

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的结构[24]。这些团之间具有比较稀疏的连接，团的内部具有相对紧密的连接，如图2-3。

复杂网络的社团结构特性分析，对于实际网络特性的分析与研究具有比较重要的意义。在各个科学领域，社团结构分析都有较为广泛的研究与应用。本文将首次对模拟电路进社团结构分析与研究，并将其与模拟电路系统的故障诊断研究联系起来，从模拟电路系统的结构特性分析系统的模块功能、故障检测等。

图2-3复杂网络中的社团结构

2.2.3.1 无权网络社团结构算法

在无权网络中，社团结构研究方法主要有：（1）Keringhan-Lin算法；（2）谱平分法；（3）分裂法和凝聚法。

（1）Keringhan-Lin算法：

Keringhan-Lin算法[26]是通过Q值来评估网络G的社团划分结果情况。Q表示

示两个社团内部的连边数目与社团外部的连边数目之差。该算法每次只能将原始网络划分为两类。通过选择Q的最大值情况来进行社团划分，Q的增益为：

（2）谱平分法

谱平分法[27][28]主要是根据无权无向网络G的Laplace矩阵（L?K?A）的特的特征值来划分社团。L有一个平凡特征值，同一社团的节点对应的特征向量的元素相近。虽然该算法运行速度快，但它只能平分网络，而且必须对社团数目已知。因此，Capocci等人提出了基于Normal矩阵的谱平分法。该算法对社团结构不太显著的无权无向网络，同样可以取得比较良好的效果。通过计算标准矩阵N?K?1A的特征值与特征向量，而次大特征值所对应的特征向量元素的分布显示了网络的社

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?Q?Qafter?Qbefore

(2-20)

第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

团结构。

（3）分裂算法和凝聚算法[24]

分裂和聚类是层次聚类的两种思想。GN算法属于分裂方法，通过不断地去掉无权无向网络G中具有max{B(v)}的连边v。Newman等人采用模块度Q来评估社

v?E团划分的情况。

Q??(eii?ai2)?Tre?e2

i(2-21)

Q?[0,1]。Q值越大表示该网络的社团结构越显著。同时，凝聚算法也是通过

Q来评估社团划分的好坏情况。

2.2.3.2 加权网络社团结构算法

在无向网络中，连边的权重对社团划分起到了一定的影响。因此，在进行网络的社团结构划分的时候，需要参考边权因素。Qw为加权网络的模块度，其定义如下：

1Q?2Tw?wijij?TTij2T?(ci,cj)

(2-22) (2-23) (2-24)

Ti??wij

jT?1?wij 2ij其中wij代表节点i,j之间的边权，Ti为节点i的点权，ci表示包含节点i的社团的数目。

图2-4相同邻接矩阵的加权网络和无权多图

推广无权无向网络的社团结构划分算法可以得到加权无向网络的社团结构划

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分算法。将网络的邻接矩阵换成权重矩阵，可以得到加权网络的Keringhan-Lin算法和谱平分法。 对于分裂法和凝聚法，则必须将原始的加权网络转化为相应的无权多图（如图2-4所示），并且采用Qw（包含权重的Q函数）选择最优划分。

2.3 复杂网络软件介绍

由于复杂网络的类型具有多样化，图对网络的描述不仅具有形象化，也比较直观，有利于对网络特性进行分析与研究。在本文中，我们主要采用网络图从不同角度对模拟电路系统进行描述、分析与研究。

随着复杂网络与各个科学领域的不断交叉和发展，复杂网络数据不断增长，此时，急需很强大的工具来帮助复杂网络研究者——复杂网络分析软件。

到目前为止，复杂网络相应的分析软件工具种类很多。如Igraph[34]

、

、Pajek[36][37]、NetMiner3[32][33]、UCINET[38]、NETDraw[35][10]等。这些复杂网络分析软件各有所长，主要表现在对复杂网络规模的处理能力、对网络参数的运算速度网络的可视化以及软件使用的直观与方便性等方面。在网络规模处理能力方面，Igraph软件、Pajek软件、NetMiner3软件都可以处理节点在百万级的网络规模，UCINET节点的处理上限是三万多个。在网络的可视化方面，Pajek软件、

