并联机器人大作业—徐齐平

并联机器人大作业

学 院： 机电学院 姓 名： 徐齐平 学 号： S201001065 指导教师： 余跃庆

2011-7-25

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引言 ............................................................................................... 2 一、并联机器人的特点 ................................................................ 3 二、并联机器人的分类 ................................................................ 4 三、并联机器人的应用 ................................................................ 4 四、并联机器人的主要研究方向 ................................................ 5 1.运动学分析 ............................................................................ 5 2.动力学分析 ............................................................................ 7 3.奇异结构分析 ........................................................................ 8 4.工作空间分析 ........................................................................ 8 五、并联机器人研究面临的问题 ................................................ 8 六、展望 ....................................................................................... 9 参考文献 ..................................................................................... 10 五杆机构分析 ............................................................................. 11 1、位姿正解 ........................................................................... 12 2、位姿逆解 ........................................................................... 13

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并联机器人发展概述

摘要：随着先进制造技术的发展，并联机器人已从简单的上下料装置发展成数字化制造

中的重要单元。在查阅了大量国内外相关文献的基础上，介绍了并联机器人的特点、分类、应用，从运动学、动力学、奇异结构分析、工作空间分析四方面总结了近年来并联机器人的主要研究成果，并指出面临的问题。

关键词：联机器人；运动学；动力学

The Development of Parallel Manipulators

Abstract:With the development of advanced manufacturing technology,parallel manipulators were developed into an important element of dgital manufacturing from the simple materials -handling devices. On the basis of consulting plenty of domestic and foreign related literature, The features,classfication and applicatin of parallel manipulators were introduced,The main achievements and existing problems of parallel manipulators researching in recent years were summarized from three aspects of kinematics,dynamics and Singular structure analysis, work space

analysis.

Key words: Parallel manipulators; Kinematics;Dynamics; Singular structure analysis; Work space

analysis

引言

1965年，德国Stewart发明了六自由度并联机构，并作为飞行模拟器用于训练飞行员。澳大利亚著名机构学教授Hunt于1978年提出将并联机构用于机器人手臂。随后，Maccallion和Pham.D.J首次将该机构按操作器设计，成功地将Stewart机构用于装配生产线，标志着真正意义上的并联机器人的诞生，从此推动了并联机器人发展的历史。典型的Stewart并联机器人如下图所示。

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自1978年Hunt提出并联机器人结构模型以来，并联机器人的研究受到许多学者的关注。美国、日本先后有Roney、Ficher 、Duffy 、Sugimoto等一批学者从事研究，英国、德国、俄罗斯等一些欧洲国家也在研究。国内燕山大学的黄真教授自1982年以来在美国参加了此项内容的研究，并于1983年取得了突破性进展。迄今为止，并联机构的样机各种各样，包括平面的、空间不同自由度的、不同布置方式的、以及超多自由度并串联机构。大致来说，60年代曾用来开发飞行模拟器，70年代提出并联机器手的概念，80年代开始研制并联机器人机床，90年代利用并联机构开发起重机，日本的田和雄、内山胜等则用串联机构开发宇宙飞船空间的对接器。

此后，日本、俄罗斯、意大利、德国以及欧洲的各大公司相继推出并联机器人作为加工工具的应用机构。我国也非常重视并联机器人及并联机床的研究与开发工作，中国科学院沈阳自动化研究所、哈尔滨工业大学、清华大学、北京航空航天大学、东北大学、浙江大学、燕山大学等许多单位也在开展这方面的研究工作，并取得了一定的成果。

一、并联机器人的特点

自工业机器人问世以来，采用串联机构的机器人占主导位置。串联机器人具有结构简单、操作空间大，因而获得了广泛的应用。由于串联机器人自身的限制，研究人员逐渐把研究方向转向并联机器人。和串联机器人相比，并联机器人有以下特点：并联结构其末端件上同时由6根杆支撑，与串联的悬臂梁相比刚度大，结构稳定。

相对于串联机器人来说，并联机器人具有以下优点：

①与串联机构相比，刚度大，由于刚度大，并联结构较串联结构在相同的自重或体积 下，有较大的承载能力，结构稳定；

②承载能力强；

③串联机构末端件上的误差是各个关节误差的积累和放大，因而误差大、精度低，并联机构则没有那样的误差积累和放大，微动精度高；

④串联机器人的驱动电机及传动系统大都放在运动着的大小臂上，增加了系统的惯量，恶化了动力性能，而并联机器人将电机置于机座上，减小了运动负荷，惯性小；

⑤在位置求解上，串联机构正解容易，反解困难，而并联机器人正解困难，反解容易。 由于并联机器人的在线实时计算是要求计算反解的，这对串联机构十分不利，而并联机构却容易实现，由于这一系列优点，因而扩大了整个机器人的应用领域。

