全国大纲版2014届高三高考压轴数学（理）试题

2014全国大纲版高考压轴卷 数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

．．．．．．．．．．

[来源:Z,xx,k.Com]3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一.选择题 （1）若复数z??A?

122i,则z等于（ ） 1?i?B?2?C?1?D?22

(2) 若A?x?Z2?22?x?8，B?x?Rlog2x?1，则A??CRB?的元素个数为（ ）

(A) 0

(B) 1

(C) 2 (D)3

?1????

（3）已知函数y?f?x?与y?f?x?互为反函数，且函数y?f?x?1?与函数y?f?1?x?1?也互为

?1???2010?=（ ） f1?0,f反函数，若则

?A?0?B?1?C??2010?D??2009

(4) 已知等比数列?an?中，公比q?0,若a2?4,则a1?a2?a3 有（ ）

(A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值12 (D)最大值12

(5) 一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何

两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为 （ ）

y P  （A）6 （B）12 （C）72 （D）144 (6) 已知函数y?sin(?x??)(??0)的部分图象如右图所示，设P是

x 图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，则tan?APB?（ ） （A）10 （B）8 （C）

(7) 在正方形ABCD中，AB?4,沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则点

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A O B 84 （D）77

B到直线CD的距离为（ ）

?A?22?B?32?C?23?D?2?22

（8） 设a?R,函数f?x??ex?a?e?x的导函数是f??x?,且f??x?是奇函数，若曲线y?f?x?的一条

切线的斜率是

3,则切点的横坐标为（ ） 2(A) ?ln2ln2 (B)?ln2 (C) ln2 (D) 22?1?1?x?,x?0(m?0,m?1,n?2,n?N?),若f?x?在x?0处连续，

(9) 已知f?x???则m的x2n??logm2?Cnx,x?0值为（ ） (A)

111 (B) (C) (D) 2 842（10）已知数列{an}的通项公式为an?n?13，那么满足ak?ak?1???ak?19?102的整数k（ ）

（A）有3个 （B）有2个 （C）有1个 （D）不存在

(11) 已知直线l交椭圆4x?5y?80于M,N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若?BMN的重

心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（ ） (A) 6x?5y?28?0 (B)6x?5y?28?0 (C) 5x?6y?28?0 （D) 5x?6y?28?0

(12) 在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（ ）

(A)

22?6?2R (B)

??112?1R (C)R (D)R43

?第Ⅱ卷

注意事项:

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然

第 2 页 共 2 页

后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 第Ⅱ卷共2页, 请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷．．．．上作答无效。 ．．．．．

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．

1??(13)若?1?2??n?N,n?1?的展开式中x?4的系数为an, x??则lim??n?111??=????n??aan??2a3?.

(14) 当对数函数y?logax?a?0且a?1?的图象至少经过区域

??M???x,y????x?y?0????x?y?8?0(x,y?R?内的一个点时，实数a的取值范围为 . ??y?3?0??(15)已知函数f?x??cosx,x?????,3??,若方程f?x??m有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数?2? .

列，则m的值为

2（16）抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，A其准线上的射影为N，则

、B在抛物线上，且?AFB?

?2，弦AB的中点M在

MNAB的最大值为

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.）

(17)（本小题满分10分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 向量m???1,1?, ?3???,且m?n. n??cosBcosC,sinBsinC?2???（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）现给出下列四个条件：①a?1;②b?2sinB;③2c?个条件以确定?ABC，求出你所确定的?ABC的面积.

(18)（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

在进行一项掷骰子放球的游戏中规定：若掷出1点或2点，则在甲盒中放一球；否则，在乙盒中放一球。现在前后一共掷了4次骰子，设x、y分别表示甲、乙盒子中球的个数。

?3?1b?0;④B?45?.试从中再选择两

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（Ⅰ）求1?y?x?3的概率；

（Ⅱ）若??x?y,求随机变量?的分布列和数学期望。 (19)（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，底面ABCD是直角梯形，

AB//CD，?ADC?90?，AB?AD?PD?1，CD?2.

（Ⅰ）求证：BC?平面PBD；

P

????????（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ??PC，

试确定?的值，使得二面角Q?BD?P为45?.

(20)（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

设数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?8,an?1?Sn?3n?1?5,n?N?. （Ⅰ）设bn?an?2?3n,证明：数列?bn?是等比数列；

A

D C

B

222232n（Ⅱ）证明：??????1.

a1a2a3an

(21)（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

已知?AOB的顶点A在射线l1:y?3x?x?0?上，A、B两点关于x轴对称，0为坐标原点，

?????????且线段AB上有一点M满足AM?MB?3.当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W.