NetMiner3软件、GDToolkit软件、NETDraw软件等都具有比较好的网络可视化

功能。并且网络可视化也是复杂网络分析工具发展的一个重要趋势。

由于本文主要利用Pajek软件，UCINET软件进行可视化，Matlab软件进行模拟电路系统的网络参数计算与特性分析，所以在文中的此节中将主要介绍Pajek和

UCINET软件进行可视化，其他软件可以参考相关资料。

2.3.1 Pajek软件

Pajek软件是由Andrej Mrvar等人与1996年开发。具有三个主要特点：计算速

度快、可视化以及抽象化。

（1）在Pajek软件中，所有算法的实际时间复杂度主要是线性或者近线性的，为：O(n)、O(nn)或者O(nlogn)，都较O(n2)低。

（2）Pajek软件提供了一个比较人性化的视图平台。点击Open按钮择需要可视化的.net文件，再点击Pajek里面的调整。

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，选

菜单命令，即可得到.net文件

的网络图形。并且可以根据实际和用户的需要，手动或者自动进行网络的图形的

第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

（3）Pajek软件也为用户提供了一种有效的复杂网络分析算法。该方法可以从网络的整体出发对复杂网络的结构进行分析，并且可以较为方便地对相关特性进行计算。

Pajek软件中，数据的保存格式为.net文件。如图2-5是导入Pajek自带的数据

集weighted_Project1.net绘制的网络图，图2-6是对数据集kin.net接近度中心性分析的结果。

图2-5 Pajek绘图窗口

图2-6 接近度中心性分析结果

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2.3.2 UCINET软件

UCINET软件是由美国加州大学欧文分校（University of California at Irvine）

的Linton Freeman编写。后由波士顿大学的Steve Borgatti和威斯敏斯特大学的

Martin Everett进行维护以及更新工作[38]。它是一款功能十分强大的复杂网络分析

析软件。

在UCINET软件中，数据的存储主要是矩阵形式。UCINET软件中的数据集主要包括实际数据集文档、数据集相关信息文档两个文档。UCINET软件处理的数据类型较Pajek软件多并且更加方便。UCINET不仅可以直接导入数据集、对数据集进行编辑，也可以对原始数据进行转化。点击菜单

中spreadsheet选项如图2-7

是UCINET的spreadsheet窗口图，可以将原始数据转化成UCINET软件能够处理的数据类型：ASCII数据、以DL形式存储的ASCII数据、EXCEL数据，以及来自KRACKPlot、NEGOPY和Pajek的数据等。图2-8（b）是NETDraw对UCINET自带数据采用GN算法进行社团分析，（a）对社团划分进行可视化。分析结果（b）中显示该网络划分社团个数为3时，Q值最大（Q=0.550），此时该网络的社团结构划分结果最好。

图2-7 UNCINET Spreadsheet窗口

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第二章 复杂网络基本理论与相关软件介绍

（a）

（b）

图2-8 集成在UCINET中的NetDraw社团分析结果

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2.4 本章小结

复杂网络具有许多描述统计特性参数，如平均最短路径、集聚系数、度分布等。众多网络参数，从不同角度反应网络特性。但是，无权网络与加权网络的参数计算方法不同，加权网络参数计算较无权网络复杂。在现实生活中，许多实际网络都表现出小世界特性。一些网络不仅表现出Scale-free性，也呈现出社团结构特性。

本节同时也简单介绍了研究复杂网络的Pajek软件和UCINET软件。Pajek软件优势在于它可以分析和处理节点数目在百万级的大型网络，并且其中，很多算法的时间复杂度较低，运行速度非常快。而UCINET软件主要应用在社会学网络的分析中，效果较好，比如社会学网络中的社团发现、区域分析等。本文以简略形式介绍了复杂网络的统计参数、网络表现特性以及后面将用到的复杂网络软件。为后面的研究工作提供相关的理论信息以及软件工具。

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第三章 模拟电路系统的二分网络特性

第三章 模拟电路系统的二分网络特性

本章提出采用二分网络模型对模拟电路系统进行研究。这是首次将二分网络引入到电路系统的研究中来。由于电路系统拓扑结构的特殊性，采用二分网络模型研究模拟电路系统，研究相应网络的各种特性。