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二、并联机器人的分类

自1993年第一台并联机器人在美国德州自动化与机器人研究所诞生以来，并联机器人无论在结构和外型上都得到了充分的发展，其可分为以下几类：

（1）按自由度的数目分类，并联机器人可做F自由度（DOF）操作，则称其为F自由度并联机器人。例如：一并联机器人有六个自由度，称其为6-DOF并联机器人。冗余并联机器人，即其自由度大于电机数的并联机构。欠驱动机器人，即机构的自由度小于电机数的并联机构。

（2）按并联机构的输入形式分类，可将并联机器人分为：线性驱动输入并联机器人和旋转驱动输入并联机器人。研究较多的是线性驱动输入的并联机器人，这种类型的机器人位置逆解非常简单，且具有唯一性。旋转驱动输入型并联机器人与线性驱动输入并联机器人相比，具有结构更紧凑、惯量更小、承载能力相对更强等优点；但它的旋转输入形式决定了位置逆解的多解性和复杂性。

（3）按支柱的长度是否变化分类，可将并联机器人分为：一种为采用可变化的支柱进行支撑上下平台的并联机器人。例如：这种六杆的并联机器人称为Hexapod，运动平台和基座由六个长度可变化的支柱连接的，每个支柱的两端分别由铰链连接在运动平台和基座上，通过调节支柱的长度来改变运动平台的位姿；另一种为采用固定长度的支柱进行支撑上下平台的并联机器人。例如：这种六杆的并联机器人称为Hexaglide，运动平台和基座是由六个长度固定的支柱连接的，每个支柱一端由铰链连接在运动平台上，另一端通过铰链连接在基座上，该端铰链可沿着基座上固定的滑道上下进行移动，由此来改变运动平台的位姿。

三、并联机器人的应用

并联机构的出现，扩大了机器人的应用范围。随着并联机器人研究的不断深入，其应用领域也越来越广阔。并联机器人的应用大体分为六大类。运动模拟器、并联机床、工业机器人、微动机构、医用机器人和操作器。

1. 运动模拟器。应用最广泛的是飞行模拟器。训练用飞行模拟器具有节能、经济、

安全、不受场地和气象条件限制、训练周期短、训练效率高等突出优点，目前已成为各类飞行员训练的必备工具。同时，这种运动模拟器也是研究和开发各种运载设备的重要工具。通过模拟器可以在早期发现问题、减少风险、进行综合系统验证，解决各系统间的动态匹配关系、加速系统实验过程，缩短研制周期，降低开发费用。

2. 并联机床。用作并联机床是并联机构最具吸引力的应用。并联机床结构简单，传

动链短，刚度大、质量轻、成本低，容易实现“6轴联动”，能加工更加复杂的

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三维曲面。还具有环境适应性强的特点，便于重组和模块化设计，可构成形式多样的布局和自由度组合。

3. 工业机器人。随着工业现代化发展的高速进程，以及加工业工艺的不断完善，技

术的不断进步，工业机器人的应用被越来越多的企业认识和接受。工业机器人既保证了产品质量，又减少了特殊环境工作的危险和实现对人员的劳动强度的降低和人员劳动保护意识的提高。

4. 微动机构。微动机构是并联机器人的重要应用。微动机构发挥了并联机构的特点，

工作空间不大，但精度和分辨率非常高。

5. 医用机器人。医疗机器人已经成为医学外科学会和机器人学会共同关注的新技术

领域。医疗机器人具有选位准确、动作精细、避免病人传染等特点。近年来，医疗机器人引起美、法、德、意、日等国家学术界的极大关注。

6. 操作器。并联机器人可以用作飞船和空间对接器的对接机构，上下平台中间都有

通孔作为对接后的通道，上下平台作为对接环，由6个直线驱动器以帮助飞船对正，对接机构还能完成吸收能量和减振，以及主动抓取、对正拉紧、柔性结合、最后锁住卡紧等工作。对于困难的地下工程，如土方挖掘、煤矿开采，也可以采用这种强力的并联机构。