（Ⅰ）求轨迹W的方程;

????????（Ⅱ）设N?2,0?,是否存在过N的直线l与W相交于P,Q两点，使得OP?OQ?1?若存在，

求出直线l；若不存在，说明理由.

(22)（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

已知函数f(x)?12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R). 2(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

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(Ⅲ)设g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)?g(x2)，求a的取值

2 2014全国大纲版高考压轴卷 数学理试题答案

一、选择题 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案 D C D B C B C C B B A A 二、填空题:

（13）2. （14）?2,35?. （15）???12. （16） 22提示：

[来源学科网]

(1) D. z?2i(1?i)?i?1,z?12?12?2 (1?i)(1?i)

(2) C. 化简A??0,1?,B??0, (3)

D.

由

??1???2,??? ?2?x,yy?f?x?1??f?1(y)?x?1,互换得，

y?f?1(x)?1，

?f?1?x??1?f?1?x?1?

?f?1?x??f?1?x?1??1,又f?1(0)?1，累加法：f?1?0??f?1?2010??

?1?1?1?1?1?1?1?1???????f0?f1?f1?f2?f2?f3???f2009?f???????????????2010??????????=2010

?f?1?2010??f?1?0??2010=?2009

）?2a1a3=2a2=8，当且仅当a1?a3时取=号 (4) B. ?q?0,a2?4,?a1?0,a3?0.(?a1)?(?a3 ?a1?a2?a3??8?4??4

BAF2(5) C.若A、C、E坐大人，则B、D、F坐小孩；

若B、D、F坐大人，则A、C、E坐小孩.共有

332A3A3?72C种方法.

y P ED13,HB?(6) B.作，依题意， 22，

AH1OB3?,tan???PH?1?tan?? 又， PH2PH2，

?tan?APB?tan(???)?8PH?AB于HAB?T?2?AH?x A O DB

[来源:学科网]

(7) C. 作

OD?AC,垂足是O，则O是AC的中点，连结OB，易

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EOAc

证又在(8) C.

?BOD?900，作

OE?CD于E，E是CD的中点，

[来源:学科网]

BO?平面ACD?BE?CD,

，BE是点B到直线CD的距离.

Rt?BOE中，求

BE?23.

f??x??ex?a?e?x?f??0??1?a?0?a?1.设切点为P(x0,y0)，

31x0?x0x0?f?x0??e?e?，e?2或?（舍去）则，?x0?ln2 2解得21?1?x?11f?x?在x?0处连续， ?lim???x?0x?01?1?x(9) B. x?0x2，因为

111 所以，f(0)??，即logm2??，解得 m?224 ?13?n(n?13)k?1a1?a2???a13?a14???a20?an??(10) B. 因为时，?n?13(n?13)，检验，

lim?f(x)?lim?[来源:Z。xx。k.Com]

?12?11???1?0?1?2???7?k?2时，

13(12?0)7(1?7)??106，不合题意. 22a2?a3???a13?a14???a21

?11?10???1?0?1?2???7?8?由对称性知，(11) A.设

36?66?102.所以，

12(11?0)8(1?8)??66?36?102，满足题意 22k?2或5均满足题

M(x1,y1),N(x2,y2)，又

B(0,4),F(2,0)0?x1?x24?y1?y2?2,?0，由重心坐标得 33?x1?x2?6（1）??M(x1,y1),N(x2,y2)MN(3,?2) ，所以弦的中点为. 因为点在椭圆上， ?y1?y2??4（2）22??4x1?5y1?80?2，作差得 2所以，??4x2?5y2?80y1?y26k??4(x?x)(x?x)?4(y?y)(y?y)?012121212 ，将（1）和（2）代入得lx1?x25，

6y?2?(x?3) 所以，直线L为： 5R

2r(12) A.当三个小球在下、第四个小球在上相切时，小球的半径最大.设小球的最大半径为，四个小球的

球心分别为A,B,C,D,大球半径为

.则四面体A-BCD是棱长为

的正四面体，将正四面体A-BCD补

r形成正方体，则正方体棱长为

2r，大球球心

O

为体对角线中点，易求

166(2r)2?(2r)2?(2r)2?rR?r?OA?rr?(6?2)R，所以，解得 222111n(n?1)2??2(?)an?Cn(?1)2?（13）2. ann?1n 2OA? 第 6 页 共 6 页

??1111??11?1??1??1??????2??1??????????????2?1??a2a3an2??23?n??n?1n????? 1???lim2?1???2n??n??

