多边形及其内角和

年 级 课程标题 一校 初二 林卉 学 科 数学 二校 黄楠 编稿老师 审核 郑如霞 孙永涛 多边形及其内角和

一、考点突破

多边形及其内角和是中考的常考内容，多以选择题、填空题的形式出现，常与其他知识综合考查，也经常单独以探究性题目出现。

主要考查以下内容：

（1）多边形、多边形的对角线、正多边形等有关概念； （2）多边形内角和公式及多边形外角和度数； （3）平面镶嵌的定义；

（4）正多边形铺满地面的条件及图形特征；

二、重难点提示

重点：熟练应用多边形内角和公式及多边形外角和度数解决实际问题。 难点：掌握一种和多种正多边形铺满地面的条件及图形特征。

能力提升类

∠2等于（ ）

例1 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋

A. 90° C. 270°

B. 135° D. 315°

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一点通：根据三角形内角和求出∠A＋∠B的和，再根据四边形内角和公式求出∠1＋∠2的度数。

解：∵∠C＝90°，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠B＝180°－90°＝90°， ∵∠1＋∠2＋∠A＋∠B＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 故本题选择C。

点评：本题求∠1＋∠2的和，应考虑整体代换法，而不是先求某个角的度数再相加。

例2 在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形。将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）

A. ①③④

B. ②③④

C. ①②③

D. ①②④

一点通：分别求出各个正多边形的一个内角的度数，组合后在一个顶点处，正多边形的内角和为360°。

解：①正三角形的每个内角为60°，正方形每个内角为90°，三个正三角形与两个正方形组合后，在一个顶点处内角和为360°，可以平面镶嵌；

②正三角形的每个内角为60°，正六边形每个内角为120°，两个正三角形与两个正六边形组合后，在一个顶点处内角和为360°，可以平面镶嵌；

③正六边形每个内角为120°，正方形每个内角为90°，组合后在一个顶点处内角和不能为360°，不能平面镶嵌； ④正方形每个内角为90°，正八边形每个内角为135°，一个正方形与两个正八边形组合后，在一个顶点处内角和为360°，能平面镶嵌。

故本题选D。

点评：本题正多边形能作平面镶嵌的条件是：在一个顶点处，正多边形的内角和为360°。

例3 如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570?，求这个没有计算在内的内角的度数。

一点通：多边形每增加一条边，内角和增加180 o，用2570除以180后，所得的整数再加上3，为多边形的边数。

解：2570÷180＝14余50

∴多边形的边数为14＋3＝17条边， ∴内角和S＝（17－2）×180? ＝2700?， ∴所求内角度数为2700?－2570?＝130?。

（或用2570÷180＝14余50，180o-50o ＝130o）

点评：本题主要考查正多边形的边数与内角和的关系。

综合运用类

例4 已知一个十边形，（1）求它的内角和等于多少度？ （2）要使这个多边形的内角和增加1080°，还要增加几条边？ 一点通：根据多边形内角和公式(n?2)?180?求度数。

? 解： （1）(n?2)?180??(10?2)?180??8?180??1440（2）(n?2)?180??1440??1080??2520?

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2520??180??14?n?14?2?16 16?10?6∴还要增加6条边。

点评：本题主要考查多边形内角和公式，同时多边形每增加一条边，内角和增加180°。

例5 如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。

一点通：连接BE，将问题转化为多边形的内角和问题。 解：如图，连接BE，则∠1＋∠2＝∠D＋∠C， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G ＝∠A＋∠ABC＋∠1＋∠2＋∠DEF＋∠F＋∠G ＝（5-2）×180° ＝540°。

点评：解决本题的关键的基本思路是把所求的几个角转化为一个多边形的角的问题。

思维拓展类

例6 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC的度数是多少？

一点通：根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据三角形内角和定理解答即可。

解：因为正五边形的内角和为（5－2）×180? ＝540?，

每个内角是540?÷5＝108°，边长相等，

所以∠BAC＝（180°-108°）÷2＝36°。

点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质。

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（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；