四、并联机器人的主要研究方向

由于并联机器人能够解决串联机器人应用中存在的问题，因而，并联机器人扩大了整个机器人的应用领域。由并联机器人研究发展起来的空间多自由度多环并联机构学理论，对机器人协调、多指多关节高灵活手抓等构成的并联多环机构学问题，都具有十分重要的指导意义。因此，并联机构已经成为机构学研究领域的热点之一。目前，国内外关于并联机器人的研究主要集中于运动学、动力学、奇异结构分析、工作空间分析四大方向。 1.运动学分析

运动学中的主要参数：位置、位移、速度、加速度和时间。运动学分析主要研究并联机构正逆解问题。当给定并联机器人上平台的位姿参数，求解各输入关节的位置参数是并联机器人运动学位姿反解问题。当给定并联机器人各输入节点的位置参数，求解并联机器人上平台的位姿参数是并联机器人的运动学正解问题。与串联机器人相反，并联机器人位置逆解比较容易，而正解非常复杂。最为普遍的研究方法有两种：数值解法和解析解法。

1) 数值解法

数值解法数学模型简单，可以求解任何并联机构，但是不能求得机构的所有位置解。学

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者们使用了多种降维搜索算法，来获得位置正解。

数值解法是指求解一组非线性方程，非线性方程是矢量环方程经过一些具体结构的代数处理后，直接导出的，从而求得与输入位移对应的运动平台的位置和姿态。由于其省去了烦琐的数学推导，计算方法简单，但此方法计算速度较慢，不能保证获得全部解，并且最终的结果与初值的选取有关。黄真早在1985年就提出对于含三角平台的并联机构可以简化为只含有一个变量的非线性方程一维搜索法，明显地提高了求解速度。西南交大陈永等提出了一种基于同伦函数的新迭代法，不需选取初值并可求出全部解。该方法用于求解一般的6-SPS并联机构的位置正解，较方便的求出了全部40组解。华中理工的李维嘉采用虚拟连杆，将难于求正解、甚至无法求正解的机构简化成与之相近的、易于求正解的的6—3结构形式，把得出的6—3型的正解，作为求这类机构正解的初始值，通过极少次迭代，得出了其正解的全部精确值。工程兵工程学院刘安心等研究了上下平台均不为平面的最一般6-SPS并联机构位置正解。他建立了含六个变量的位置正解方程组，利用四元齐次化法，跟踪960条同伦路径，求出了全部40组位置正解。

2) 解析解法

解析法是通过消元法消去机构约束方程中的未知数，从而获得输入输出方程中仅含一个未知数的多项式。该方法能够求得全部的解。输入输出的误差效应可以定量地表示出来，并可以避免奇异问题，在理论和应用上都有重要意义。

一些学者研究发现，当上平台或下平台各自的铰链点具有共线性以及上下平台铰链点构成的多边形具有部分相似性时，正解求解会相对容易些，并给出了相应的正解解析解。Faugere和Lazard在前人分析研究的基础上，根据最大可能解的数目把Stewart平台机构分为了35种结构类型。近年来，少自由度并联机构成为新的研究热点，在其机构位置正解分析中解析法被广泛采用。

北京工业大学的饶青等利用机构的几何等同性原理建立正解的基本方程，最后推导出了一个20阶的一元位移输入输出方程，从而得到了封闭正解。

3) 速度和加速度分析

速度和加速度分析，最早是在Fieher和Merlet的文献中见到。他们研究发现Stewart平台机构力的正变换是直接的线性映射关系，可以用6×6矩阵H表示。其实就是传统意义的雅可比矩阵。Fieher通过H的线性变换，导出了逆速度运动学公式；通过H 的转置获得了正向运动速度运动学。加速度运动学也可以类似的处理得到。由于速度运动学能直接用于微分运动，Ropponen和Arai已经将它用于关节的精度分析。燕山大学黄真教授利用影响系数法对并联机构的速度加速度进行了分析。机构的一阶影响系数就是传统意义的雅可比矩阵。影响系数法能够以简单的显式表达式表示机构的速度、加速度、误差和受力等；另外还可以从分析影响系数矩阵入手，深入分析机构的一些性能，如奇异性、驱动空间与工作空间的映射、灵活度、各向同性及可操作度等。而影响系数矩阵本身计算比较简单，因此影响系数法是一种较好的机构分析方法。

