数值计算方法(宋岱才版)课后答案
更新时间:2024-04-06 02:58:01 阅读量:1 综合文库 文档下载
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第一章 绪论
一 本章的学习要求
(1)会求有效数字。
(2)会求函数的误差及误差限。 (3)能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式
(1)绝对误差:设x为精确值,x为x的一个近似值,称e??x??x为x的绝对误
差。
??e?(2)相对误差:er??。
x?(3)绝对误差限:??e?x?x。 (4)相对误差限:?r???????x??x??xx?。
??df??(5)一元函数的绝对误差限:设一元函数f?x??0,则??f??? ????x?。?dx??df??(6)一元函数的相对误差限:?r?f???1?????x?。 ??f?dx????f???(7)二元函数的绝对误差限:设一元函数f?x,y??0,则??f??? ??y。?????y????f??1?(8)二元函数的相对误差限:?r?f????????x????f???x??????f???????y??。
???y???
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三 本章习题解析
1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,(1)试指出它们有几位有效数字,(2)分别
X2?估计A1?XX2X及A2?的相对误差限。
X4??1??3x1??1.1021,x2??0.031,x3??385.6,x4??56.430
解:(1)x1有5位有效数字,x2有2位有效数字,x3有4位有效数字,x4有5位有效
????数字。 (2)A1?x1x2x3,?A1?A?A?x2x3,1?x1x3,1?x1x2,由题可知:A1?为A1的近似值,?x1?x2?x3x1?,x2?,x3?分别为x1,x2,x3近似值。
所以
??A???r1??A?
?1A?1??1???A1????????X1?A1???????x???A1???X2??1???A1???x??????X3??2???x??3?? ????111???1?4???3???1?xx??10?xx??10?xx??10?0.215 231312??xxx?222????123A2????X2?Ax1?A,则有2?,2??22,同理有A2为A2的近似值,x2,x4为x2,X4?x2x4?x4?x4?x4的近似值,代入相对误差限公式:
??A???r2??A?
?2A?2??1???A2????????A2???X2?????X???A2???X4??2???X??4?? ??????111?3?3?XX4?2???10???10?105 ??2??2X??2X2?X44???
2. 正方形的边长大约为100cm,怎样测量才能使其面积误差不超过1cm? 解:设正方形的边长为x,则面积为S?x2,
2ds?2x,在这里设x?为边长的近似值,S?为dx第 - 2 - 页
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?ds?面积的近似值:由题可知:???s????dx?????x??1
?即:2x??x?????1 推出:?x?????1?0.005cm。 200?3. 测得某房间长约L=4.32m,宽约为d=3.12m,且长与宽的误差限均为0.01m,试问房
间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少? 解:设s?ld 则有:
??s?s?d,?l。在这里l?,d?,S?分别为l,d,s的近似值: ?l?d????s???s???s???????l???????d???d??l???d?相对误差限为:?rS???l??l???d??3.12?0.01?4.32?0.01?0.0744cm???2??????S??S??0.0744?0.0055。
4.32?3.124. 下列公式如何计算才比较准确:
(1)当x的绝对值充分小时,计算e2x?12;
11?x2dx1x(2)当N的绝对值充分大时,计算?N(3)当x的绝对值充分大时,计算2x2xN?1; 。
4xx?1?x2xx??e?????ee?1?eeee解:(1)当x?0时,== ?22e?e?e?2e?e?e?2?e?1??1?1?1x3x?x2xxx?xxx?x=
?e??e?e?
2?e?e?2?e?e?3x?e?xx2xx?e?2xx?x?x(2)当N??时,
?N?1NN?11=argtg?N?1??argtgN dx=argtgxN1?X2=argtg1
1?N?N?1??11??11??x??x???x??x??xx??xx?11?x???x??x?(3)当时,= xx??11?x??x??xx??第 - 3 - 页
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=x?2x2?1?x2?1?。
5. 列?yn?满足递推关系yn=10yn?1-1,n=1,2,…,若y0=2?1.41,计算到y10时误差有多
大?这个计算数值稳定吗? 解:已知准确值y0?2,近似值y0?1.41,设他们的误差为?0?y0?y0,则有:
00000????y?y?10?
??y?y??10y?1???10y?1?=100y?y?100? 以此类推所以??y?y??10y?1???10y?1?=10y?y?1?y?y121?10y?1?10y?1=101122000101010109900?1010?0
=10102?1.41?1010?1?10?2?1?108
226. 计算f??62-1,取2?1.4,直接计算和用
?1?3?22?53来计算,哪一个最好?
解:依题意构造函数f?x???x?1?,则fI?x??6?x?1?,由绝对误差公式
???f???f?x????x??=6??1.4?1?52?1.4?6?0.0124?1?10?1=0.003072
27. 求二次方程x-16x+1=0的较小正根,要求有3位有效数字。
216?162?4解:由求根公式:x?。所以。x1?8?63,x2?8?63对比可知:
2较小的根为x2?8?63,由相近数相减原理则有:
x2?8?8??63?638?63?8???63?0??18?63?0.0627
8. 如果利用四位函数表计算1?cos2,试用不同方法计算并比较结果的误差。 解:1?cos2?1?0.994?0.006
0sin2200.03492?41?cos2???6.092?10 01?cos21.99409. 设x的相对误差限为δ,求x的相对误差限。
解:由题意可知:设f?x??x100,则有fI?x??100X99在这里设x为X的近似值,f 为f?100?第 - 4 - 页
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的近似值,由已知x的相对误差限为?。 所以: ?f??????ff1????fI?x???x??f?x????100?x????x??99?x??100?100??x??x??100?
10. 已知三角形面积S=2absinc,其中c为弧度,满足0
?,且a,b,c,的误差分别为 ?a,?b,2?c。证明面积误差?s满足
?s?a?b?c++。 ?sabc解:由误差定义:?s??s?s?s?s1?s1又因为:?bsinc,?asinc ?a??b??c,
?a?b?c?a2?b2111?s1?abcosc,代入上式可得:?s?bsinc?a?asinc?b?abcosc?c
222?c2111bsincasincabcosc?s222??a??b??c两边同除以s可得:s, 111absincabsincabsinc222约分可得:
?s?a?b?c????, 因为:0
?s?a?b?c???成立。 sabc
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第二章 插值法
一 本章的学习要求
(1)会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 (2)会应用插值余项求节点数。 (3)会应用均差的性质。
二 本章应掌握的重点公式
(1)线性插值:L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1。
(2)抛物插值:L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1?l2?x?y2。 (3)n次插值:Ln?x???lk?x?yk。
k?0n(4)拉格朗日插值余项:Rn?x??f?x??Ln?x??(5)牛顿插值公式:
fn?1???n?1!?n?1?x?。
N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0?????f?x0,x1???xn??x?x0??x?x1?????x?xn?1?。
(6)f?x0,x1,???xn????x?x??x?x?????x?x??x?x?????x?x?。
j?101j?1j?1nnf?xj?(7)f?x0,x1,???xn??f?n????n!。
(8)牛顿插值余项:Rn?x??f?x??Nn?x??f?x0,x1???xn??n?1?x?。
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三 本章习题解析
1. 给定x,f?x?的一系列离散点(1,0),(2,—5),(3,—6),(4,3),试求Lagrange
插值多项试。
解:设所求插值多项式为p?x??L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y,且已知:
012??x0?1,y0?0,x1?2,y1??5,x2?3,y2??6,x3?4,y3?3,代入插值基函数公
x?x??x?x??x?x???x?2??x?3??x?4?式:可得:l?x??=
?1??2??3??x?x??x?x??x?x???x?x??x?x??x?x?=?x?1??x?3??x?4?