3.1 模拟电路系统的二分网络建模原理 3.1.1 二分网络模型

目前，根据复杂网络中的节点类型数目，可以将复杂网络划分成单顶点网络（Single vertex network）和二分网络（Bipartite network）等模式。

单顶点网络，是指只有一种类型的节点存在于复杂网络中。单顶点网络也称为单模式网络（Single mode network）。二分网络是指网络中有两种不同类型的节点，并且连边只存在于不同类节点之间。二分网络也称为双模式网络（Dual mode network）。其中，单顶点网络是最原始的复杂网络模型，并且也是研究最广泛的网络模型。二分网络也是复杂网络中的一种十分重要的网络表现模式，比如演员-电影网，科学家-论文网，队员-足球队网等。在实际中，二分网络模型在实际的研究与分析中具有一定的普适性，已经成为复杂网络理论研究的一个重要对象。图3-1（b）子图为二分网络模型的示意图。

本文将采用二分网络模型这一全新的视角对模拟电路系统进行分析与研究，利用模拟电路系统映射得到的网络模型的二分性角度，分析和研究模拟电路系统的网络特性和系统特性。

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图3-1 二分网络及其节点投影图。（a）第一类节点投影图；（b）二分网络示意图；（c）第二类

节点投影图。

3.1.2 二分网络模型在模拟电路系统研究中的优势

图3-2 电路星形联接与三角形联接的拓扑结构及其网络建模（a）为电路的星形结构；（b）为电路的三角形结构；（c）为电路星形联接与三角形联接的传统网络模型，二者的网络结构相同；

（d）为电路星形联接的二分网络模型；（e）为电路三角形联接的二分网络模型。

1 二分网络模型能够处理电路系统中的同构性问题。

在电路分析中，星形联接与三角形联接（如图3-2（a）和（b）所示）是两种比较特殊的联接，二者在拓扑上具有同构性。在传统的电路系统网络建模中，这两类结构得到的网络结构相同（图3-2（c））。但是二者的电气特性并不同，因此传统的建模方法是有缺陷的。为了弥补传统方法的这一缺陷，本文首次提出采

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第三章 模拟电路系统的二分网络特性

用二分网络模型对模拟电路系统进行建模分析。如图3-2（d）和（e）分别代表星形联接和三角形联接对应的二分网络结构，从（d）和（e）子图可以看出，采用二分网络模型可以将在拓扑上具有同构关系的电路结构区别开来。

2 二分网络模型能够得到除元器件网络以外的模拟电路系统的信息。 二分网络模型的主要研究方法有投影法和直接分析法。若采用投影法，则可以得到模拟电路系统的测点网络与元器件网络的网络特性。而模拟电路系统的传统网络模型只能够得到单一网络的特性。因而，在利用传统网络模型研究模拟电路系统时，丢失了测点网络或者元器件网络的信息以及相应的特性。若二分网络的另一种研究方法——直接分析法，研究模拟电路系统，也可以同时得到测点与元器件的信息。

3 二分网络模型能够处理规模较小的电路系统。

在电路系统映射到二分网络模型的过程中，测点与元器件都作为网络节点，因此得到的二分网络的规模是N(M)?N(C)，其中N(M)和N(C)分别为电路系统中测点数目和元器件数目。而映射到传统的网络模型，其网络规模为N(M)或

N(C)。因此，在网络规模相同的情况下，二分网络所研究的电路系统规模较传统

网络模型所研究的规模小。由于复杂网络研究的对象需要存在一定的规模，在此条件下，显然二分网络模型较传统网络模型研究的电路范围更广，能够处理较小规模的电路系统。

因此，较传统的网络模型，二分网络模型更适合模拟电路系统的研究。不仅能够弥补传统方法不能处理电路系统中的同构性问题，也能够得到电路系统更完整的系统信息（测点和元器件的相关信息），还可以分析和研究具有较小规模的电路系统。

