2009高考数学解答题专题攻略——函数与导数 -

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2009高考数学解答题专题攻略--函数与导数

一、08高考真题精典回顾： 1.（全国一19）．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． 解：（1）f(x)?x3?ax2?x?1求导：f?(x)?3x2?2ax?1 当a2?2?31?3?≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增

?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?

32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增 ???3????a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?337 4，且a2?3解得：a≥2.（辽宁卷22）．（本小题满分14分） 设函数f(x)?lnx?lnx?ln(x?1)． 1?x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+?）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）f?(x)?1lnx11lnx?????． ·········· 2分

x(1?x)(1?x)2xx?1(1?x)21)时，f?(x)?0， 故当x?(0， 第 - 1 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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x?(1，∞?)时，f?(x)?0

所以f(x)在(0，4分 1)单调递增，在(1，∞?)单调递减． ··············· 由此知f(x)在(0，∞6分 ?)的极大值为f(1)?ln2，没有极小值． ·········· （Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时， 由于f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnxln(1?x)?x?ln(1?x)?lnx???0，

1?x1?x故关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0，∞?)． ··············· 10分

ln2n1?lnx?1??n（ⅱ）当a?0时，由f(x)?，其中n为正?ln?1??知f(2)??ln1??nn?1?xx1?2???2?整数，且有

nn1?a1?············· 12分 ln?1?n???n?e2?1?n??log2(e2?1)．

2?2?2ln2nnln2nln22ln2???又n≥2时，． nnn(n?1)1?21?(1?1)n?12且

2ln2a4ln2??n??1． n?12nn2取整数n0满足n0??log2(e?1)，n0?4ln2?1，且n0≥2， a则f(20)?nn0ln21??ln1??n1?2n0?20?aa????a， ?22?)． 即当a?0时，关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0，∞?)，且a的取值综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0，∞范围为??∞，14分 0?．

3.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的

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总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?DOPCAB

AQ10?, 故 cos?cos?10，又OP＝10?10tan?10－10ta?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?OB?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10? （Ⅱ）选择函数模型①，y?'令y?0 得sin ??'?10cos??cos???20?10sin????sin??10?2sin??1?? 22cos?cos???1，因为0???，所以?=，

462????,?时，y'?0 ，y是?的增函数，?64?当???0,所以当?=

????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???'?时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 6103km处。 3二、09高考数列分析与预测：

以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数极值理论，单调性及其应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向，预测2009年高考导数问题命题的五大热点如下：

热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合

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一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想。 热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题。

热点三、在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等综合运用知识的能力。

热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。

热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力。 备考指南：

复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。 三、高考热点新题： 1.已知函数f(x)?lnx?a(a?R) x（Ⅰ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的取值范围。

2.已知函数f(x)?ln(ax)?ln(ax)?ln(x?1), (a?0,a?R) x?1（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

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（Ⅲ）当a>0时，若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，求a的取值范围.

3.某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系： 39(2x2?29x?107) (5?x?7) Q＝ 198?6x (7?x?8)

x?5 （1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.

2x2?1x4.已知函数g(x)?的图像关于原点成中心对称 ，设函数f(x)??cx?1．

x?cg(x)lnx(1)求f(x)的单调区间;

(2)已知e?x对任意x?(1,??)恒成立．求实数m的取值范围(其中e是自然对数的底数)．

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5.设函数f(x)?(x?1)?blnx，其中b为常数．

21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）若函数f(x)的有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点；

（Ⅰ）当b?（Ⅲ）若b??1,试利用（II）求证：n?3时，恒有

6.已知函数f(x)?ln(x?1),g(x)?211。 ?lnn?1?lnn???2nn1?a. x2?1（1） 求g(x)在P(2,g(2))处的切线方程l;

（2） 若f(x)的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值； （3） 求方程f(x)?g(x)的根的个数.

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7.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)?1?ax2(a?0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t,f(t))

O y N P （1）将?OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)； （2）若在t?

