高中数学人教B版选修2-1学案：3.1.2空间向量的基本定理

3.1.2 空间向量的基本定理

1．理解共线向量定理．(重点) 2．理解共面向量定理及推论．(重点)

3．理解空间向量分解定理，并能用定理解决一些几何问题．(重点) 4．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1 共线向量与共面向量定理

阅读教材P82～P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题． 1．共线向量定理

两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb. 2．共面向量定理 (1)向量与平面平行

→＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在平面内，则说

已知向量a，作OA明向量a平行于平面α.

(2)共面向量

平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.

1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是( ) A．共线向量

B．共面向量

1

C．不共面向量 【答案】 B

D．既不共线也不共面向量

→＝OA→＋2OB→＋

2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP→，则( ) 3OC

A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面 C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面 【答案】 B

教材整理2 空间向量分解定理

阅读教材P83“空间向量分解定理”～P84，完成下列问题．

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中，表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．( ) →的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．( ) (2)若向量AP

(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________

2

解惑：________________________________________________________

[小组合作型]

共线向量定理

如图3-1-13所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不

→与MN→是否共线．

共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE

图3-1-13

→＝CB→＋BE→→根据M，N的位置表示出MN→ 【精彩点拨】 分析题意→CE→与MN→的关系作出判断 →根据CE【自主解答】 ∵M，N分别是AC，BF的中点， 四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， →＝MC→＋CB→＋BN→ ∴MN

1→→1→＝2AC＋CB＋2BF

1→→→＋1(BA→＋BE→) ＝2(BC－BA)＋CB

21→→1→＝2BC＋CB＋2BE

3

1→→＝2(CB＋BE) 1→＝2CE.

→∥MN→，即CE→与MN→共线． ∴CE

判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．

[再练一题]

1．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，→＝2CB→，CG→＝2CD→.求证：四边形EFGH是梯G分别是边CB，CD上的点，且CF

33形．

图3-1-14

【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点， →＝1AB→，AH→＝1AD→，

∴AE

22

→＝AH→－AE→＝1AD→－1AB→＝1(AD→－AB→)

EH

2221→1→→1?3→3→?

＝2BD＝2(CD－CB)＝2?2CG－2CF?

??3→→3→

＝4(CG－CF)＝4FG， 3→→→→→|. ∴EH∥FG且|EH|＝4|FG|≠|FG

→上，∴四边形EFGH是梯形．

又点F不在EH

4

基底的判断 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否

作为该空间的一个基底．

【精彩点拨】判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

【自主解答】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.

∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．

?1＝μ，∴?1＝λ，?0＝λ＋μ.

此方程组无解，

∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

[再练一题]

→＝e＋2e－e，OB→＝ －3e2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA1231→＝e＋e－e，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底？ ＋e2＋2e3，OC123

→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y

【解】 假设OA→＝xOB→＋yOC→成立． 使OA

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，

5

?－3x＋y＝1，∴?x＋y＝2，?2x－y＝－1，

此方程组无解，

→＝xOB→＋yOC→成立．

即不存在实数x，y使OA→，OB→，OC→不共面． ∴OA

→，OB→，OC→}能作为空间的一个基底． 故{OA

[探究共研型]

向量共面 探究 P，A，B，C四点共面的四种充要条件． →＝xAB→＋yAC→.

【提示】 (1)存在有序实数对(x，y)，使得AP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.

(2)对于空间任意一定点O，有OP

→

(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得OP→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)． ＝xOA

→→. (4)PA∥BC

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满

→＝1OA→＋1OB→＋1OC→. 足OM

333

→，MB→，MC→三个向量是否共面； (1)判断MA

(2)判断点M是否在平面ABC内．

→＝xMB→＋yMC→？(2)如何证明四

【精彩点拨】 (1)是否存在实数x，y，使MA点共面？

【自主解答】 如图：

6

→→→→

(1)由已知，得OA＋OB＋OC＝3OM，

→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)．∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→. ∴OA

→，MB→，MC→共面．

∴向量MA

→，MB→，MC→共面，表明三个向量的有向线段又过同一点

(2)由(1)知，向量MAM，

∴M，A，B，C四点共面．∴点M在平面ABC内．

1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；

(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．

2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： →＝xMA→＋yMB→； (1)MP

→→→→

(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；

→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)；

(3)对空间任一点O，OP

→∥AB→(或P→→，或PB→∥AM→)． (4)PMA∥MB

[再练一题]