x?l????????????1??1??2?xxxxxxx?x??x?x??x?x???x?1??x?2??x?4?= x???l2?1??1???x?x??x?x??x?x?123001020302311012130132202123化简代入p?x?得: p?x??x?4x?3
322. 若
017016f?x??2x6?3x5?x3?1,求f??3,3?3??。 ?3,3?3??,f?解: 由f?6??x??2?6! ,所以:
f?6?f?6?????2?6! ,f?7??x??f?7?????0.由均差的性质(三)
7!7!可知: f?30,31?36????3. 给定函数表 6!?7?????2?6!?2 ,f?30,31?37??f????0?0
??6!xi 0 -7 1 -4 2 5 3 26 4 65 5 128 f?x? i(1) 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式L3?X?,并由此求f?0.5?的近似值。 (2) 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式N3?X?,并由此求f?0.5?的近似值。 解:(1) n?3,取0.5附近的4个点为宜。故取,x0?0,y0??7,x1?1,y1??4,x2?2,y2?5,
x3?3,y3?26。则L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y,按照习题1求出插值基012函数。代入L3?X?。可得:L3?X??x331?1所以:f?0.5????2x?7,???2??7??5.875 2?2?第 - 7 - 页
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(2)设牛顿插值多项式为
N?x??f?x??30f??x,x???01x??x0?f?,0x,1x???x?2x???x0 1 x?? x?f??x0,x1,x2,x3???x?x0??x?x1??x?x2?,
列差商表:
xi 0 1 2 3 yi -7 -4 5 26 一阶插商 3 9 21 二阶插商 3 6 三阶插商 1 所以:N3?X???7?3?x?0??3?x?0??x?1???x?0??x?1??x?2??x3?2x?7=-5.875 4. 设xj为互异节点(j=0,1,2,…,n)求证:
?xl?x??xj?0jjnkk,k=0,1,2,…,n其中
l?x?为
jn次插值基函数。
证明:根据题意:设f?x??x,所以有
knknyj?f?x?jj?xj,
nk结合上式所以有:?xjlj?x???fj?0j?0?x?ljn?x???lj?x?yj=Ln?xj?,
j?0由余项定理可知:
f?xj??L?x??R?x?,
njj且由定理二可知,当0?j?n时,Rn?xj??0所以就有fxj?Lnxj?xjk。 在这里令变量xj?x,所以命题:
?????xl?x??xj?0jjnkk,成立。
5. 设f?x??c2?a,b?且f?a??f?b??0,求证:maxf?x??a?x?b12fII?x?。 ?b?a?maxa?x?b8证明:由题可知:x0?a,y0?0,x1?b,y1?0,故可构造线性插值多项式即为下式:
L?X??l?x?f?x??l?x?f?x?,记为(1)式,
10011因为f?x??L1?X??R1?x?,记为(2)式,其中R1?x??式,
将(1)(3)代入(2)整理:
f?x??L1?X??R1?x??x?bx?af?a??f?b??R1?a?bb?afII???2!?x?a??x?b?,记为(3)
f???2!II?x?a??x?b?
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f???2!II所以:f?x???x?a??x?b?II2f????2!IImaxa?x?b?x?a??x?b?这里取x?f?x??a?b代2入,可推出:f?x??6. 若f?x??anxn?an?1xnkjf???2!n?1?b?a?再放缩得max4a?x?b12fII?x? ?b?a?maxa?x?b8???????a1x?a0有n个不同实零点x1,x2,?xn,证明:
?0,0?k?n?2x???f?x??,k?n?1
??aj?1I?1nj证明:由题可知:f?x?有n个不同实零点,故f?x?还可以表示成根形式的多项式,即:
f?x??an?x?x1??x?x2???x?xn?;
由导数的定义可知:f??Ixj?limx?xjf?x??fx?xj?x?
jf?x??lim?liman?x?x1??x?x2??????x?xj?1x?xj?1?????x?xn?x?xx?xjx?xjj????j=an?x?x??x?x???????x?x??x?x??????x?x?j1j2jj?1jj?1n在此设:?n?x??xk;
??j?1xIkjf?xj??x??a?x?x???????x?x??x?x??????x?x?1n?jnj?1j1jj?1jj?1jn ?1??,,??????1??,记为(1)式
xxxn?an?12an?n?1?!当k?n?1时,?n?1??n?1?x???n?1?!,则(1)变为
1; ax当0?k?n?2,则(1)式变为0,
kn??0,0?k?n?2 xj综上所述:???1?Ij?1??an,k?n?1fx??-2 -5 7. 给定函数表 xi f?xj? -1 1 0 1 1 1 2 7 3 25 第 - 9 - 页
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已知以上数据取自一个多项式,试确定这个多项式的次数;并求出这个多项式。 解:用牛顿法:N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0??f?x0,x1,x2,??x?x0??x?x1?+
????f?x0,x1,x2,x3,x4,x5??x?x0??x?x1??x?x2??x?x3??x?x4?,
列插商表:
一阶插商 6 0 0 6 18 二阶插商 -3 0 3 6 三阶插商 1 1 1 四阶插商 0 0 五阶插商 0 xi -2 -1 0 1 2 3 f?xi? -5 1 1 1 7 25 N?X???5?6(x?2)?3(x?2)(x?1)?(x?2)(x?1)(x?0)?x3?x?1,为三次。
8. 对函数f?x?,g?x?及任意常数a,b,证明:
??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??af?x0,x1,???xn??bg?x0,x1,???xn?。
证明:由高等数学的知识,我们构造函数F?X??af?x??bg?x?,于是就有下式成立:
??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??F?x??x0,x1,???xn?
??j?0nFj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?af?x??bg?x? ???x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jnnjjj?0j0j1jj?1jj?1jn?x?j
由分式法则:
a?j?0nfj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jn?x?j?b?j?0ngj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jn?x?j=af?x0,x1???xn??bg?x0,x1,???xn?,所以命题成立。 10. 给定函数表 xi f?xi? 0.0 1.00000 0.2 1.22140 0.4 1.49182 0.6 1.82212 0.8 2.22554 试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算f?0.05?的近似值。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣
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的同学可自行解答,分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得
f?0.05?=1.05126.