四、高考热点新题参考答案：

1解：（1）f(x)的定义域为(0,??),f?(x)?令f?(x)?0得x?e当x?(0,e当x?(e1?a1?aM x

1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 21?(lnx?a)

x2

)时,f?(x)?0,f(x)是增函数

1?a,??)时,f?(x)?0,f(x)是减函数

1?a∴f(x)在x?e处取得极大值,f(x)极大值?f(e1?a)?ea?1

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（2）（i）当e1?a?e2时，a??1时，由（Ⅰ）知f(x)在(0,e1?a)上是增函数，在(e1?a,e2]上是减函数

?f(x)max?f(e1?a)?ea?1

又当x?e?a时,f(x)?0,当x?(0,e?a]时f(x)?0.当x?(e?a,e2]时，f(x)?(0.ea?1)所以

f(x)与图象g(x)?1的图象在(0,e2]上有公共点，等价于ea?1?1

解得a?1,又a??1,所以a?1 （ii）当e1?a?e2即a??1时，f(x)在(0,e2]上是增函数，

2?a e222∴f(x)在(0,e]上的最大值为f(e)?所以原问题等价于

2?a2?1,解得a?e?2. 2e又?a??1，∴无解

2解：（Ⅰ）当a?0时函数f(x)的定义域为(0,??)；

当a?0时函数f(x)的定义域为(?1,0)

x?1?ln(ax)11??（Ⅱ）f?(x)?x xx?1(x?1)2(x?1)?xln(ax)?(x?1)2?x(x?1)?ln(ax) ??x(x?1)2(x?1)2令f?(x)?0时，得lnax?0即x?1， a1a①当a?0时，x?(0,)时f?(x)?0，当x?(,??)时，f?(x)?0， 故当a?0 时，函数的递增区间为(0,)，递减区间为(,??) ②当?1?a?0时，?1?ax?0，所以f?(x)?0， 故当?1?a?0时，f(x)在x?(?1,0)上单调递增．

③当a??1时，若x?(?1,)，f?(x)?0;若x?(,0)，f?(x)?0， 故当a??1时，f(x)的单调递增区间为(,0);单调递减区间为(?1,)．

1a1a1a1a1a1a1a 第 - 8 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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（Ⅲ）因为当a?0时，函数的递增区间为(0,);单调递减区间为(,??) 若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，只须f()?ln(2a)，

1a1a1a?a?0a?1a?1?)?ln2a??2a??1?0?a?1 即ln(aa??a?1??23解：（1）据题意的

39(2x2?29x?107)(x?5)...(5?x?7)198?6xy?{(x?5)....................(7?x?8)

x?5?50?10(x?8)?(x?5)...........(x?8)39?(2x3?39x2?252x?535)...(5?x?7)?{6(33?x)..................................(7?x?8)

?10x2?180x?650.......................(x?8)（2）由（1）得：当5?x?7时，y?39?(2x3?39x2?252x?535)

y'?234(x2?13x?42)?234(x?6)(x?7)

当5?x?6时，y'?0，y?f(x)为增函数 当6?x?7时，y'?0,y?f(x)为减函数

?当x?6时，f(x)max?f(16)?195

当7?x?8时，y?6(33?x)??150,156? 当x?8时，y??10(x?9)2?160

当x?9时，ymax?160 综上知：当x?6时，总利润最大，最大值为195

x2?1x,f(x)?x, 4解: (1) 由已知可得C=0, ∴g(x)?xlnf?(x)?lnx?1, 令f?(x)?0,得x?e．列表如下: ln2xx

f?(x)

(0,1) -

(1,e)

-

(e,??)

+

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f(x)

单调减 单调减 单调增

所以f(x)的单调增区间为(e,??),单调减区间为(0,1)和(1,e) (2)在e?x两边取对数,得x?mlnx．而x?1．所以m?由(1)知当x?(1,??)时,f(x)?f(e)?e．所以m?e． 5解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，

xmx lnx112(x?)2?b?b2x?2x?b22 (x?0) f'(x)?2x?2???xxx1?当b?时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增．

22（2） ①由（Ⅰ）得，当b?②当b?1时，f/(x)?0,函数f(x)无极值点． 2111?2b11?2b时，f?(x)?0有两个不同解，x1?? , x2??2222211?2b11?2b?i) b?0时，x1???0?(0,??)，舍去， 而x2???1?(0,??),

2222此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,x2) ? 减 x2 0 极小值 (x2，??) ? 增 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点, x?ii） 当0?b?11?2b， ?221时，0

222222（3）由（2）可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)?lnx，此时f(x)有惟一极小值点

综上所述：当b?0时，f(x)有惟一最小值点, x? 第 - 10 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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