3．如图3-1-15，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．

图3-1-15

【解】 分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，

7

连接MN，NQ，QR，RM，

因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且

2→→2→→2→→2→→

PE＝3PM，PF＝3PN，PG＝3PQ，PH＝3PR. 由题意知四边形MNQR是平行四边形， →＝MN→＋MR→＝(PN→－PM→)＋(PR→－PM→) 所以MQ

3→→3→→3→→＝2(PF－PE)＋2(PH－PE)＝2(EF＋EH)． →＝PQ→－PM→＝3PG→－3PE→＝3EG→. 又MQ

222

→＝EF→＋EH→，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．

所以EG

[构建·体系]

1．给出下列几个命题：

①向量a，b，c共面，则它们的基线共面； ②零向量的方向是任意的；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

8

【解析】 向量a，b，c共面，它们的基线不一定共面．故①错误；由共线向量定理知③错误．

【答案】 A

→→→

2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，→，MB→，MC→成为空间一组基底的关系是( )

则能使向量MA

→＝1OA→＋1OB→＋1OC→ A.OM

333→＝MB→＋MC→

B.MA

→＝OA→＋OB→＋OC→ C.OM

→＝2MB→－MC→ D.MA

→，MB→，MC→共面，故

【解析】 由共面向量定理可知A，B，D中均满足MA→，MB→，MC→不能构成空间向量的一组基底． MA

【答案】 C

3．如图3-1-16所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC的三等分→→→

点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，→为________．

用a，b，c表示MN

图3-1-16

→＝MA→＋AA→＋A→

【解析】 MN11N 1→→2→＝－3AC＋AA1＋3A1D

1→→→＋2(AD→－AA→) ＝－3(AB＋AD)＋AA11

312

＝－3(a＋b)＋c＋3(b－c) 111＝－3a＋3b＋3c.

9

111

【答案】 －3a＋3b＋3c

→

4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ→＝b，PS→＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH→＝＝a，PR

________.(用a，b，c表示)

【导学号：15460062】

→＝GP→＋PH→＝－PG→＋1(PS→＋PR→)

【解析】 GH

22→1→1→211＝－3PQ＋2PS＋2PR＝－3a＋2b＋2c. 211

【答案】 －3a＋2b＋2c

→→

5．如图3-1-17，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，2→→

F在对角线A1C上，且A1F＝FC. 3

图3-1-17

求证：E，F，B三点共线．

→＝a，AD→＝b，AA→＝c，

【证明】 设AB1→→→2→因为A1E＝2ED1，A1F＝FC， 32→2→→→所以AE＝AD，AF＝11

3115A1C， 2→2→

所以AE＝1

3AD＝3b，

2→→2→→→222→A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c， 5555522422??→→→a－b－c??. 所以EF＝A1F－A1E＝5a－15b－5c＝53??

→＝EA→＋A→→＝－2b－c＋a＝a－2b－c，→＝2EB→，又EBA＋AB所以EF所以E，F，11

335

10

B三点共线．

我还有这些不足：

(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：

(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋y b＋c，若m与n共线，则x＋y等于( )

A．2 C．1

B．－2 D．0

【解析】 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．

?x＝z，所以?y＝－z，

?1＝z.

?x＝1，所以?所以x＋y＝0.

?y＝－1，【答案】 D

→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定

2．已知向量a，b，且AB共线的三点是( )

A．A，B，D C．B，C，D

B．A，B，C D．A，C，D

11

→→→→→

【解析】 BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA＝－AB＝－a→＝－2BA→，

－2b，∴BD

→与BA→共线， ∴BD

又它们经过同一点B， ∴A，B，D三点共线． 【答案】 A

→＝3OA→＋1OB→＋1OC→，则P，

3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP

488A，B，C四点( )

A．不共面 C．不一定共面

311

【解析】 ∵4＋8＋8＝1， ∴点P，A，B，C四点共面． 【答案】 B

4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．共面 D．无法判断

【解析】 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq?p.

【答案】 B

5．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′→，AO→，AO→}为基底，AC→→＋yAO→＋zAO→，则x，y，z

的中点，以{AO′＝xAO123123的值是( )

A．x＝y＝z＝1 2

C．x＝y＝z＝2

q，

1

B．x＝y＝z＝2 D．x＝y＝z＝2

12

→→→→

【解析】 AC′＝AA′＋AD＋AB 1→→1→1→→→) ＝2(AB＋AD)＋2(AA′＋AD)＋2(AA′＋AB1→1→1→→＋AO→＋AO→， ＝2AC＋2AD′＋2AB′＝AO132由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1. 【答案】 A 二、填空题

6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.

【解析】 ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面向量． 又∵λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0. 【答案】 0

7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四→→→→

点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z的值为________.