3.2 基于二分网络模型的模拟电路系统研究方法 3.2.1 二分网络模型的研究方法

目前，对于二分网络模型的研究主要有两种方法：

1）投影分析法[40][42]。将二分网络进行投影得到相应的两类单顶点网络，然后然后分别对这两个单顶点网络进行分析。

2）直接分析法[39]。直接给予原始系统的二分网络模型进行分析。

投影分析的方法主要包括无权投影和加权投影两类投影方式。投影法的缺点

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是不能完整地保留和描述原始网络系统的全部信息。投影法的优点是简单、快速。当我们只需要初步探究原始系统的特性时，投影分析法是不错的选择。投影后的单顶点网络能够从一定程度上反应原始网络系统的特性。并且可以探究某些直接分析法不能够获得的信息。直接分析的方法能够最大程度地保留原始网络系统的各种信息，但是研究过程较投影分析方法复杂。

在电子电路系统中，电阻、电容、三极管、集成芯片等器件及其之间的连接形成了一个具有相应功能的系统。从电路系统的原理图及其相应的拓扑结构可以看出，电路系统本身就是一个网络形式，元器件可以抽象成为节点，而之间的连接可以抽象成以两个元器件为端点的连边。此种模型，在复杂网络中称为单网络模型，已经被前人研究了长时间，也得出了许多研究成果，但是该模型是有缺陷的，也不够完善。因电路系统本身的特性，其更适合与二分网络模型。

在本文中，将电子电路系统中的器件如电阻、电容、三极管、集成芯片等，映射成为二分网络中的一类节点，而将电路中的节点（测点）以及地点映射成为二分网络中的另一类节点。由此得到的二分网络称为元器件-测点网络。下面我们将采用二分网络模型对模拟电路系统进行分析和研究。 3.2.1.1 无权投影

二分网络G(A,B,E)，其中A代表网络的一类节点，B代表网络的另一类节点，

E表示A类节点与B类节点之间的连边。设ai,aj?A，bh,bk?B，如果节点ai与

节点aj都与B类中的一节点bh相连，则投影得到的单顶点网络A中节点ai与节点

aj相邻，表示节点ai与aj之间有“合作”关系。如果节点bh与节点bk都与A类中的一节点ai相连，则投影得到的单顶点网络B中节点bh与节点bk也相邻，表示节点bh与bk之间也有“合作”关系。但是这种投影方式，指将原始二分网络的中同类节点是否“合作”过进行描述，并没有将“合作”强度进行细致地描述，这样在一定程度上造成原始二分网络的信息丢失。如图3-1（b）为二分网络，其两类节点分别为：{1,2,3,4}和{A,B,C,D,E,F}。投影之后的结果为：图3-1（a）是第一类节点网络的单顶点网络，图3-1（c）是第二类节点网络的单顶点网络[41]。 3.2.1.2 加权投影

相比无权投影方式，加权投影方式能够在一定程度上保留原始二分网络的更多信息，有利于原始模拟电路系统的研究。根据不同权重的定义方式，采用加权投影方法所得到的单顶点加权网络不同。

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第三章 模拟电路系统的二分网络特性

权重定义方式一[41]：将权重定义为A类节点（或者B类节点）共同连接的B类类节点（或者A类节点）的个数，其投影过程如图3-3。

图3-3 二分网络两类节点的简单加权投影图

权重定义方式二[40]：根据“合作”的程度进行加权。投影过程中的权重定义义为：

wij??k1 nk?1(3-1)

其中，nk为二分网络中的A类节点ai与节点aj“合作”的第k个B类节点bk的

A类节点数目。1(nk?1)表示第k次“合作”的贡献率。

方式一与方式二定义的权重所得的边权具有对称性[42]，但是，现实中的很多多网络节点之间并非都具有对称性[41][42]。

权重定义方式三：根据“合作”亲密程度的贡献进行加权，一对节点中，两个节点的加权应该不同，具有不对称性（偏序性）。

由于传统的二分网络投影的过程中，如果一个节点ai只有一条边（即该节点的度为1），那么它在投影之后就不存在了，其原因主要是节点ai与节点aj之间的边是由节点ai和节点aj出发，连接到同一个另一类点bh的边投影而成的[41]。

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考虑到二分网络中连边的权重具有不对称性以及节点度为1的节点的消失，周涛等[41]提出了二分网络的加权投影中权重定义的一种新方法：