11. 若要给出f?x??cosx,x??0,??的一张按等距步长h分布的函数表,并按线性插值计
??2???算任何x??0,?的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过
??2??1?4?10。 2分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,代入余项公式,即可求出h?0.02。 12. 设f?x??c2n?2?a,b?,采用Lagrange插值余项的证明方法,证明:埃尔米特插值余项
f2n?2???R?x??f?x??H2n?1?x???2n?2?!?2n?1?x?。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,将定理2代入余项公式即可求得,在此不做说明。
13. 求不超过3次的多项式H?x?,使其满足H??1??9,HI??1??15,H?1??1,HI?1???1。 分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,设所求多项式为:H?x??a0?a1x?a3x2?a3x3,代入条件,即可求得:
H?x??x3?4x2?4x。
14. 求不超过4次的多项式P?X?,使其满足P?0??PI?0??0,P?1??PI?1??1,
P?2??1。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,设所求多项式为分析p?x??a0?a1x?a2x?a3x?a4x,
234代入条件,即可求得:p?x??15. 给定函数表 122x?x?3?。 41 0.5 2 2 3 1.5 xi f?xi? 0 0 (1) 在边界条件fI?0??0.2,fI?3???1下求三次样条插值函数S?X?; (2) 在边界条件fII?0???0.3,fII?3??3.3下求三次样条插值函数S?X?。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣
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的同学可自行解答,代入样条插值函数公式,即可求得,在此不做说明。
?0.48x3?0.18x2?0.2x,x??0,1??32结果为:(1)s?x?????1.04?x?1??1.25?x?1??1.28?x?1??0.5,x??1,2?
?320.68x?2?1.86x?2?0.68?x?2??2.0,x??2,3????????0.5x3?0.15x2?0.15x,x??0,1??32?(2)s?x????1.2?x?1??1.35?x?1??1.35?x?1??0.5,x??1,2? ?321.3x?2?2.25x?2?0.45?x?2??2,x??2,3???????
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第三章 函数逼近及最小二乘法
一 本章的学习要求
(1)会用最小二乘法求拟合曲线。 (2)会将非线性函数转化成线性函数。
二 本章应掌握的重点公式
线性曲线拟合公式:
??,???????t???t00i?0i0i0ni?,
??,?????,???????t???t?,
0110i?0i0i1in??,???????t???t?,
11i?0i1i1in??,f??????t?y,??,f??????t?y。
0i?0i0iinn1i?0i1ii三 本章习题解析
1. 设
??x?,??x??????x????是区间[0,1]上带权??x??x的最高项系数为1的正交多
01n?1项式序列,其中
??x?=1,求?x??x?dx及??x?和??x?。
010k12分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣
?1?,k?02的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:?x??x?dx??2;;x?x????k013??0,k?01??x??x2263?x?。 5102. 判断函数??x?=1,??x?=x,,
103??x??x2021?,在??1,1?上带权??x??1正交,并求3??x?使其在[-1,1]上带权??x??1与??x?,?1?x?,?2?x?正交。
3分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:x?
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3x。 5数值计算方法配套答案
3. 证明:若函数组
??x?,??x??????x?是在[a,b]上带权??x?正交的函数组,则
01n?1??x?,??x??????x?必然是线性无关的函数组。
01n?1分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行证明。
4. 已知点列x0??2,x1??1,x2?0,x3?1,x4?2及权函数??x0??0.5,
??x1????x2????x3??1,??x4??1.5,利用公式(4—7)和(4—8)构造对应的正交多
项式p0?x?,p1?x?,p2?x?。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:
2p?x??1,p?x??x?501,
4??2?46?。 p2?x???x?x?????115??5?15?5. 已知数据表 0 i x1 3.85 2 6.50 3 9.35 4 12.05 yi 1.00 求拟合这些数据的直线方程。
解:设所要拟合的直线方程为:y?a0?a1x,这里m?4,n?1,?0?x??1,?1?x??x,
?????????x???x??5,??????????????x???x??10,
?????????x???x??30,??f??????x?y?32.75,
440,0i?04i0i0i0,11,0i?0i0i1i41,1i?0i1i1i0,i?0i0ii???1,f???i?i?04?510??a0??32.75?,所以可得到以下方程组:?93.1??yi?1030?????93.1? 1xi???a1???解得:a0?1.03,a1?2.76,所以所求方程为y?1.03?2.76x。 6. 已知数据表 xy ii1 3 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 6 8 7 求拟合这些数据的直线方程。
解:设所要拟合的直线方程为:y?a0?a1x,这里m?7,n?1,?0?x??1,?1?x??x,
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?????????x???x??8,??????????????x???x??36, ?????????x???x??285,??f??????x?y?41,
770,0i?0i0i0i0,11,0i?0i0i1i771,1i?0i1i1i0,i?0i0ii??f??????x?71,i?0i1i?8,36??a0??41?,所以可得到以下方程组:yi?216?36,285?????216?
???a1???解得:a0?2.22,a1?0.95,所以所求方程为:y?2.22?0.95x。 7. 某发射源的发射强度公式为I?I0e??t,现测得I与t的一组数据如下表
0.4 1.75 0.5 1.34 0.6 1.00 0.7 0.74 0.8 0.56 ti Ii 0.2 3.16 0.3 2.38 试用最小二乘法根据以上数据确定参数I0和?的值。 解:先将I?I0e??t线性化,即两边取以10为底的对数,变为lgI?lgII0?algx,
e设y?lg,A?lgI0,A?alge,所以上式变为y?01A?Ax。这里m?7,n?1,
01?0?x??1,??x??x,代入公式得:
17?????????x???x??8,
70,0i?0i0i0i??????????????x???x??3.5,?????????x???x??2.03,
70,11,0i?0i0i1i1,1i?0i1i1i??f??????x?y70,i?0i0ii?0.8638,
??f??????x?y?0.08062,
71,i?0i1ii?8,3.5??A0??0.8638?所以可得到以下方程组?,解得:A0?0.08777,???????3.5,2.03??A1??0.08062?A1??0.04618,相应的I0?5.64,a?2.89。
8. 试用最小二乘法根据以下数据表 xyi i bx1.00 5.10 1.25 5.79 1.50 6.53 1.75 7.45 2.00 8.46 求y?ae的最小二乘拟合曲线。
bxy解:先将y?ae线性化,即两边取以10为底的对数,变为lg?lg?blgx,设y?lg,
y?ee A0?lg?,A1?blg,所以原式变为:y?A0?A1x。这里m?4,n?1,??x??1,
0第 - 15 - 页
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??x??x,代入公式得???10,0?i???i?i?040?x???x??5,
i0i?????????x???x??11.875,??????????????x???x??f??????x?y?33.33,??f??????x?y?51.2275,
40,11,0i?0i01i??7.5,
7i?041,1i?0i1i1i40,i?0i0ii1,i1ii?5,7.5??A0??33.33?所以可以得到以下方程组:??????51.2275?,解得:A0?3.708,7.5,11.875???A1???A1?1.972,代回求得,a?3.071,b?0.5056,故方程为y?3.071e9. 用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式,使它拟合以下数据。
0.5056x。
xi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 yi 解:先将y?a?bx2线性化,设X?x2,则原式变为y?a?bX,这里m?4,n?1,
??????????x???x??5,
??????????????x???x??5327,?????????x???x??7277699,??f??????x?y?271.4,?????????x???x??369321.5,
0?x??1,??x??x,代入公式得
1411,0i?0i0i1i40,0i?0i0i0i40,1,1i?0i1i1i440,i?0i0ii1,1i?0i1i1i所以可以得到以下方程组:?5327??a??271.4??5,??b???369321.5?,
5327,7277699??????解得:a?0.05004,b?0.97258,所求方程为:y?0.97258?0.05004x2。
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第四章 数值积分和数值微分
一 本章的学习要求
(1)会求各种插值型求积公式。 (2)会应用求积公式分析代数精度。
(3)掌握梯形公式,辛甫生公式及其误差余项。
(4)掌握复化梯形公式,复化辛甫生公式及其误差余项。
二 本章应掌握的重点公式
(1)梯形公式:?f?x?dx?abbb?a?f?a??f?b???。 2?b?a???a?b?。 fa?4f?fb????????6??2??。 ?x??f?b???k(2)辛甫生公式:?f?x?dx?an?1(3)复化梯形公式:T?h?f?a??4?fn2?k?1??n?1h?(4)复化辛甫生公式:S??f?a??2?fn2?k?1?x??4?f??x?kK?0n1k?2??fb?。
??????(5)梯形公式的误差余项:RT?x???fII???12?b?a?3。???a,b?