（2）三角形的内角和是180度。求角的度数常用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件。

例7 下列美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（ ）

A. B. C. D. 一点通：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 解：A. 从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成； B. 从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成； C. 从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成； D. 从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成。 故选D。 点评：解决本题的关键是应从一个顶点处看是由哪几种正多边形镶嵌而成的。 例8 已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n＝3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n＋7，周长为67，边长为b。有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等。”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值。 一点通：（1）边长＝周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值。 解：（1）a＝20； （2）此说法不正确。 理由如下：尽管当n＝3，20，120时，a＞b或a＜b， 但可令a＝b，得6060?76067??，即 。 nn?7nn?7∴60n＋420＝67n，解得n＝60， 经检验n＝60是方程的根。 ∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60。 点评：读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键。

1. 熟记多边形的内角和公式及外角和的度数； 2. 多边形的对角线条数公式；

3. 区分单一正多边形和多种正多边形可以平面镶嵌的条件； 4. 多边形每增加一条边，内角和增加180度。

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问题：如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为多少？

一点通：①边数是12＝3×4，②边数是20＝4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n＋1）。

解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12＝3×4， ②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20＝4×5， ③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30＝5×6， ④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42＝6×7，

∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n＋1）。 点评：首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，再进一步推广。正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n＋1）。

（答题时间：60分钟） 一、看一看，选一选

1. 已知一个凸多边形的内角和等于900°，则它是________边形 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 一个凸多边形的内角中，最多有________个锐角

（ ）

（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一个凸多边形的每个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有

________条对角线

（ ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 4. 一个凸多边形的内角和小于2008°，则它最多是________边形

（ ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

5. 若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边形的边数一定不小于 （ ） A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

二、想一想，填一填

6. 已知一个四边形的三个内角分别等于90°、100°、78°，则另一个内角等于________。 7. 正五边形的每个内角的度数等于________。

8. 一个正多边形的内角和为1800°，则它的一个外角等于________。 9. 已知一个凸多边形的内角和等于外角和的4倍，则它是________边形。

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10. 已知一个凸多边形的所有内角与某一外角之和等于1300°，则它是________边形。

三、算一算。答一答

11. 已知一个五边形各外角的度数之比为1：2：3：4：5，求它的内角大小。

12. 已知两个多边形的边数之比为1：2，内角和的大小之比为1：3，求这两个多边形的边数。

13. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的大小。

14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，分别交CD、AB于E、F，试猜想BE和DF的位置关系，并说明你的理由。

15. 已知有长度分别为1，2，3，4，…，99的线段，用这些线段连起来做边长，能否构造成一个：（1）正方形；（2）长方形？构造时要求所有这些线段都用到，每条线段不能分断。

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1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. 92° 7. 108° 8. 30° 9. 十 10. 九

11. 解：设外角的度数分别为x，2x，3x，4x，5x，则x?2x?3x?4x?5x?360?，x＝24°，外角的度数为24°、48°、72°、96°、120°，所以内角的度数为156°、132°、108°、84°、60°。

12. 解：设边数分别为n，2n，则（2n－2） ×180°＝3（n－2） ×180°，解之得n＝4 。这两个多边形为四边形和八边形。 13. 解：如图，连接BE。 在△ODC与△OBE中， ∠D＋∠C＋∠4＝180°， ∠1＋∠2＋∠3＝180°。 又∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠2＝∠D＋∠C。 在四边形ABEF中，∠A＋∠F＋∠FED＋∠1＋∠2＋∠CBA＝360°。 ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。 14. BE∥DF。 ∵∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝180°。 又BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＋∠ADF＝11∠ABC＋∠ADC 221＝×180°＝90°。 2由∠A＝90°可得∠AFD＋∠ADF＝90°， 从而∠ABE＝∠AFD。 ∴BE∥DF。 15. （1）若能构造成正方形，则周长是4的倍数，但1＋2＋3＋…＋99＝4950，两者矛盾，所以不能构造成正方形 （2）将所给线段配成（1，98），（2，97），（3，96），…，（49，50），它们的长度和均为99，另有99这一线段，所以共有50组，能构造成长方形。

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