标准曲线不确定度的分析

标准曲线不确定度的分析

曹 涛

（深圳市通量检测科技有限公司，广东 深圳 518102）

摘 要：本文阐述了标准曲线不确定度分析的通用方法，讲解了标准曲线不确定度的分析步骤和方法。并且通过检测过程中经典的几个项目的标准曲线的不确定度实例分析，来论证影响不确定度分析的因素；通过实验数据证明：参与标准曲线的点的个数和样品测定的次数越多，标准不确定度越小；并且样品测定的结果越靠近标准曲线的重点，标准不确定度越小； 标准曲线的线性越好，斜率越高，标准不确定度越好； 关键词：标准曲线，不确定度

中图分类号：R155.5 文献标识码：A 文章编号：

作者简介：曹涛（1987-06-04），男，汉族，陕西省汉中市，中山大学本科毕业，研究食品中营养成分、添加剂、农兽药残留的检测分析；E-mail：vitcy@yahoo.cn

Analysis of Standard Curve’s Uncertainty

Cao Tao

（Shenzhen Total-Test Technology Co., Ltd, Shenzhen 518102）

Abstract: This paper expounds a general method of the analysis of standard curve’s uncertainty and explains the steps of the analysis of standard curve’s uncertainty. Prove the effect of the factors of uncertainty analysis through the testing process in classical several items of standard curves of uncertainty analysis. Experiments demonstrate: Improving the test’s times of the standard curve and sample can make the standard’s uncertainty small. And The results of sample are more close to the center of the standard curve, the standard’s uncertainty is smaller. The standard curve is linear in the better, and the slope is higher, the standard uncertainty can be smaller. Key word: the standard curve. uncertainty

前言：仪器分析中线性回归标准曲线测定方法，利用被测物质相应的信号强度与其浓度成正比关系，通过测定已知浓度的溶液（即标准溶液）的信号强度,通过最小二乘法将响应值和浓度的对应的线性关系拟合成一条直线，再根据未知样品的响应值推算出对应的浓度；然而测得的所有点未必全部都落在标准曲线上（除非线性相关系数r=1），因此得到的标准曲线本身具备相应的不确定性，而通过标准曲线去计算得到的浓度值就不可避免的具备不确定性，而且这个不确定性往往是整个实验不确定度的最大来源；因此对标准曲线计算不确定度非常有必要； 1 标准曲线不确定度分析的概念和计算

1.1 标准曲线的不确定度忽略标准溶液的不确定度的引入

1

用线性最小二乘法拟合曲线程序的前提是假定横坐标（标准溶液的浓度）量的不确定度远小于纵坐标的量的不确定度，因此通常的C0不确定度计算程序仅仅与响应值不确定度有关，而与校准溶液不确定度无关，也不与从同一溶液中逐次稀释产生必然的相关性。

[1]

1.2 标准曲线方差和残余方差的概念和计算

假定一条标准曲线

y?a?bx （1.2.1）

响应值y1，y2…yn的偏差（yi-y）主要由两方面原因引入：一是自变量x取值不同导致的响应值的

?）；如下图 -y?-y）偏离均值（y，另一方面是测量误差导致的响应值偏离标准曲线（yi

图1：标准曲线响应值偏差分析

yi——第xi点对应的响应值

?——第xi点带入标准曲线（1.2.1）得到的理论响应值 yy——所有浓度响应值的平均值

n——参与标准曲线的浓度点和响应值的个数；（注：并不仅仅是标准曲线的点的个数，比如标准曲线有五个点，其中有两个点平行做了3次，则n?3?2?1?1?1?9，同样计算x的时候也需要把

平行做的点计算在内，即x和y的平均值是参与本次标准曲线所有点的几何重心）

在量化的过程中，用n个取值的偏离平方和来描述，这里分别记为：总偏差平方和S（反映了yi的总的分散程度）、回归平方和T（反映了回归值y?i的分散程度，仅与标准曲线斜率相关）和残余平方和Q（反映了观测值yi偏离回归直线的程度，真实描述标准曲线不确定度）；

2

?i）?i-y）???i）???i-y）?2??i）?i-y）S??（yi-y）??（yi-y?（y（yi-y（y（yi-y?（y222i?1i?1i?1i?1i?1nn??2nnn由于交叉项

（y?i?1nni?i）?i-y）结果为0（可参考最小二乘法计算线性回归方程公式）； -y?（yn因此

2?i）???i-y）S??（yi-y（y?Q?T (1.2.3)