权重定义方式四[41]：采用资源分配的观点进行投影边的权重定义，其投影过程如图3-4。

图3-4 二分网上的资源分配过程示意图

设A类节点的初始资源分别是x,y,z。其二分网络的资源分配过程如下： （1） 将A类节点分别平均地配置到B类节点； （2） 将B类节点再均分到A类节点。

配置过程如图3-4，方程组(3-2)为资源配置的方程形式。其中W为相应的节点资源配置权重矩阵。

?x???x??11/181/65/18????????y?Wy,W?1/95/125/18??????. ?z???z??5/185/124/9???????(3-2)

3.2.1.3 直接基于原始二分网络进行分析

投影法是目前比较经典、使用十分广泛的一种二分网络研究方法。但不论无权投影或者加权投影都会在一定程度上损失原始二分网络的某些基本信息，并且可能增加某些非原始系统自带的特性。因此，M. Latapy 等人[39]认为基于原始二分

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第三章 模拟电路系统的二分网络特性

分网络系统进行分析是一种新的研究方向。

在直接分析法中，二分网络的参数如度和度分布、平均最短路径长度、介数定义及计算方式与普通的单顶点基本相同，但在网络的集聚系数的定义与计算方面有所不同。M. Latapy 等人给出了一种二分网络点集聚系数的定义：

其中

cc?(u)?v?N(N(u))?cc?(u,v)

(3-3)

N(N(u))cc?(u,v)?N(u)?N(v)N(u)?N(v) (3-4)

表示节点u和v的共有邻居节点数目与u,v的所有邻居节点数目之比。 网络的平均集聚系数定义为：

cc?(G)?n?cc?(?)?n?cc?(?)

n??n?(3-5)

其中n?和n?分别代表第一类节点（上类节点）的数目和第二类节点（下类节点）的数目。cc?(?)和cc?(?)分别代表第一类节点的聚集系数和第二类节点的聚集系数。

由于，目前投影法仍是二分网络的主要研究方法，本文中将采用主要投影法对模拟电路系统进行分析与研究。本章重点采用投影法对模拟电路系统进行较为详细的实例分析，也采用直接分析法对电路系统进行实例分析，并且对两种方法得到的网络特性进行比较。

3.2.2 模拟电路系统的二分网络研究流程

Step1 利用Pspice画出待研究电路的原理图，仿真运行得到电路的*.net网表文件。

Step2 采用Matlab软件的M文件读取*.net网表文件，输出待研究电路的邻接矩阵T。

Step3 建立待研究电路系统的二分网络模型。

Step4 利用二分网络的投影法，得到无权测点网络的邻接矩阵M、无权元器件网络的邻接矩阵C、加权测点网络的邻接矩阵wM以及加权元器件网络的邻接矩阵wC。

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Step5 根据第二章介绍的单顶点网络参数计算公式对无权测点网络、无权元器件网络、加权测点网络和加权元器件网络的各种网络参数进行计算。

Step6 根据网络特性分析方法，对电路系统的各个单顶点网络进行分析，并结合系统本身给出网络特性对应的电路系统特性。

Step7 采用二分网络的直接分析方法，对电路系统的二分网络模型进行网络参数计算与网络特性分析。

Step8 将电路系统二分网络模型的投影法得到网络特性与直接分析法相应结果进行对比。

下面给出本文中模拟电路系统二分网络研究的流程图如图3-5：

选择模拟电路系统，利用Pspice画出电路原理图提取网络，得到电路的邻接矩阵T，并存为*.mat格式建立二分网络模型进行无权投影，得到系统的无权网络进行加权投影，得到系统的加权网络采用直接分析法计算网络参数分析网络特性两种方法分析结果比较 图3-5 模拟电路系统二分网络研究流程图

3.3 基于投影法的模拟电路系统二分网络实例分析

在本文中，将电路系统中电源正极相邻的节点标记为节点n0，并且把地点标记为0。由于对线性网络电路进行网络分析时，电源作为一个元器件节点，电路映射到网络的过程中，电源对于整个网络的特性分析影响较小。由于本文中所用的

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