二项式定理知识点及跟踪典型例题

二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）

[重点，难点解析]

1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:

式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且

2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性： ②增减性和最大值:

先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为

.

；n为奇,

叫二项

, 注意项的系数和二项式系数的区别.

数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为 ③

[例题分析]:

一、与通项有关的一些问题

例1．在的展开式中，指出 1）第4项的二项式系数 2）第4项的系数 3）求常数项

解:展开式的通项 1）

，二项式系数为

；

.

；

为展开式中的第r+1项.

2）由1）知项的系数为

3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为

例2．若

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

分析:通项为,

1

∵ 前三项的系数为，且成等差，∴

即 解得:n=8.

从而

，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.

例3．1）求

解:

的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.

1）

令6-2r=0, r=3,∴ 常数项为

通项

.

，

2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为

，因而其系数为240.

例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.

10

分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而abc的系数为

例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.

分析:

（法一）展开式中x项是由各二项展开式中含x项合并而形成.因而系数为

3

3

532

.

2

（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式= 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为

二、有关二项式系数

的问题.

.

,

例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.

分析:二项式系数最大的为第5项，

解得:x=1或.

例7．的展开式中系数最大的项为第______项.

分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大，

则

三、赋值法:

例8．已知

解得:， ∴ r=7, 因而第8项系数最大.

1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+……+|a5|

分析:

1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, ∴ (1-0)5=a0, ∴ a0=1.

2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.

3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2

3

4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5）

因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， ∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.

小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.

例9．已知则n=_________.

分析:令x=1，则

由已知， 2n+1-2=62, ∴ 2n+1=64, ∴ n=5.

例10．求

分析:研究其通项

.

n

, 其中b0+b1+b2+……+bn=62,

,

的展开式中有理项系数的和.

显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an 令t=-1， 即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan

上两式相加，解得奇数项系数和

四、逆用公式

.

432

例11．求值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1 解:

例12．求值:

原式=

4

五、应用问题

2n+2

例13．求证:3-8n-9能被64整除.

证明:

能被64整除.

92

例14．91除以100的余数为________.

分析:9192=(90+1)92

∴ 被91100除的余数为81.

小结:若将91整理成(100-9)

92

92

92

随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.

例15．求0.9983的近似值（精确到0.001) 解:

选择题

1．(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（ ）

A、

B、

C、

D、

2．在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（ ）

A、-297

B、-252

C、297

D、207

3．如果展开式(1+x)2·(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

5

4．若

A、210

展开式中第6项系数最大，则不含x的项是（ ）

B、120

C、461

D、416

5．在

A、4

的展开式中，系数是有理数的项共有（ ）项 B、5

C、6

D、7

6．f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)10的展开式中各项系数之和等于（ ）

A、211-2

B、211-1

C、211

D、211+1

答案与解析

答案：1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.A

解析：

1．答案：C.解法：

2．答案D.

3．答案：C.解法：∵(1+x)2·(1-x+x2)k =(1+2x+x2)·[1+(x2-x)]k,其中x2系数必与[1+(x2-x)]k中x0，x1, x2系数有关.又 (1-x+x2)k的通项是：即有

4．答案：A.解法：n=10, x3(10-x)·x-2r=1,r=6 ∴

为不含x的项.

故x0的系数为

，x'的系数为

，x2的系数为

，

，s∴ 含ab的项为r=8的项，即第9项，系数为

.

k2-3k-4=0∴ k1=4, k2=-1 (舍).

5．答案：A解法：∵ ，

∴

为有理数，即为整数，则r为2,8,14,20,故有4项.

6．答案：A.解法：取x=1，

6

7

8

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z7l3.html