(6)复化梯形公式的误差余项:RT?x???b?a2IIhf???。???a,b? 12三 本章习题解析
1. 用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。 x(1)
?04?x2dx, 取n?8 ;(2)
1??604?sin2xdx,取n?6
=0.1114024, ?x??f?1???k解:(1)代入复化梯形公式可得
71?f?0???fT8?16?k?1??5?? (2)代入梯复化形公式可得:T6?f?0???f?x6???72?k?1????f???=1.03562, ?6??同理,分别代入复化Simpson公式可得:S8?0.1115724,S6?1.03577。
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2. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出所构造的求积公式所具 有的代数精度。 (1)?f?x?dx??hhAf??h??Af?0??Af?h?
012(2)(3)(4)
?f?x?dx?Af?0??Af?x??Af?1?
001121??2h?2hhf?x?dx?f?x?dx?Af??h??Af?0??Af?h?
012011?hAf??h??Af?x?
??2h?A?A?A0122解:(1)设f?x??1,x,x,求积公式准确成立,代入(1)式可得:?0???h?
?A0A2?h?232?h??A0?A2?h?314h,A1?h, 33h141代入原式整理得:?f?x?dx?h?f??h??h?f?0??h?f?h?,
?h333解得:A0?A2?对于f?x??x3,代入上式验证,左边=右边,继续令f?x??x,代入上式验证,
4左边? 右边,即所构造的求积公式具有3次代数精度。
??1?A0?A1?A2?2(2)设f?x??1,x,x,求积公式准确成立,代入(2)式可得:?1
?A0?x?A2?2?1??A1x2?2A2?3解得:A0?A2?121,A1?,x1?, 632代入原式整理得:
?1012f?x?dx??f?0???63?1?1f????f?1?, ?2?6对于f?x??x3,代入上式验证,左边=右边,继续令f?x??x4,代入上式验证,左边?右边,即所构造的求积公式具有3次代数精度。
??4h?A0?A1?A2?2(3)设f?x??1,x,x,求积公式准确成立,代入(3)式可得:?0??A0?h?A2?h
?163?h??A0?A2?h2?3解得:A0?A2?84h,A1??h, 33第 - 18 - 页
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代入原式整理得:
3?2h?2h848f?x?dx?h?f??h??h?f?x1??h?f?h?,
3334对于f?x??x,代入上式验证,左边=右边,继续令f?x??x,代入上式验证,左边?右边,即所构造的求积公式具有3次代数精度。
?2h?A0?A1(4) 设f?x??1,x,求积公式准确成立,代入(4)式可得?
0??Ah?Ax011?解得:x1?hh2 ,A0?,A1?h,323代入原式整理得:
2?h?hf?x?dx?h3?f??h??h?22?h?f??, ?3?3对于f?x??x,代入上式验证,左边=右边。继续令f?x??x,代入上式验证,左边?右边,即所构造的求积公式具有3次代数精度。
3. 证明:
?10f?x?dx?11II具有3次代数精度。 ?f0?f1?f1?f?????????0??????212证明:当f?x??1时,
左边=1,右边=11?1?1???0?0??1,左边=右边。 212当f?x??x时,
1左边=,右边=1?0?1??1?1?1??1,左边=右边。
22122当f?x??x时,
21111左边=,右边=?0?1???2?0??,左边=右边。
32123当f?x??x时,
311左边=,右边=,左边=右边。
44当f?x??x时,
411左边=,右边=,左边?右边。
56
故所求积公式具有3次代数精度。
?4. 用复化Simpson公式Sn计算积分
?20sinxdx,要使误差不超过1?10?5,问应将区间
2第 - 19 - 页
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??????分为多少等份?若改用复化梯形公式时,要达到同样精度问应将区间0,0,?分????2??2?为多少等份?
解:复化Simpson公式的余项的绝对值为:Rs?f???0?b?a?h??4?????f???由此可将原问题转
180?2?4化为
Rs?f??2180??max?4n??0?x?2??4sinx?1?5??10解得:n?6。
92160n24?5同理若应用复化梯形公式,则有
??0?b?a2II2Rt?f???12hf????12?5. 求积公式?f?x?dx?01sinx??10?max2??2n?o?x?2??21?5解得:n?255。
Af?0??Af?1??Af?0?,已知其余项表达式为
I012R?f??kfIII???。试确定求积公式中的待定参数A0,A1,A2,使其代数精度尽量
高,并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。
??1?A0?A1?A2?2解:设f?x??1,x,x求积公式准确成立,代入原式可得:?1
?0?A1?A2?2?1??3A1?12,A?1,A2?,
16331211所以原式变为:?f?x?dx?f?0??f?1??fI?0?,
0336解得:A0?当f?x??x时,代入原式,左边=
311,右边=,左边?右边, 431由题意知误差为1?1?kf?且fx?3!?6,所以求得k??,
7243即R?f???1fIII???为所求,上式求积公式具有3次代数精度。
72??3III??III6. 若用复化Simpson公式计算
点上的函数值? 解:fI?1exsinxdx,要使误差不超过10?6,问需要计算多少个节
?x???4exsinx,
?b?a?h??4?????f???,
180?2?4在这里取复化Simpson公式余项的绝对值Rs?f第 - 20 - 页
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代入已知条件得:Rs?f??3?1?2?4?sin?,
??e1802n??42?1?进行放缩得:Rs?f??4exsinx?10?6,解得:n?26。 ??max180?n?1?x?37. 推导下列三种矩形求积公式,其中???a,b? (1)?f?x?dx??b?a?f?a??ab4(2)
?ba1I2f????b?a? 212f?x?dx??b?a?f?b??fI????b?a?