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2.动力学分析

动力学的研究对象是建立描述机器人操作手动力学行为的数学模型，它研究物体的运动和作用力之间的关系，并联机器人是一个复杂的动力学系统，存在着严重的非线性，由多个关节和多个连杆组成，具有多个输入和输出，他们之间存在着错综复杂的耦合关系。其研究内容包括：惯性力计算、受力分析、驱动力矩分析、主负约束反力分析、动力学模型建立、计算机动态仿真、动态参数辨识等。动力学分析包括正逆两类问题。动力学的正问题是指已知操作机各主动关节提供的广义驱动力或力矩随时间或随位形的变化规律，求解任务空间的运动轨迹以及轨迹上各点的速度和加速度。其逆问题是指已知通过轨迹规划给出的任务空间的运动路径以及各点的速度和加速度，求解驱动器必须提供给主动关节随时间或随位形变化的广义驱动力或力矩。由于并联机构的复杂性，所以其动力学模型通常是一个多自由度、多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统。建立动力学模型的常用方法有：Newton-Euler法、Lagrange法、d’Alembert原理、虚功原理(virtual work principle)法、Kane法、高斯(Gauss)法、旋量(对偶数)法、罗伯逊一魏登堡(Roberson-Wittenburg)法和影响系数(Influence coefficient)法等。早期进行动力学的讨论是Ficher和Merlet，在忽略连杆的惯性和关节的摩擦后，得出了Stewart机器人的动力学方程。Do和Yang通过Newton-Euler法，在假定关节无摩擦，各支杆为不对称的细杆（即重心在轴上且绕轴向的转动惯量可以忽略）条件下，完成了Stewart机器人的逆动力学分析。

Newton-Euler法的特点是：概念清晰，方法直观易懂，计算速度快，容易求解运动副反力，但推导过程复杂，方程数目庞大。

Lagrange法以系统的动能和势能为基础的，不用分析机构的真实运动，推导过程较简便，能得到形式简洁的动力学方程，能清楚地表示出各构件的耦合特性，形式简单。此法既能用于系统的动力学分析，又能用于动力学控制。缺点是不能直接求出运动副的约束反力，求解需要大量运算。

虚功原理法既可建立不含运动副约束力的纯微分型的系统动力学方程，又可建立含运动副约束反力的代数与微分混合型系统动力学方程。

Kane方法在形式上相对简洁许多，但它是利用广义主动力和广义惯性力来建立系统的动力学方程计算过程抽象。

d’Alembert原理将并联机构的各个部分所受到的惯性力和主动力简化到构件质心处，从而列出并联机构的动力学方程，而且这个方程与静力学方程是统一的，对于并联机构的动力学建模问题来说，该方法比较有效。

影响系数法分析加速度时不需要求导，影响系数可以事先求出，能方便简洁地表示构件间的影射，可转化为其它的数学形式，能够呈现显示解。目前主要应用于刚性并联机器人的机构分析。

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3.奇异结构分析

当机器人机构处于某些稳定的位形时，其雅克比（Jacobian）矩阵成为奇异阵，行列式为零，这时机构的速度反解不存在，机构的这种位形就称为奇异位形。并联机器人特征之一是高刚度，然而，若并联机器人在奇异位形时，会造成很大的问题。因为机器人在处于该位置时不能承受任何负载，其操作平台具有多余的自由度，机构将失去控制。因而，在设计和使用并联机器人时，必须将奇异位形排除在工作领域之外。

另一种方法是奇异位置方程，通过求解该方程来确定奇异位置。Shi和Fenton应用正瞬态运动学方程来确定奇异矩阵。Sefrioui和Gossellin针对一平面的3-DOF并联机器人推导出奇异轨迹的解析表达式。

Fitcher发现了Stewart平台机构的奇异位置：即运动平台平行基座时，绕Z轴旋转的位置。机构奇异形位可以通过分析机构的雅克比矩阵行列式等于零的条件求得。 4.工作空间分析

工作空间分析是设计并联机器人操作器的首要环节。机器人的工作空间是机器人操作器的工作区域，是衡量机器人性能的重要指标。根据操作器工作时的位姿特点，工作空间可分为可达工作空间和灵活工作空间。可达工作空间是指操作器上某一参考点可以到达的所有点的集合，这种工作空间不考虑操作的位姿；灵活工作空间是指操作器上某一参考点可以从任何方向到达的点的集合。

