近世代数教学大纲

《近世代数》课程教学大纲

2011年制订，2014年修订

课程代码：031209

课程名称：近世代数/Modern Algebra 课程类别：专业主干课 开设学期：第六学期

开课单位：数学与计算机应用学院应用数学系 开课对象：数学与应用数学专业三年级 先修课程：高等代数

课 时：54学时，其中讲授48学时

选定教材：近世代数初步（第二版），石生明，北京，高等教育出版社，2006。 参 考 书：近世代数，熊全淹，武汉，武汉大学出版社，2004。

抽象代数学，谢邦杰，上海，上海科学技术出版社，1982。

近世代数，杨子胥，北京，北京师范大学出版社，2011。

课程概述：近世代数是以讨论代数系统的性质与结构为中心的一门学科，它是高等代数的延续，是现代数学的重要分支之一，是进入数学王国的必经之路，是培养学生严密的逻辑思维能力的重要课程之一。本课程的思想和方法已经渗透到数学的许多分支，形成新的数学领域。它的结果也已经应用到科学技术的许多领域（如计算机科学、理论物理、理论化学等）。

教学要求：通过教学使学生了解近世代数的基本概念和理论，掌握研究代数结构的一般方法，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。

教学重点和教学难点：本课程的教学重点有群、环、域的定义及其联系和区别，同态基本定理的证明及其应用。教学难点有同态基本定理，Lagrange定理，Cayley 定理，有限域的构造等的应用。 学时分配： 章节 第一章 第二章 第三章 第四章 主要内容 基本概念 群 环和域 有限域及其应用 各教学环节学时分配 讲授 8 18 16 6 实验 讨论 习题 0 2 2 2 课外 其它 合计 8 20 18 8 备注 各章教学要求及教学要点

第一章 基本概念 学时：8 教学要求：

1. 掌握代数运算的定义，理解代数运算与映射的关系。 2. 理解群、环、域的定义，了解群、环、域的基本性质。 教学内容：

一、代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念，代数运算与映射的区别。 二、群的定义：群的概念及其基本性质，幺半群和交换群的概念。 三、环和域的定义。

第二章 群 学时：20 教学要求：

1. 了解一些常见的群的例子，理解置换的概念和对称群的简单性质。 2. 掌握子群、同构及同态的定义，理解同态基本定理及其应用。

3. 理解群作用、轨道、轨道长、陪集、稳定化子的概念，掌握Lagrange定理及其应用，了解轨道数定理及其在计数问题中的应用。

4. 熟悉循环群和交换群的结构和性质，了解正规子群、商群的概念。 教学内容：

一、常见的群的例子，n元置换，奇置换，偶置换，轮换，交错群，置换的共轭变换和共轭元，置换的分解及置换奇偶性的判定。

二、常见图形（三角形、四边形）的对称性变换群，多项式的对称性变换。

三、有限群，无限群，群的阶，子群，循环群，同态，同构，子群的判断方法，群同构的例子。

四、群在集合上的作用及其例子，Cayley 定理，轨道，轨道的代表元，等价关系，等价类。

五、左陪集，右陪集，陪集，陪集分解，Lagrange定理，稳定化子，共轭类，中心化子，类长与类方程定理。

六、循环群及其子群的性质，循环群的判定，正规子群，商群。

七、同态核，同态基本定理，轨道数定理（Burnside定理）及其在计数问题中的应用。

第三章 域和环 学时：18 教学要求：

1. 了解一些常见的域的例子及二元域的构造。

2. 掌握域的扩张、扩张次数及单扩张的构造，会计算域的扩张次数。

3. 了解利用域扩张解决古希腊三大几何作图难题。 4. 熟悉子环、交换环、理想的概念，理解环同态基本定理。 5. 掌握整数模n的剩余类环、素数p个元的域的基本性质。 6. 了解整环的分式域，素域的概念，中国剩余定理及其应用。 教学内容：

一、常见的域的例子，2元域及其简单应用，域的特征。

二、子域，扩域，单扩域，有限生成的扩域，域的扩张次数，代数元，超越元，极小多项式，域的扩张次数的计算及其应用，古希腊三大几何作图问题。

三、交换环，子环，理想，商环，除环，极大理想，环的同态基本定理。

四、整数模n的剩余类环和素数p个元的域的关系及基本性质，欧拉函数，欧拉-费尔马定理。

五、F[x]模某个理想的剩余类换，添加一个多项式根的扩域。

六、整环，分式域，素域，域的特征的分类，环的直和，中国剩余定理及其应用。

第四章 有限域及其应用 学时:8 教学要求：

1. 掌握有限域的基本构造。

2. 理解有限域上不可约多项式及其周期，了解本原多项式及其应用。 教学内容：

一、有限域的特征，有限域的阶与特征的关系，有限域构造的定理及其证明。 二、有限域上不可约多项式及其周期，有限域及其扩域的性质及证明，本原多项式及其应用。

说 明

本教学大纲2013年经过修订。

制订部门：数学与计算机应用学院

执笔： 王 晓 2014年7月

审阅： 年 月 审批：

年 月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z7w.html