2i?1i?1其中Q2?i）， T?? ?i-y）??（yi-y（yn2ni?1i?1因此S的自由度vS=vT+vQ；总偏差平方和的自由度由于受平均值的约束为n -1，而回归偏差平方和的自由度只与斜率b有关，自由度为1，因此残余偏差平方和的自由度vQ=n -2

通过残余偏差平方和除以自由度得到对应的残余偏差

s2?Q n-2所以标准曲线的残余标准偏差s?（y?i?1ni2?i）-yn-2 （1.2.4）

1.3 标准曲线斜率和截距的不确定度分析

由于得到的标准曲线中斜率b和截距a参与到未知样品的浓度的计算，因此必须对斜率b和截距a进行不确定度的分析；

斜率的标准不确定度：s（b）?s（x?i?1ni2-x） （1.3.1）

扩展不确定度U（b）=tp （1.3.2） ?s（b）式中tP是指选定置信空间P水平内，根据残余偏差自由度vQ查t分布表所得的t值；

n截距的标准不确定度：

s（a）?s??xi?1ni?12i2n??（xi-x）1?s??nx（x?i?1n2 （1.3.3）

2-x）i扩展不确定度U（a）=tp （1.3.4） ?s（a）式中tP是指选定置信空间P水平内，根据残余偏差自由度vQ查t分布表所得的t值

3

1.4 代入未知样品响应值计算浓度过程不确定度分析

标准曲线相关不确定度都已通过公式计算得到，而未知样品根据响应值再带入标准曲线得到浓度值的过程也会引入相应的不确定度，计算如下: 被测物含量标准偏差：

(xs?x)2 （1.4.1） 扩s11s（x0）????2nbpn?(xi?x)i?1展不确定度U（x0）=tp （1.4.2）p?s（x0）——被测物测定平行次数；

xs——被测物平行测定的平均值；

xi——标准曲线中各个浓度值；

tP——选定置信空间P水平内，根据残余偏差自由度vQ查t分布表所得的t值 2 以原子吸收法测铅的标准曲线不确定度分析进行实例分析

表1 原子吸收法测铅标准曲线原始记录

[2]

浓度值X 0 0.0118

10 0.0629 0.0630

20 0.1113 0.1144

30 0.1623 0.1628

40 0.2083 0.2054

50 0.2531 0.2523

吸光度yi

0.0120

由上述原始记录可知下列数据： 2.1：参与标准曲线的点n=12

2.2：线性曲线的方程：y=0.00482x+0.01458 ； 相关系数：r=0.9996 2.3：标准曲线的重心（25，0.1350），即x?25，y?0.1350

2.4：观测值与理论值一一对应关系如下：

表2 实测值与理论值对应关系表

浓度值X

0 10 20 30 40 50

观测值yi 0.0118 0.0629 0.1113 0.1623 0.2083 0.2531

? 理论值y0.0146 0.0628 0.1110 0.1592 0.2074 0.2556

观测值yi 0.0120 0.0630 0.1144 0.1628 0.2054 0.2523

? 理论值y0.0146 0.0628 0.1110 0.1592 0.2074 0.2556

4

2.5：残余偏差 s?（y?i?1ni2?i）-yn-2?0.00266

2.6：斜率标准不确定度

s（b）?s（x?i?1ni2-x）?0.00266（x?i?1ni2-x） 5?0.00004残余偏差自由度vQ=12-2=10，取置信空间为95%查t分布表的tP=2.228，斜率扩展不确定度U（b）=2.228×0.00045=0.001003 2.7：截距标准不确定度

1s（a）?s??nx（x?i?1ni2?0.00266?2-x）1?12625（x?i?112i2-x）?0.00136

同上，截距扩展不确定度U（a）=2.228×0.00136=0.00303

2.8：样品测得一次，吸光度分别为：0.1223，代入标准曲线过程得到的浓度为22.35，其标准不确定

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611度如下：s（x0）?????????0.5750 22n12bpn0.00482112(x?x)?i?(xi?x)i?1i?12.9：样品平行测得两次，吸光度分别为：0.1223和0.1315，代入标准曲线过程得到的浓度分别为22.35和24.26，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.4218 22n12bpn0.00482212(x?x)?i?(xi?x)i?1i?12.10：样品平行测得三次，吸光度分别为：0.1223、0.1315、0.1254，代入标准曲线过程得到的浓度分别为22.35、24.26、22.99，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.3566 22bpnn0.0048231212?(xi?x)?(xi?x)i?1i?12.11：样品平行测得四次，吸光度为：0.1223、0.1315、0.1254、0.1229，带入标准曲线得到的浓度分别为22.35、24.26、22.99、22.47，其标准不确定度如下