?2,33?. y?logaxa(3,3),(4,4),(5,3)??（14）由可行域知，的图像分别过点时，的值分别为3?2,33?.2?33?353,2,35a??， 因为，所以的取值范围是

1qy?cosxy?m（15）2. 设公比为， 问题转化为 要和的图像有三个交点，由图像可知，

x?x??2?x4?1??4??q???x???3??xq??q?2,x??m?f???? ，，解得 ，8332 ???x?xq?4???211MN?(AA1?BB1)?(AF?BF)（16）2. 如图，, 22(AF?BF)2222AB?AF?BF?, 2AF?BF当且仅当

2yAA1时取“=”号

2NMx?MN??AF?BF???????AB2AB????

B12(AF?BF)2AB1 ????222AB22AB1B

?MN?AB12

三、解答题:

(17)解：（Ⅰ）?m?n,??cosBcosC?sinBsinC?3?0,?????1分 2

即cosBcosC?sinBsinC??33,cos(B?C)??,?????2分 22?A?B?C?180?,?cos?B?C???cosA,

?cosA?3,又O?A??,?A?30?.?????4分 2（Ⅱ） 方法一：选择①③可确定?ABC.?????5分

?A?30?,a?1,2c??3?1b?0,

?

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?3?1?22???2b?3?1bcos30?,?????６分 1?b?b由余弦定理?2?2??整理得b2?2,b?22,c?6?2.?????8分 23?1. ?????10分

4

?S?ABC?116?21bcsinA??2???2222（Ⅱ） 方法二：选择①④可确定?ABC.?????5分

?A?30?,a?1,B?45?,?C?105?,

?sin105??sin?60??45???sin60?cos45??cos45?sin60??6?2,?????６分 4由正弦定理

abasinB1?sin45??,得b???2,?????8分 sinAsinBsinAsin30?116?2absinC??1?2??2243?1. ?????10分

4?S?ABC?(18)解：依题意知，掷一次骰子，球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

12,.????2分 33 （Ⅰ）若1?y?x?3,则只能有x?1,y?3,即在4次掷骰子中，有1次在甲盒中放球，有3次

1?2?32在乙盒中放球，因此所求概率P?C?????.?

3?3?81143?5分

（Ⅱ）由于??x?y,所以?的可能取值有0，2，4????6分

2440?1??2?1?1??2?3?1??2?P???0??C?????,P???2??C4?C?, ????4????81?3??3??3??3??3??3?81242233170?1?4?1? ????9分 P???4??C4?C??3?4??381????

所以随机变量?的分布列为：

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? P 0 2 4 24 8140 8117 81

故随机变量?的数学期望为E??0?

[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]244017148?2??4??.????12分 81818181

（１９）解法一：

（Ⅰ）平面PCD?底面ABCD，PD?CD，所以PD?平面ABCD，………1分 所以PD?AD, .……2分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz. 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).………3分

[来源:Z|xx|k.Com]P z Q y C B

A x ????????DB?(1,1,0)，BC?(?1,1,0)，

????????所以BC?DB?0，BC?DB，……………4分

D 又由PD?平面ABCD，可得PD?BC，所以BC?平面PBD.……………6分

????（Ⅱ）平面PBD的法向量为BC?(?1,1,0)，…………………………………………7分

????????????PC?(0,2,?1)，PQ??PC，??(0,1)

所以Q(0,2?,1??)， ………………………………………………………………8分

????????设平面QBD的法向量为n=(a,b,c)，DB?(1,1,0)，DQ?(0,2?,1??)，

????????由n?DB?0，n?DQ?0，得

?a?b?0所以，?，………………………………………………….……9分

2?b?(1??)c?0?2?)，………………………………………………………….…10分 ??1????n?BC22所以cos45??，……………………...……11分 ??????22?2nBC22?()??1所以n=(?1,1,注意到??(0,1)，得??

法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD?面PCD，且PD⊥CD ∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC?面ABCD，∴BC⊥PD ①…. .…..……2分

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2?1. …………………………….………………12分

取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1 在Rt△ABD中，BD?2，在Rt△BCE中，BC=2. .……………………...……4分

∵BD2?BC2?(2)2?(2)2?22?CD2, ∴BC⊥BD ②………………...……5分 由①、②且PD∩BD=D

∴BC⊥面PBD. ……….………………………………………….…...……6分 （Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ. ∵BC⊥面PBD，QF//BC

∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影， 又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG

∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ=45°. …………….…...……8分 设PQ=x，易知PC?5,PB?3

P PQFQPQ∵FQ//BC，∴?BC??即FQ?BCPCPCPFPQ?PBPC∵FG//PD∴

2x 5A Q F E C B 即PF?PQ3?PB?x PC5D G BF1FGBF?PD?1?x………………..…...……10分 ?即FG?PBPDPB5在Rt△FGQ中，∠FGQ=45° ∴FQ=FG，即

12x ∴x?x?1?555?5(2?1)……..….........……11分 2?1????????∵PQ??PC ∴5(2?1)??5 ∴??2?1……..…............……12分