23?a?b?1II f?x?dx??b?a?f??f?b?a??????2?24(3)
?ba证明:(1)将f?x?在f?a?处展开成一阶泰勒公式,即:f?x??f?a??f上式两边在?a,b?积分,得:
I????x?a?
?baf?x?dx??f?a?dx??fI????x?a?dx
aabb=f?a??b?a??这里我们应用广义积分中值定理:
b?bafI????x?a?dx,
ba ?f?x?g?x?dx?g????f?x?dx,???a,b?,
a于是上式中第二项就化简为如下形式:
?bafI????x?a?dx?fI?????x?a?dx,
ab???a,b?,
积分整理得到:?f?x?dx??b?a?f?a??ab1I2f????b?a?。 2I(2)将f?x?在f?b?处展开成一阶泰勒公式,即:f?x??f?b??f上式两边在?a,b?积分,得:
????x?b?
?baf?x?dx??f?b?dx??fI????x?b?dx
aabb=f?b??b?a??上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得:
?bafI????x?b?dx,
?baf?x?dx??b?a?f?b??1I2f????b?a?。 2(3)将f?x?在f??a?b??处展开成二阶泰勒公式,即:2??2IIa?b?f????a?b??a?b?I?a?b??f?x??f??fx??x????????, 2?2!?2??2??2??第 - 21 - 页
数值计算方法配套答案
上式两边在?a,b?积分得:
?f?x?dx??abbaIIbbf???!a?b?a?b??a?b??I?a?b??f??dx??af???x??dx??a?x??dx,
22222????????2由广义积分中值定理
?baf?x?g?x?dx?g????f?x?dx,???a,b?,
ab
代入上式第三项化简,然后对上式整体积分即可得:
?8. 对积分
ba3?a?b?1II。 f?x?dx??b?a?f??f?b?a?????224???f?x?dx构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。
023fx,令=1,,,求积公 式xxx??f0?f1?f2?f3????????A0A1A2A33解:将?0,3?三等分,即取节点0,1,2,3.构造求积公式:
?30f?x?dx?3??3?A0?A1?A2?A3??A08?9???0??2A2?3A39A1??2?A准确成立,代入公式得:?解得:?18 ?27?9?3?0?A1?4A2?9A3????A28?81?0???8A2?27A33A1??A3??48?所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度,即:
?30f?x?dx?3993f?0??f?1??f?2??f?3?。 88889. 用高斯-勒让德求积公式,取n=2计算定积分
?10x2exdx。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣
的同学可自行解答,代入高斯勒让德求积公式:Q?x?dx??ba?AQ?x?即可求出:
k?0Kkn?xedx?0.7119418。
012x10. 用龙贝格求积公式计算定积分
?301dx。 x3?14,f1?f3?????????23解:代入复化梯形递推化公式,求得:T1?T?213?1413?1?,?f1.5???f??TTT42123224???3?????4??9??14f????, ?4??9第 - 22 - 页
数值计算方法配套答案
13?1??3??f???T?428??8?4112,
??3T23T19T8?S1?C1??9?f????8??15?f????8??21??597, f?????8??315S?24152411898, ,?????TT343227S43T83T494516128548 , 161796,
?????C215S415S21417515S215S1405R1?11. 若fII6311799212???2.01473867。 CC216464893025?x??0,证明用梯形公式计算积分
?f?x?dx所得的结果比准确值大,并说明其
ab几何意义。
证明:已知梯形公式为I?In?RT?f?,
由已知fII?x??0及余项公式RT?b?a??f???123f????0,也就是I?In?0即
IIIn?I造成结果比准确值大。
几何意义:由fII?x??0可知曲线为向下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。
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第五章 常微分方程的数值解法
一 本章的学习要求
(1)能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。 (2)掌握龙格库塔方法。
二 本章应掌握的重点公式
?x,y?。
(2)后退的欧拉公式:y?y?hf?x,y?。
h(3)梯形公式:y?y??f?x,y??f?x,y??。
?2?(1)欧拉公式:
yn?1?yn?hfnnn?1nn?1n?1n?1nnnn?1n?1三 本章习题解析
I??y?y?01. 对初值问题?,在?0,1?区间内取步长h?0.1,分别用欧拉公式、改进的欧拉
y0?1????公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。 解:(1)由欧拉公式可知:yn?1?yn?hf?x,y??y?0.1???y?=0.9y。
nnnnn??yp?yn?hfxn,yn?(2)由改进的欧拉公式可知:?y?y?hf,y ?cxn?1np?1??yyp?yc?n?1?2??????将已知代入化简可得:
yyp?yn?0.1??y?0.9y,y?nnc??yn?0.1??y???0.91y,
pnn?1?10.9y?0.91y=0.905yn。
nn2??第 - 24 - 页
数值计算方法配套答案
?k1?fxn,yn??hh???k2?f?xn?,y?k1?(3)由经典的四阶Runge-Kutta公式可知: ?2n2? ??h???f??h,?y?xn??k32n2k2????k4?fxn?h,y?hk3n?????公式为:yn?1?yn?h,所以有:k1??yn,?k1?2k2?2k3?k4?记为(1)
6k2??yn?0.05yn,k3??yn?0.05yn?0.0025yn,
k4??yn?0.1??yn?0.05yn?0.0025yn?,
代入到(1)得:yn?1?yn?1??5.70975??0.9048375yn。 60?dy??ax?b12. 用欧拉公式解初值问题?dx,证明其整体截断误差为y?x??y?anh2。
nn2?y?0??0?证明:将已知代入欧拉公式y展开得:yn?1n?1?yn?1fn?x,y?,化简为ynnn?1?yn?h?axn?b?,
?yn?haxn?hb,应用递推关系可得:y?nyn?1?haxn?1?hb,
0以此类推:y?3y2?hax2?hb,
y2?y1?hax1?hb,y?1y?hax0?hb,
然后迭代得:y?n(n?1)ah2?nbh,
n2由题可知,对原定解问题积分得:y?x??所以有y?x??y?1anh2成立。 nn23. 用欧拉公式计算积分?x2121ax?bx,故可得y?xn??axn2?bnh,22x0etdt在x?0.5,1,1.5,2点的近似值。
22?fI?x??ex?t解:设f?x???edt,则f?x??e,且f?0??0,故原问题转化为?的定
0??f?0??0Ix2解条件在x0?0,由欧拉公式yn?1xy1?0.5,x2?1,x3?1.5,x4?2时的定解问题。
?1fn?n?xn,y,可知:
n?y?y120?0.5e?0.5,
40y2?y1?0.5e?0.5?0.5e=1.142,y?13y9?0.5e?0.5?0.5e?0.5e=2.501,
4y4?y3?0.5e?0.5?0.5e?0.5e?0.5e=7.245。
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数值计算方法配套答案
I??y?10y?04. 用欧拉公式计算初值问题?,0?X?2,取步长h?0.3时,计算结果稳
??y?0??1定吗?