并联机器人的一个最大弱点是空间小，应该说这是一个相对的概念。同样的机构尺寸，串联机器人比并联机器人工作空间大；具备同样的工作空间，串联机构比并联机构小。并联机器人工作空间的解析求解是一个非常复杂的问题，它在很大程度上依赖于结构位姿解的研究成果，至今仍没有完善的方法。Ficher采用固定6个位姿参数中的3个姿态参数和一个位置参数，而让其他两个交换研究了6自由度并联机器人的工作空间。Gosselin则利用圆弧相交的方法来确定6自由度并联机器人的定姿态工作空间，并给出了工作空间的3维表示。此法以求工作空间的边界为目的，效率较高，且可以直接计算工作空间的体积。

五、并联机器人研究面临的问题

并联机器人具有很多传统串联机器人不具备的优点，并联机器人还有很多理论问题需要进一步的研究和完善，适用于不同工作要求的新型的并联机构有待于进一步开发。目前，并联机器人研究所要解决的问题应包含以下内容：

1) 不同自由度的新型并联机构的研究。研究新型的并联机构，并研究相应的运动学、

动力学等理论，必将会进一步丰富并联机构领域的研究成果，并进一步扩大并联机构的应用范围。

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2) 并联机器人运动学正解数值算法的研究。主要是提高位置正解的计算速度，这项

工作是并联机器人轨迹规划的基础。

3) 并联机器人动力学模型研究。建立通用的适用于控制系统设计的并联机器人动力

学数学模型，这项工作是计开发出具有优良动力学性能的并联机构，对不同类型并联机构进行动力学分析的基础。

4) 并联机机器人工作空间研究。研究各种奇异性对工作空间的影响，可以提高我们

对并联机构运动机理的认识，是进行并联机构无奇异路径规划和实现运动的可控性的基础。

5) 并联机器人误差分析。建立实用的、完整的并联机构误差数学模型，分析并联机

构输入误差因子对动平台位姿误差的影响，从而通过控制敏感输入误差因子，提高并联机器人的精度。

6) 少自由度并联机构的研究。由于少自由度并联机构具有结构简单、造价低廉等特

点，有着广阔的应用前景。但少自由度并联机构在某些时候的运动、动力分析反而变得更复杂。

六、展望

并联机器人虽然经过了几十年的研究，取得了很大的进展，但是还有大量的工作需要进一步研究。

（1）、力冗余度Stewart平台机器人的冗余度解决方案； （2）、机器人工作空间及奇异位形的研究； （3）、机器人的动力学理论和试验研究； （4）、机器人的模块化设计； （5）、自由度并联机器人的研究；

（6）、良性工作空间（Well-Conditioned Workspace）的Stewart机器人的运动学优化综合。

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参考文献

[1] 陈学生，陈在礼，孔民秀．并联机器人研究的进展与现状[J]．机器人.2002 24(5) [2] 张秀峰，孙立宁．并联机器人技术分析及展望[J]．高技术通讯．2004.6邱志成，谈大

龙，赵明扬．并联机器人研究现状.研究与开发．2004 38(248) [3] 黄真，赵永生，赵铁石．高等空间机构学[M]．北京：高等教育出版社，2006． [4] 黄真，孔令富，方跃法．并联机器人机构学理论及控制[M]．北京：机械工业出版社，

1997． [5] 孔令富，韩佩富，黄真，等．6-DOF并联机器人修正位置／力控制系统的研究[J]．机

器人，1998，20(4) [6] 王洪斌，王洪瑞，肖金壮．并联机器人轨迹跟踪积分变结构控制的研究[J]．燕山大学

学报，2003，27(1)． [7] 焦晓红，方一鸣，王洪瑞．并联机器人轨迹跟踪离散变结构鲁棒控制器设计[J]．工业

仪表与自动化装置，2001 [8] 王洪瑞，侯增广，宋维公，并联机器人轨迹跟踪变结构控 制的研究[J]．机器人，1995，

17(2)： [9] 李成刚，丁洪生，吴平东．自适应控制在并联机床上的应用[J]．机床与液压，2004，

(11) [10] 左爱秋，吴江宁，李世伦，等．基于立体视觉的六自由度平台位姿检测基础研究[J]．中

国机械工程，2000，11(7) [11] 洪波，黄真．六自由度并联机器人的拉格朗日方程[J]．机器人，1990，90(1)