(20)解：（Ⅰ）?an?1?Sn?3n?1?5,?an?Sn?1?3?5?n?2?,

n?an?1?an?an?2?3n,即an?1?2an?2?3n?n?2?, ????2分

当n?2时，

nbn?1an?1?2?3n?12an?2?3n?2?3n?12?an?2?3?????2,????5分 bnan?2?3nan?2?3nan?2?3n又?b1?a1?2?3?2,b2?a2?2?3?4,?12b2?2, b1?数列?bn?是以2为首项，公比为2的等比数列。????6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?2,?an?2?3?2,?annnn?2?3n?2n,

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2n2n???an2?3n?2n1?2??????????9分nn2?3??3??3?2????12????2??2?11n[来源:Z_xx_k.Com]

23n222232n1?2?2??2??2?? ????????????????????

a1a2a3an2??3????3?3??3?2??2??1???3?3?1??=?121?3n??n???1??2??1.????12分

?3???(21)解：（Ⅰ）因为A,B两点关于x轴对称，

所以AB边所在直线与y轴平行.

?????????设M?x,y?,由题意，得Ax,3x,Bx,?3x,?AM?MB?3,

???? ??3x?y??y23x?y?3,x??1,

3?2y2所以点M的轨迹W的方程为x??1?x?0?.????4分

32（Ⅱ）假设存在，设l:y?k?x?2?或x?2，P?x1,y1?,Q?x2,y2?,

?2y2?1?x?当直线l:y?k?x?2?时，由题意，知点P,Q的坐标是方程组?的解， 3?y?k?x?2??消去y得 3?k2x2?4k2x?4k2?3?0, ????6分

所以??4k???2?2?4?3?k2???4k2?3??36?k2?1??0且3?k2?0

4k24k2?3x1?x2?2,x1x2?2,????7分

k?3k?34k24k2?3?0,x1x2?2?0, ?直线l与双曲线的右支（即W）相交两点P,Q,?x1?x2?2k?3k?3即k2?3.①????8分

?y1y2?k?x1?2??k?x2?2??k2??x1x2?2?x1?x2??4??

?????????OP?OQ?x1x2?y1y2??1?k2?x1x2?2k2?x1?x2??4k2

第 11 页 共 11 页

4k2?34k23?5k222 ????10分 ??1?k??2?2k?2?4k?2k?3k?3k?32????????3?5k2要使OP?OQ?1,则必须有2?1,解得k2?1,代入①不符合。

k?3????????所以不存在直线l，使得OP?OQ?1,????11分

????????当直线l:x?2时，P?2,3?,Q?2,?3?,OP?OQ??5,不符合题意，

????????综上：不存在直线l，使得OP?OQ?1,????12分

（22）解：f?(x)?ax?(2a?1)?（Ⅰ）f?(1)?f?(3)，解得a?（Ⅱ）f?(x)?2(x?0). ??????1分 x2. ??????3分 3(ax?1)(x?2)(x?0). ??????4分

x①当a?0时，x?0，ax?1?0，

在区间(0,2)上，f?(x)?0；在区间(2,??)上f?(x)?0，

故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??). ??????5分 ②当0?a?11时，?2， 2a在区间(0,2)和(,??)上，f?(x)?0；在区间(2,)上f?(x)?0，

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(,??)，单调递减区间是(2,). ????6分

1a1a

1a1a1(x?2)2③当a?时，f?(x)?， 故f(x)的单调递增区间是(0,??). ???7分

22x④当a?11时，0??2， 2a1a1a在区间(0,)和(2,??)上，f?(x)?0；在区间(,2)上f?(x)?0，

故f(x)的单调递增区间是(0,)和(2,??)，单调递减区间是(,2). ???8分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)max?g(x)max. ??????9分 由已知，g(x)max?0，由（Ⅱ）可知， ①当a?

1a1a1时，f(x)在(0,2]上单调递增， 2第 12 页 共 12 页

故f(x)max?f(2)?2a?2(2a?1)?2ln2??2a?2?2ln2， 所以，?2a?2?2ln2?0，解得a?ln2?1，故ln2?1?a?②当a?1. ?????10分 2111时，f(x)在(0,]上单调递增，在[,2]上单调递减， 2aa故f(x)12?1max?f(a)??2a?2lna. 由a?12可知lna?ln12?ln1e??1，2lna??2，?2lna?2，

所以，?2?2lna?0，f(x)max?0，

综上所述，a?ln2?1. 第 13 页 共 13 页

??????12分

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