解:???10,h?0.3,?h??3不在?2??h?0内,所以计算结果不稳定。
nI?2?h??y?y?0?5. 对初值问题?,证明梯形公式求得的近似解为yn???,并证明当步长
?2?h???y?0??1?xh?0时,yn?en。
证明:由梯形公式:y代入
n?1?h??yn2?fn?1?x,y??f?xnnn?1,yn?1, ???yI??y化简可得:y?yh???y?y?, nnn?1?2?h合并同类项,整理可得:
yn?1?2h1?21?2y,
n?2?h?2?h????????2?h?化简得:
??y?2?hy???y?y2?h2?h????n?1,
0n?1nn?1由已知y?1,于是上式化为
0yn?1???2?h???2?h?n?1,即
?2?h?成立。 y????2?h?nn由极限定义:
nn??2?h??2?h?2h???1??2h?limyn?lim??lim?lim?????h?0h?02?hh?0h?0????2?h??2?h??2?h?2h?????2hn2?h?e?2hnh?02?hlim,
由xn?nh代入,所以原式?eh?0lim?2xn?e?xn。 2?hn1?100??yI?100y6. 对初值问题?,如果取,证明欧拉公式求得的近似解为 h?y?n?1??。?n?n???y?0??1证明:由欧拉公式:yn?1?yn?11f?xn,yn?,将已知代入可得:yn?1?yn?100yn nn2?100?,同理,以此类推得:?100?,迭代可得:
y?y?yn?1?n?1n?1?1???n?n????100?yn?1?y0?1??n??n?1100?,由y?0??1有yn?1???1??n??n?1?100?即yn??1??。
n??n第 - 26 - 页
数值计算方法配套答案
I??y?x?y8. 取步长h?0.2,试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题?的y?0.2?,
??y?0??1y?0.4?的近似值。
解:yn?1?yn?h?2k2?2k3?k4?,其中?k16k1?f?x,y??x?y,
nnnnkkhh???f?,??xn?y?xk2n1?n22??3yyn?0.1?0.1k1,
?0.1?0.1k2
3hh???f?xn?,y?k2??xn?n22??nk4?fyn?1?x?h,y?hk??x?y?0.2?0.2k,将k,k,k,k1?y??6.74?x?y??0.74?0.244?x?y??0.24?,
?30?nn3nn1234,代入原式:
nnnnn取节点:x0?0,
x?1?0.2,x2?0.4,于是有:
yy1?0??6.984306.98430Iy00.764?1.2428, 30y2?y1?x1?y??10.764?1.5836359。 3010. 解初值问题y?10y?x,1?x?2,若用梯形公式求解,要使迭代公式y????(k?1)?y?n?1??y(0)n?1?yn?hf?x,y?nnn(k)????f?xn?1,y?n?1???????h?yn?2?f???x,y?n收敛,求步长h的取值范围。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:h??I?f?x,y?y111. 证明初值问题?的二步法y??n?12y?x0??y?0?1。 6n?1n?1?y?y??h?4f4n?fn?3fn?1?,
?fi?f?x,y??是二阶的,并求其局部截断误差项。
iin?1证明:将y在y处进行三阶泰勒公式展开得:ynn?1?yn?hyIny?II22!hy?III3!h3?o?h?,
4同理将
f,
n?1f,也在yn处进行泰勒公式展开,由于原式第二项前有h,故fn?1,
n?1fn?1只需展开成二阶泰勒公式即可,即:
第 - 27 - 页
数值计算方法配套答案
fn?1?yIIn?1?y?ynIIIh?yII2!h2?o?h?3,
fn?1?yIn?1?y?ynIIIIh?yII2!19242h2?o?h?,
33fn?yn,将以上四式代回原方程得:y在
n?1?yn?hy?nyn2InIIh2?ynhIIIIII?o?h?○
41
现将yn?1yn处进行三阶泰勒公式展开:yn?1?yn?hyy?II2!hy?3!h3?o?h?○
42
1与○2进行比较可知:现将○
191?,故原式是二阶的,局部截断误差为246191?246h3?y?onIII?h?4??153IIIy?o24hn?h?4,局部截断误差的首项为?153IIIhyn。 2412. 证明:线性二步法y1?h?b?3?n?1nn?14?时方法是二阶的,当b??1时方法是三阶的。
??b?1?y?by?n?1fn?1??3b?1?fn?1?,当b??1?证明:原式变形为y将y,
??1?b?y?bynh???b?3?n?14?fn?1??3b?1?fn?1?,记为(1)式,
?n?1f,
n?1f在yn处分别展开成三阶,二阶,二阶泰勒公式,即:
n?1yn?1?yn?hyn?h2!I2y2IIn?h3!IIIn3yIIIn?o?h?4,
fn?1?yn?hyn?h2!III2yIIIn?o?h?,
3fyn?1?y?hy?hy2!IIInn?o?h?,将上面三式代入(1)式化简可得:
33IIInn?1?y?hy?hnn2!I2y??2b?3?hy3!IIn?o?h?,记为(2)式,
4n?1再将
yn?1在
yn处展开成三阶泰勒公式,y?yn?hyn?h2!I2yIIn?h3!3yIIIn?o?h?,
4记为(3)式,将(2)式与(3)式对比,要想具有三阶精度则:当b??1时,
2b?31即b??1,?,
662b?31?,具有二阶精度。 66n?113. 求系数a,b,c,d使公式y解:将yn?1?ayn?h?bfn?1?n?1?cf?dnf?有yn?1??x??yn?1n?1?o?h?。
5,
f,
n?1If2n?1,在y处分别展开成四阶,三阶,三阶泰勒公式,即:
?hy3!3IIIny?y?hy?hy2!n?1nnIIn?hy4!4(4)n?o?h?,
5fn?1??y?hy?hnn2!IIIIII2yIIInIII?h3!3y(4)n(4)?o?h?,
4?hy?ofn?1yn?hyn?hyn2!3!n将以上几式代入原式,整理可得:
23?h?,f4n?yIn,
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a?2yn?1?ayn?h(?a?c?b?d)yn????b?d?hyn?2?III?abd?3III?a?b?d??????hy???n?2446??622?hy4(4)n,
对照y在
n?1yn处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数,即可求出相应的未知数,
解得a?1,b?d?14,c?。 33I14. 对于初值问题的模型方程y??y???0?,求二阶Runge-Kutta方法
h?y?y??k1?k2?n?n?12?k1?f?xn,yn?的稳定区间。 ??k?f?x?h,y?hk?nn1?2?分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:1??h?122?h?1。 2?I?f?x,y?y15. 求系数a,b,c使求初值问题?的公式y?ay?by?hc?n?1nn?1y?x0??y?0?fn?1有尽可
能高的精度,并求其局部截断误差首项。
解:按照上面几个题的做法可知:
y?y?hy?hy2!In?1nn2IIn?hy3!3IIIn??o?h?,f4n?1?y?hy?hy2!IIInn2IIIn?o?h?,将以上两式
3代入原式化简可得:
yn?1??a?b?I?b?2II?bc?3III?c?bh??cyn??yn?2?hyn??6?2?hyn?o?????h?,
4?a?b?1?c?b?1?对照yn?1在yn处展开的三阶泰勒公式的系数即可得到方程组?
