§5.6 二次曲线方程的化简与分类

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

一、平面坐标变换

1. 移轴和转轴：

如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x?, y?)，则移轴公式为

或

式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为

或

式中?为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.

2. 一般坐标变换公式为

或

3. 设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线

l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0,

其中 A1A2＋B1B2＝0，如果取 l1 为新坐标系中的横轴O?x?，而直线l2为纵轴O?y?，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x?，y?), 则有

其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.

二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响

1．在移轴 的方程变为

下，二次曲线F(x, y)?a11x + 2a12xy+a22y+2a13x+2a23y+a33=0

2

2

即新方程为 这里

因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：

（1）二次项系数不变；

（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0).

从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.

2． 在转轴的方程变为

下，二次曲线

F(x, y)?a11x + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

2

即新方程为 这里

因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：

（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.

（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.

（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12?0时，选取旋转角 ?，使 ,

则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.

三、二次曲线的方程化简

1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.

例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.

（1）5x＋4xy＋2y－24x－12y＋18 ＝0；

22

（2）x＋2xy＋y－4x＋y－1＝0；

2

（3）5x＋12xy－22x－12y－19 ＝0；

22

（4）x＋2xy＋y＋2x＋2y ＝0.

22

解：（1）因为 I2＝线，由

＝6?0，所以曲线为中心曲

解得中心为(2, 1)，作移轴变换

代入曲线原方程，整理得

22

5x?＋4x?y?＋2y?－12 ＝0.

由ctg2?＝即

,

. ，

得 tg? ＝－2，tg? ＝

不妨取tg? ＝

，则由图5-1可得

sin? ＝

，cos? ＝

,

作转轴变换

代入上述化简方程得

6 x? ＋y?－12＝0.

即

（2）因为I2＝ctg2?＝

＝0,

.（ 如图5-2）.

＝0，故曲线为无心曲线，由

2

得 ?＝.

作转轴变换

代入原方程，整理得

＝ 0,

配方得

＝0.

作移轴变换 得到 x? ＋y?. （如图5-3）. （3）因为I2＝曲线，

2

y?＝0, 即 x? 2＝－

＝－36?0，所以曲线是中心

由 得中心 (1, 1)，作移轴变换

,

代入原方程，整理得

2

5x? ＋12x?y?－36＝0.

由ctg2? ＝解得tg ?＝－不妨取tg ?＝

，tg ?＝

, 即 .

,

，则由图5-４可得

sin? ＝

，cos? ＝

,

作转轴变换

代入上述方程整理得

9 x? －4y? ＝36,

即

.（如图5 – 5）.

2

2

（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由

＝0,

ctg2?＝

得 ?＝

，作转轴变换

代入原方程，整理得

＝0, 配方：. 作移轴变换

就

有

x? ＝, （如图5- 6）.

2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.

2

如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得

，

所以

.

因此 通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.

例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.

22

（1）8x＋4xy＋5y＋8x－16y－16 ＝0；

22

（2）x－4xy－2y＋10x＋4y ＝0；

22

（3）4x－4xy＋y＋6x－8y＋3 ＝0；

22

（4）4x－4xy＋y＋4x－2y ＝0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z73h.html