[12] 焦晓红，耿秋实，方一鸣，等．并联机器人的鲁棒自适应控制[J]．机器人技术与应用，

2002(4) [13] 万亚民，王孙安，杜海峰．液压并联机器人的动态神经网络控制研究[J]．西安交通大

学学报，2004，38(9) [14] 张泽友，王孙安．并联机器人轨迹跟踪改进模糊控制研究[J]．机床与液压，2004，(8) [15] 何景峰，谢文建，韩俊伟．六自由度并联机器人输出解耦控制[J]．哈尔滨工业大学学

报，2006，38(3)． [16] 杨志永，黄田，倪雁冰．3-HSS并联机床动力学建模及鲁棒轨迹跟踪控制[J]．机械工

程学报，2004，40(11) [17] 杨志永，黄田，梅江平，等．基于全域优化的高速并联机械手控制器参数整定[J]．机

械工程学报，2006，42(9) [18] 马骁，杨志永，王攀峰，等．高速并联机械手动力学建模及计算力矩控制[J]．机械设

计，2006，23(2)

[19] Stewart D A. Platform with 6-DOF. Proc. On Institution of Mechanical Engineering. 1965,

18(1):371-386.

[20] B. Dasgupta, T. S. Mruthyunjaya. The Stewart Platform Manipulator: a review. Mechanism

and Machine Theory,2000,35:15-40.

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五杆机构分析

并联机构的分析与应用

1、运动学分析（位置、速度和加速度，机构参 数与运动轨迹自定）。

2、机构的可达位置作业空间分析（机构参数自 定）。

3、雅克比矩阵、刚度矩阵和一个灵活度指标分 布曲面（机构参数自定）。。

4、尺寸型模型、三坐标区间图和一条性能图谱 曲线。

5、机构动力学建模和关节力矩曲线（机构参数 自定）。

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1、位姿正解

图1-1 θ4=45°时，θ1的取值范围

当Δ1=0时，θ1=106.2665° 主动输入取值范围分析程序：

syms st a1 a2 a3 a4 a5 real; syms st1 st2 st3 st4 real;

a1=80;a2=100;a3=100;a4=80;a5=120; close all;figure;

c=['y','m','c','r','g','b','w','k'];j=1; st4=45*pi/180;

A=a1*a1+a3*a3+a4*a4+a5*a5-a2*a2; x=zeros(1,181);y=zeros(1,181);j=1; for i=0:180 st=i;x(1,j)=st; st1=st*pi/180;

B=2*a4*a5*cos(st4)-2*a1*a5*cos(st1)-2*a1*a4*cos(st4-st1); C=2*a3*a4*cos(st4)+2*a3*a5-2*a1*a3*cos(st1); D=2*a3*a4*sin(st4)-2*a1*a3*sin(st1); AA=A+B+C;BB=-2*D;CC=A+B-C; DT=BB*BB-4*AA*CC; y(1,j)=DT; j=j+1; end %for plot(x,y,c(8)) xlabel('θ-{1}/°'); ylabel('Δ-{1}/mm^{2}') grid on

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2、位姿逆解

图2-1 L1在位型1时转角和L4在位型1时转角

转角范围：L1(72.8872°~102.9657°)，L4(-178.8168°~180°)

图2-2 L1在位型1时转角和L4在位型2时转角

转角范围：L1(72.8872°~102.9657°)，L4(19.7745°~50.9035°)

图2-3 L1在位型1时对应L4的位型

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图2-4 L1在位型2时转角和L4在位型1时转角

转角范围：L1(-12.9657°~17.1128°)，L4(-178.8168°~180°)

图2-5 L1在位型2时转角和L4在位型2时转角

转角范围：L1(-12.9657°~17.1128°)，L4(19.7745°~50.9035°)

图2-6 L1在位型2时对应L4的位型

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运动轨迹逆解分析程序：

syms st l1 l2 l3 l4 l5 real; syms st1 st2 st3 st4 st5 real; l1=80;l2=100;l3=100;l4=80;l5=120; close all

syms xA yA xO yO ra dtpsai psai real; pap=40; xO=100;xO yO=100;yO ra=20;ra dtpsai=2*pi/pap;

xyA=zeros(2,41); psaiA=zeros(4,41); st1b=zeros(2,41); st4b=zeros(2,41); for pa=1:(pap+1) intev=mod(pa,5); psai=dtpsai*(pa-1); psaiA(1,pa)=psai; xA=xO+ra*cos(psai); yA=yO+ra*sin(psai); xyA(1,pa)=xA; xyA(2,pa)=yA; M=xA^2+yA^2+l1^2-l2^2; N=-2*xA*l1; K=-2*yA*l1;