b?2c?1???b?3c?1由于四个方程三个未知数,故解前三个方程即可,解得a?4,b??3,c??2,代入b?3c?1说明具有二阶精度,局部截断误差首项为:
23IIIhyn。 3
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第六章 方程求根
一 本章的学习要求
(1)能够熟练的应用牛顿迭代公式。
(2)能够根据要求推导出牛顿迭代公式并求其局部截断误差。
二 本章应掌握的重点公式
(1)牛顿迭代公式:xk?1?xk?f?xk?fI?xk?。
(2)迭代收敛定理:设迭代过程xk?1???xk?收敛于方程x???x?的根为x,若迭代误差ek?xk?x,当k??时,limk????xk?1?x??xk?x??p?limek?1?c?0,则称该迭代过
k??ek程具有p阶收敛。
三 本章习题解析
1. 用二分法求方程x3?x?1?0在?1,2?内的近似根,准确到10。
?3分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:x92. 证明用二分法得到的序列?xk?为线性收敛。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣
?的同学可自行证明。提示:xn?x??1.325。
b?ab?a,x?x?。 n?1n2n?12n?23. 设有方程f?x??x3?x2?1?0,
(1)证明该方程在区间?1,2?上有唯一根x?。 (2)证明迭代公式xk?1?3xk2?1?k?0,1,2,????对于任意初值x0??1,2?都是收敛的,并
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用此迭代公式求其近似根直到有8位有效数字。
证明:(1)由题可知:f?1???1?0,f?2??3?0,且f?2?f?1??0,由零点定理可
知:f?x?在?1,2?内有根。
下面证唯一性,由高等数学的知识fI?x??3x2?2x?x?3x?2?在?1,2?有
fI?x??0,即f?x?单调递增,原命题成立。
(2)证明:已知xI?3k?1xk?1,即??x??23x2?1,
2?122x4由??x???x?1?3?2x? ?3?1,所以对任意初值x0??1,2?都收敛。
3233x?135同学们可以任选初值进行8次迭代,或上机操作完成。
4. 对于??x??x??x?5,要使迭代公式xk?1???xk?局部收敛到x??5,求?的
2??取值范围。
解:由??x??x??x?5,可知?I?x??1?2?x,由收敛定理:?I2???5??1,
即1?2?5?1,解得:?5???0。 55. 用迭代法xk?1?xk???xk?f?x?求方程f?x??x3?x2?x?1?0的根,求??x?使
kk迭代序列?xk?具有局部平方收敛。 证明:已知xk?1?xk???xk?f?x?,故可得:??x??x???x?f?x?,
kII对??x?求导得:?I?x??1?????x?f?x????x?f?x???,设x是f?x??0的根,
?即:fx???0,所以上式化简为:??x??1???x?f?x?,由题可知原式具有平
?I??I?方收敛,故由?Ix??0,可求得:??x?????11, ?2I???f?x?3?x??2x?1一般化为:??x??1fI?x??13?x??2x?12,记为(1)式,
现将(1)式代入??x??x???x?f?x?可得:??x??x?x?x?x?1,
3x?2x?1232对??x?求二阶导,将f?x?的根x代入得:??II?x???6x??23?x???2x??12,由于x??1,3第 - 31 - 页
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所以?IIx??0,由收敛定理知,原命题成立。
6. 给定函数f?x?设对一切x,fI?x?都存在,且0?m?fI?x??M。证明对0???任意常数?,迭代法xk?1?证明:由xk?1???2的Mxk??f?x?均收敛于方程f?x??0的根。
kIIxk??f?x?,即:??x??x??f?x?,所以:??x??1??f?x?,
k又因为:0?m?fI?x??M,所以可放缩为:0??m??fI?x???M。 又因为:0???22,代入上式,继续放缩:0??m??fI?x???M?M?2,MM两边取负号:?2???M???fI?x????m?0,且?1?1??M?1??fI?x??1??m?0, 即:1??fI?x??1,等价于?I?x??1,由收敛定理知方程收敛。
7. 用Newton法求下列方程的根,准确到四位有效数字。 (1)f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根; (2)f?x??x2?3x?ex?2?0在x0?1附近的根。 解:本题为上机题。提示:(1)由牛顿迭代公式:??xk??xk?f?xk?fI?xk?,代入化简可得:
??xk??xkx?k3?3xk?123xk?3,在此任取x0?1附的值进行迭代即可。(2)同理。
8. 求方程x3?2x?5?0在x0?2附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式: (1)x?(2)x?32x?5,迭代公式xk?1?32xk?5 2?355,迭代公式x?2? k?1xxk(3)x?x?x?5,迭代公式
xk?1?xk?xk?5
3 试分析每种迭代公式的收敛性;并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字
的近似根。
2解:(1)经验证取有根区间为?2,3?,由已知可得??x??32x?5,从而:,?I?x??332x?5在有根区间?2,3?内?I?x??1,即迭代公式收敛。(2)(3)同理。
9. 用弦截法求下列方程的根,准确到四位有效数字。
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(1)f?x??x3?10x?20?0在区间?1.5,2?内的根; (2)f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在此只给出结果:(1)x??1.5945621。(2)x??1.879。 10. 方程x4?4x2?4?0有二重根x??2,用Newton法和xk?1?xk?m次,比较其结果。
1应用Newton法,设f?x??x4?4x2?4?0,可得:f解:○
If?xk?fI?xk?分别迭代三
?x??4x3?8x。
x4?4x2?4代入牛顿迭代公式:xk?1?xk?I,即得:??x??x?,现取初值34x?8xf?xk?f?xk?x0?1,进行迭代:??x0??1.25,??x1??1.31464,??x2??1.42547619。
2应用迭代公式x○k?142x?4x?44,同样,则m?2,即??x??x?2?xk?mIxf?xk?4x3?8xf?xk?取初值x0?1进行迭代:??x0??1.5,??x1??1.421254,??x2??1.4142135。
311. 应用Newton法于方程x?a?0,导出求3a的迭代公式,并由此计算3120的具有四位有效数字的近似值。
解:设f?x??x3?a?0,所以:fI?x??3x2,由Newton迭代公式xk?1?xk?f?x?3f?xk?fI?xk?,即:
,整理得:??x??x?x?2a,此即为所求的迭代公式。 ??x??x?I3xf?x?x3?a下面求120,由已知可知,此时a?120,代入迭代公式??x??x?, 23x3取初值x0?4进行迭代:??x0??5.1666,??x1??4.94423,??x2??4.9324415。
nnn13. 应用Newton法于方程x?a?0,导出求a的迭代公式,并求lima?xk?1a?xkk???n?2。
解:(1)由xn?a?0,设f?x??x?a?0,fI?x??nxn?1。建立牛顿迭代公式:
nxk?1?xk?n1?a,代入整理:??x???1??x?xn?1,记为a的迭代公式。 ?f?xk?n?n?If?xk?第 - 33 - 页
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?????x??ex?x由定理2.定理3.可知:limk?1?limk?1,将??x??x?f?x?代入上式?Ik??ek???2f2!?x?kx?x??2k最终化简为:
fII?x??2fI?x??nk??n。
(2)所以原证明:lima?xk?1a?xkn??limk??n?1xk?1?na?na?xk??2II?ek?1f?x?,这里:?lim??k??e2f?x?kf?x??x?a,fnI?x??n?a??。fII?x??n?n?1??a?nn?2,代入上式即可求得
原式=
??n?1?2an。
14. 设f?x?具有二阶连续导数,fxxk?1?xk?fI?xk????0,f?x??0,证明迭代公式
?I?f?xk?f?xk???f?xk?是二阶收敛的。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行证明,提示:将边同时减去xk,求极限limf?xk?f?xk??在xk点做Tarlor展开到二阶,再将公式两
?x?2xk?1?x?k???xk?。
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第七章 解线性方程组的直接解法
一 本章的学习要求
(1)会求各种向量范数和矩阵范数。 (2)会求普半径和条将数。
(3)能够将不同类型的矩阵分解成LU形式并能解该方程组。
二 本章应掌握的重点公式
(1)矩阵的各种范数:A?