5

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.3192 22n12bpn0.00482412(x?x)??(xi?x)i?1i?12.12：样品平行测得五次，吸光度为：0.1223、0.1315、0.1254、0.1229、0.1304，带入标准曲线得到的浓度分别为22.35、24.26、22.99、22.47、24.03，其标准不确定度如下

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.2942 22n12bpn0.00482512(x?x)?i?(xi?x)i?1i?12.13：样品平行测得六次，吸光度分别为：0.1223、0.1315、0.1254、0.1229、0.1304、0.1309，带入标准曲线得到的浓度分别为22.35、24.26、22.99、22.47、24.03和24.13，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.2764 22bpnn0.0048261212?(xi?x)?(xi?x)i?1i?12.14：样品平行测得十次，吸光度分别为：0.1223、0.1315、0.1254、0.1229、0.1304、0.1309、0.1244、0.1312、0.1321、0.1277，带入标准曲线得到的浓度分别为22.35、24.26、22.99、22.47、24.03和24.13，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.0026611s（x0）?????????0.2367 22n12bpn0.004821012(x?x)?i?(xi?x)i?1i?1总结样品测定次数和不确定度的关系曲线如下：

因此：样品测定一定要测定2-3次平行，超过四次对不确定度的减少意义并不大；

6

3 紫外分光光度法测亚硝酸盐标准曲线的不确定度分析

表3 紫外分光光度法测亚硝酸盐标准曲线Q1原始记录

[3]

浓度值X 吸光度yi

0 0

1.0 0.0191

2.0 0.0481

3.0 0.0782

4.0 0.1132

5.0 0.1401

7.5 0.2094

10.0 0.2897

12.5 0.3596

表4 紫外分光光度法测亚硝酸盐标准曲线Q2原始记录

浓度值X 吸光度yi

0 0

1.0 0.0141

2.0 0.0483

3.0 0.0749

4.0 0.1013

5.0 0.1610

7.5 0.2299

10.0 0.2941

12.5 0.3463

由上述原始记录可知下列数据： 3.1：参与标准曲线的点n=9

3.2：线性曲线Q1的方程：y=0.02932x-0.00691 ； 相关系数：r=0.9995 线性曲线Q2的方程：y=0.02938x-0.00570 ； 相关系数：r=0.9952 3.3：标准曲线Q1的重心（5.0，0.1397），即x 标准曲线Q2的重心（5.0，0.1412），即x3.4：观测值与理论值一一对应关系如下：

表5 实测值和理论值关系表

?5.0，y?0.1397 ?5.0，y?0.1412

标准曲线Q1

浓度值X

观测值yi

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 7.5 10.0 12.5

0.0 0.0191 0.0481 0.0782 0.1132 0.1401 0.2094 0.2897 0.3596

标准曲线Q2

? 理论值y-0.0069 0.0224 0.0517 0.0811 0.1104 0.1397 0.2130 0.2863 0.3596

观测值yi 0.0 0.0141 0.0483 0.0749 0.1013 0.1610 0.2299 0.2941 0.3463

? 理论值y-0.0057 0.0241 0.0538 0.0836 0.1133 0.1431 0.2174 0.2918 0.3662

3.5：标准曲线Q1残余偏差 s?（y?i?1ni2?i）-yn-2?0.00401

7

标准曲线Q2残余偏差 s?（y?i?1ni2?i）-yn-2?0.0134

3.6：标准曲线Q1斜率标准不确定度

s（b）?s（x?i?1ni2-x）?0.00401（x?i?1ni2-x） 6?0.00033 残余偏差自由度vQ=9-2=7，取置信空间为95%查t分布表的tP=2.365， 标准曲线Q1斜率扩展不确定度U（b）=2.365×0.000336=0.000795 标准曲线Q2斜率标准不确定度

s（b）?s（x?i?1ni2-x）?0.00401（x?i?1ni2-x）?0.0011 2 同上，标准曲线Q2斜率扩展不确定度U（b）=2.365×0.00112=0.00265 3.7：标准曲线Q1截距标准不确定度