DT2=4*K^2-4*(M^2-N^2); if DT2<0 error; end %if st1a=zeros(1,2);

st1a(1,1)=2*atan((-K+sqrt(K^2-(M^2-N^2)))/(M-N)); st1a(1,2)=2*atan((-K-sqrt(K^2-(M^2-N^2)))/(M-N)); st1a st1a*180/pi

st1b(1,pa)=st1a(1,1); st1b(2,pa)=st1a(1,2);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P=xA^2+yA^2+l5^2+l4^2-l3^2-2*xA*l5; Q=2*l5*l4-2*xA*l4; S=-2*yA*l4;

DT3=4*S^2-4*(P^2-Q^2); if DT3<0 error;end %if st4a=zeros(1,2);

st4a(1,1)=2*atan((-S+sqrt(S^2-(P^2-Q^2)))/(P-Q)); st4a(1,2)=2*atan((-S-sqrt(S^2-(P^2-Q^2)))/(P-Q)); st4a st4a*180/pi

st4b(1,pa)=st4a(1,1); st4b(2,pa)=st4a(1,2);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for m=1:2 m; figure(m);

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for n=1:2 st4=st4a(1,n); xa4=l5;ya4=0;

xb4=l5+l4*cos(st4);yb4=l4*sin(st4); xp4=xyA(1,pa);yp4=xyA(2,pa); xleft=[xa4,xb4,xp4];yleft=[ya4,yb4,yp4]; if intev==0

plot(xleft,yleft,'bo-');hold on end %if intev end %for n st1=st1a(1,m); xa1=0;ya1=0;

xb1=l1*cos(st1);yb1=l1*sin(st1); xp1=xyA(1,pa);yp1=xyA(2,pa); xleft=[xa1,xb1,xp1];yleft=[ya1,yb1,yp1]; if intev==0

plot(xleft,yleft,'ro-');hold on end %if intev end %for m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% end %for pa

psaiA=psaiA*180/pi; st1b=st1b*180/pi; st4b=st4b*180/pi; k=3; for i=1:2 for j=1:2 figure(k);

xlabel('\\phi-{A}/\\circ','Fontsize',18); plot(psaiA,st4b(j,:),'bo-');hold on k=k+1;

plot(psaiA,st1b(i,:),'r+-'); end %for j end %for i

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(1); plot(xyA(1,:),xyA(2,:),'ko-'); axis equal

figure(2); plot(xyA(1,:),xyA(2,:),'ko-'); axis equal

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由此可得雅克比矩阵为：

J??J1J2?

式中：

?1/2(?a1a3cos(?1??3??2)?a1a3cos(?1??3??2)???arcos(?????)?arcos(?????))/a/sin(????)?13211132332??11?1/2(?a1a3sin(?1??3??2)?a1a3sin(?1??3??2)?J1????arsin(?????)?arsin(?????))/a/sin(????)13211132332??11??a1sin(??2??1)/a3/sin(??3??2)???????1/2(a3a4cos(?4??3??2)?a3a4cos(??4??3??2)???arcos(??????)?arcos(??????))/a/sin(????)?43241432332??41?1/2(a3a4sin(?4??3??2)?a3a4sin(??4??3??2)?J2????arsin(??????)?arsin(??????))/a/sin(????)43241432332??41??a4sin(?2??4)/a3/sin(??3??2)??????由速度的定义可知：

VA?Jq

??式中：VA??xA???

yAT?------动平台上参考点A的速度矢量； ?3????T????--------广义速度矢量；

q???1?4???又位置关系可知：

?3?2arctan(x1)?2?arcsin?其中：

?a4sin?4?a1sin?1?a3sin?3?

?a?2?D?D2?(A?B?C)(A?B?C)x1?A?B?CA?a12?a32?a42?a52?a22B?2a4a5cos?4?2a1a5cos?1?2a1a4cos(?4??1) C?2a3a4cos?4?2a3a5?2a1a3cos?1D?2a3a4sin?4?2a1a3sin?1根据机构的尺寸可知：a1?80，a2?100，a3?100，a4?80和a5?120，可得相应的图像如图所示：

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