周庄中学初三数学国庆作业2

初三数学国庆作业2 2020.9.30

用相似三角形解决问题

题型一、平行投影与相似

例1．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度．

借题发挥：兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米．如图所示，若此时落在地面上的影长为4.3米，求树高．

题型二、中心投影与相似

例2．如图，河对岸有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

借题发挥：如图，直角坐标平面内，小聪站在x轴上的点A（－10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5m，他的前方5m处有一堵墙CD，若墙高2m．求：（1）y轴上盲区EF的长；（2）盲区CDFE的面积．

9.6

2

A

B

D

C

A

B

C

E

D O

F

x

y

A B C x y O 题型三、图形的位似 例3．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为

A （0，3）、

B （3，4）、

C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ；

（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；

（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．

借题发挥：如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是 ．

题型四、相似的综合应用 例4．如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC =3，求△ABC 移动的距离．

三、能力提升

1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得AB ＝1.2m ，

BC ＝12.8m ，则建筑物CD 的高是 （ ）

A ．17.5m

B ．17m

C ．16.5m

D ．18m

2．已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC =1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，则BF ：FC （ ）

A ．1：1

B ．1：2

C ．1：3

D ．2：3

3．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为 （ ） A ．15 B ．10 C ．7.5 D ．5

x

y A B D H F

B

D A C 第1题 第2题 第3题

4．如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°

，

AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．

5．如图，在四边形ADEB 中，DE AD ⊥，DE BE ⊥，垂足分别为D 、E ，点C 在DE 上，连接AC 、BC ，请补充一个条件 ，使ADC ?∽CEB ?．

6.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．

7．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （DE =BC =0.5米，A 、B 、C 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG =15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG =3米，小明身高1.6米，求凉亭AB 的高度．

8．如图，直线y =12x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似

图形，且相似比为1：3，求点B 的对应点B ′的坐标．

9．如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．

第4题 第5题 第6题

A B

C O x y

10．如图，在△ABC 中，AB =AC =1，点D 、E 在直线BC 上运动．设BD =x ， CE =y ．

(l)如果∠BAC =30°，∠DAE =l05°，试确定y 与x 之间的函数关系式；

(2)如果∠BAC =α，∠DAE =β，当α、β满足怎样的关系时，(l)中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．

11．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A =40°，∠B =60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线； （2）在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数； （3）如图2，△ABC 中，AC =2，BC =2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰

三角形，求完美分割线CD 的长．

A D C

B 图1 A

C 图2

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