1s（a）?s??nx（x?i?1ni2?0.00401?2-x）1?925（x?i?19i2-x）?0.00215

同上，标准曲线Q1截距扩展不确定度U（b）=2.365×0.00215=0.00508

标准曲线Q2截距标准不确定度

1s（a）?s??nx（x?i?1ni2?0.00401?2-x）1?925（x?i?19i2-x）?0.00715

同上，标准曲线Q2截距扩展不确定度U（b）=2.365×0.00715=0.0169

3.8：测得样品平行两次，吸光度分别为：0.1554和0.1469，代入标准曲线Q1过程得到的浓度分别为5.54和5.34，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.0040111s（x0）?????????0.1071 22bpnn0.02932299?(xi?x)?(xi?x)i?1i?1代入标准曲线Q2过程的到浓度分别为5.42和5.22，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s110.013411s（x0）?????????0.3512 22bpnn0.02938299?(xi?x)?(xi?x)i?1i?1总结以上数据得出如下结论：线性较好的标准曲线不确定度较低，而且线性的好坏对不确定度的影响

8

非常大！

4 液相色谱法测三聚氰胺的标准曲线的不确定度分析

表6 液相色谱法测三聚氰胺的标准曲线原始记录

[4]

浓度值X 峰面积yi

5.0 239596 240145

10.0 563163 571322

25.0 1457947 1468971

50.0 2632863 2641009

100.0 5527594

/

由上述原始记录可知下列数据： 4.1：参与标准曲线的点n=9

4.2：线性曲线的方程：y=55184x+10123 ； 相关系数：r=0.9996 4.3：标准曲线的重心（31.11，1726957），即x4.4：观测值与理论值一一对应关系如下：

表7 实测值和理论值关系表

?31.11，y?1726957浓度值x

5 10.0 25.0 50.0 100.0

观测值yi 239596 563163 1457947 2732863 5527594

n? 理论值y286043 561963 1389723 2769323 5528523

观测值yi 240145 571322 1468971 2741009

/

? 理论值y286043 561963 1389723 2769323

/

4.5：标准曲线残余偏差 s?（y?i?1i2?i）-yn-2?49885

4.6：标准曲线斜率标准不确定度

s（b）?s（x?i?1ni2-x）?49885（x?i?1ni2-x）?565.24

残余偏差自由度vQ=9-2=7，取置信空间为95%查t分布表的tP=2.365， 标准曲线斜率扩展不确定度U（b）=2.365×565.24=1336.79 4.7：标准曲线截距标准不确定度

1s（a）?s??nx（x?i?1ni2?79369?-x）21?9967.9（x?i?19i2-x）

?24202同上，标准曲线截距扩展不确定度U（b）=2.365×24202=57237

4.8：测得样品平行两次，峰面积分别为：1798791和1810244，代入标准曲线得到浓度分别为32.41

9

和32.62，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s114988511

s（x0）?????????0.706822bpnn55184299?(xi?x)?(xi?x)i?1i?14.9：测得另一组样品平行两次，峰面积分别为：314445和331081，代入标准曲线得到浓度分别为5.51和5.82，其标准不确定度如下：

(xs?x)2(xs?x)2s114988511

s（x0）?????????0.753222bpnn55184299?(xi?x)?(xi?x)i?1i?1总结以上数据得出论证如下结论：样品的浓度越接近标准曲线的重心不确定度越小，但这种影响相比较而言较小； 5 结论

综上所述，通过理论的计算公式的深度分析和实例的不确定度的分析，可以得到以下结论： 5.1：灵敏度高的仪器测量结果标准偏差较小

5.2：被测量量越靠近标准曲线的重心，测量结果标准偏差越小 5.3：标准曲线线性越好，测量结果标准偏差越小

5.4：参与标准曲线的测量点越多，测量结果标准偏差越小（这里所指的参与标准曲线的测量点包含两个方面：一是标准曲线级别；二是每个级别重复的次数；因为影响到标准曲线的几何重心，所以在不确定度的贡献上不完全是等价的，根据实验认为：标准曲线的级别应该是5-6，而每个级别应该重复1-3次）

5.5：被测量物测定平行次数越多，测量结果标准偏差越小,一般同一样品至少测定两个平行，而不超过四个平行；

参考文献:

[1] 郭兰典，陈泽明，陈维青；《仪器分析中线性回归标准曲线法分析结果不确定度评估》；检验检疫科学；2001年04期

[2] 张萍，郭明才；《原子吸收光谱分析中测量不确定度的评定》 计量与测试技术；2006年第33卷第7期；

[3]陈霞，刘长勇，罗力力；《分光光度法测定腌肉中亚硝酸盐含量的测量不确定度分析》 农产品加工·学刊；2010年6月第6期

[4]杨洋，徐春祥，车文军；《高效液相色谱法测定奶粉中的三聚氰胺及其不确定度分析》 食品科学；2010年第31卷第4期

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z7lh.html