【导学号：15460063】

【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存→＝xOB→＋yOC→＋zOD→，且x＋y＋z＝1，因此2x＋

在实数x1，y1，z1，使得OA1111113y＋4z＝－1.

【答案】 －1

→＝2e＋ke，→→

8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知ABCD12CB＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.

→＝CD→－CB→＝(2e－e)－(e＋3e)＝e－4e，【解析】 由已知可得：BD121212∵A，B，D三点共线，

→与BD→共线，即存在λ∈R使得AB→＝λBD→. ∴AB

∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线，

13

?λ＝2，∴?解得k＝－8. ?k＝－4λ，【答案】 －8 三、解答题

→＝a，→＝

9．如图3-1-18所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，ABAD→b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：

图3-1-18

→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.

(1)AP

→|＝2，

【解】 由题意知|PB

→|＝2，PB→＝P→→，DC→＝DA→＋AB→＋BC→， |CDA＋AB∵PA⊥平面ABCD，

→→＝P→→＝P→→＝0， ∴PA·DAA·ABA·BC→·→＝0， ∵AB⊥AD，∴ABDA→·→＝0， ∵AB⊥BC，∴ABBC→·→＝(P→→)·→＋AB→＋BC→) ∴PBDCA＋AB(DA→2＝|AB→|2＝1， ＝AB

→|＝2，|CD→|＝2， 又∵|PB

→·→PBDC11→→

∴cos〈PB，DC〉＝＝＝2，

→||DC→|2×2|PB→，DC→〉＝60°

∴〈PB，∴PB与CD所成的角为60°.

→＝a，OC→＝b，OO→10．正方体OABC-O′A′B′C′，且OA′＝c. →

(1)用a，b，c表示向量AC′；

14

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c→. 表示GH

→·→＝|OA→|·→|·

【解】 (1)OAOB|OBcos∠AOB 1＝1×1×cos 60°＝2. →＋OB→)·→＋CB→) (2)(OA(CA

→＋OB→)·→－OC→＋OB→－OC→) ＝(OA(OA→＋OB→)·→＋OB→－2OC→) ＝(OA(OA

＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.

→＋OB→＋OC→|＝(3)|OA

→＋OB→＋OC→?2 ?OA

＝12＋12＋12＋?2×1×1×cos 60°?×3＝6.

[能力提升]

→→＋βPC→，则α＋β＝1是A，B，1．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝αPBC三点共线的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

→→＝β(PC→－PB→)，即BA→＝βBC→，显然A，B，【解析】 若α＋β＝1，则PA－PB→＝λBC→，故PB→－P→→－PB→)，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有ABA＝λ(PC→→－λPC→，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C. 整理得PA＝(1＋λ)PB

【答案】 C

→＝PB→

2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有PM1→＋6AA→－4A→＋7BA11D1，那么M必( )

A．在平面BAD1内 C．在平面BA1D1内

B．在平面BA1D内 D．在平面AB1C1内

→＝PB→＋7BA→＋6AA→－4A→→→→→

【解析】 由于PM111D1＝PB1＋BA＋6BA1－4A1D1＝

15

→→→→→→→→→→→PB1＋B1A1＋6BA1－4A1D1＝PA1＋6(PA1－PB)－4(PD1－PA1)＝11PA1－6PB－→，于是M，B，A，D四点共面，故选C. 4PD111

【答案】 C

3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.

【导学号：15460064】

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．

【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．

【答案】 ①②③

4．如图3-1-19所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试→与向量AD→，BC→是否共面． 判断向量MN

图3-1-19

→＝MA→＋AD→＋DN→，①

【解】 由题图可得MN→＝MB→＋BC→＋CN→，② ∵MN

→＝－MB→，DN→＝－CN→， 又MA所以①＋②得 →→→2MN＝AD＋BC，

→＝1AD→＋1BC→，故向量MN→与向量AD→，BC→共面. 即MN

22

16

→→→→→→→→→→→PB1＋B1A1＋6BA1－4A1D1＝PA1＋6(PA1－PB)－4(PD1－PA1)＝11PA1－6PB－→，于是M，B，A，D四点共面，故选C. 4PD111

【答案】 C

3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.

【导学号：15460064】

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．

【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．

【答案】 ①②③

4．如图3-1-19所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试→与向量AD→，BC→是否共面． 判断向量MN

图3-1-19

→＝MA→＋AD→＋DN→，①

【解】 由题图可得MN→＝MB→＋BC→＋CN→，② ∵MN

→＝－MB→，DN→＝－CN→， 又MA所以①＋②得 →→→2MN＝AD＋BC，

→＝1AD→＋1BC→，故向量MN→与向量AD→，BC→共面. 即MN

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