max?aij,A1?max?aij,
n?1?i?nj?1n1?j?ni?1An2??max2 ?AA?。T(2)向量的各种范数:
x??max1?i?nx,
ix1??i?1nx,
ix2???xi?。
i?1(3)当系数矩阵为对称矩阵时,普半径等于二范数。
三 本章习题解析
?7x1?x2?x3?31. 用高斯消去法解线性方程组??2x1?4x2?2x3?1
??x?x?3x?23?12解:将其写成矩阵形式为:?2??71?1??x1??3??????42??x2???1?,现对其增广矩阵进行初等变换化为如下??113??x??2????3??????1?1?3?2??71?13??1?11?2??,将其还原,此时求解形式:?2421???2421???0685????????1132??71?13????????002831?33????x1?x2?3x3?2原方程组的问题就变为解:?,解得:x??0.6787,?0.64291,1.1071?T。
?6x2?8x3?5?2831?x3?3?322??x1??0.4???0.002??????,已知精确解:2. 给定线性方程组:10.781250x?1.38162???????3.9965056254??x??7.4178????3???x???1.92730,?0.698496,0.900432?。
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T
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(1)用高斯消去法解此线性方程组; (2)用列主元素消去法解线性方程组。
分析:本题被列入上机演算题目,将在最后的程序设计中给出解答。 3. 设A?aij??n?n?Rn?n,a11?0,经过一步高斯消去法得到
a2n??,证明: ?????(2)ann??(2)A(2)???a11?0?,其中a??A??12T(2)?????a22(2)??????A???(2)?????an2(1)若A为对称矩阵,则A?2?也为对称矩阵; (2)若A为对角占优矩阵,则A??也为对角占优矩阵。
2证明:(1)只要证出a(2)ij?aji(2)即可,因为:a(2)ij?aij?mi1?a1j(1)(1)?aij?(1)ai1?a1ja11(1)(1)(1)由
A为对称矩阵则上式化为
aji(1)?a1i?aj1?ajia11(1)(1)(1)(1)aj1??a1i?ajia11(1)(1)(1)(1)?mj1?a1i(1)?aji(2)
证毕。同理可证(2)。
?211??x1??4?4. 设有方程组?132??x???6?,试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三
???2????122??x??5????3???角矩阵之积;即A?LU,然后用你的分解解此方程组。 ?211??1解:将A写成LU的形式即:?132??????l21?122?????l31??u11??????1???1luu122232uuu13??,利用矩阵的乘法23??33?得:l?l?1,
213125333,??1?2,,??u12u13u11u22,u23?,u33?, l325225??211??1所以A可写成:???1132????2?122?????1?2??21?????512??3???1?5??1??。 3?2?3??5??1?下面解此方程组,先解LY?b即:?1?2??1?2??y?T??1??4?3???????6?,解得:Y??4,4,?,再15????y2?????3??5???y?1??5??3?解UX?Y,即:
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?21??52??????1???x1??4?,解得X??1,1,1?T。 3?????4?2??x2???????3???x3??3?5??5?5. 试推到矩阵A的Crout分解A?LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三
角矩阵。
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行证明,提示:设: l1j?a1j,i?1,2?n;u1j?k?1a1jl1j,j?2?n,,所以:
k?11????,??,j?k?1???n。 i?k,k?1?n,u???akjlikaikr?1lirurklkrurj?kjr?1?lkk?6. 设L为非奇异下三角矩阵,(1)列出逐次代入求解LX?f的公式;(2)上述求解过程需要多少次乘除法?
?l11证明:(1)设??l21L??l31???????ln1???x1????????x2????x?????3???????x4???????lnn??x??5????lll2232ll33???n2???n3fffff1???2?,其中:?3??4???5?lii?0,(i?1,2??????n)。
解上述方程组可以得到:?f,?xkxl1111fk??lkj?xjj?1k?1l2,k??2,3??????n?。
kk(2)计算次数为:????k?1??1???1?k?2n??n?n?1?次乘除法。
?41?1?7. 用平方根法解方程组?13?1??1?15??0020??x1??7??????0??x2??8?。
?2??x3???4??????6?4??x?4???解:因为系数矩阵A为对称正定矩阵,应用平方根法,A可分解为A?LLT即如下形式:
?41?1??13?1??1?15??0020??l11??0??l21?2??l31??4???l41lll223242ll3343??l11?????????l44???ll2122lll313233llll??42?,按照矩阵乘法展开与原矩?34??44?41阵对比整理得:l11?2,l21?12,l31??12,
311,11,?0,???l41l42?0。l32l22222第 - 37 - 页
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l33?50,22,156。
??ll434451150?2?11?122?b,即:????12?31122??0?0?T先解方程组LY5011225???y???1??7???y??8?, ??2??????y???4???3???6156???y??????4?50?解得:
Y???7256312?, ,,?,?25211550??121122311?225011?1?7???2???????25?0??x1?????x2?211?,
????6?22??x3???5??????550?x?4???156?312??????50??5?0?2???再解LTX?Y,即:????????解得:X??1,2,?1,2?T即为方程的解。
?2?1??x1??6???????8. 用追赶法解方程组??13?2??x2???1?。
??24?2??x3??0???????1??35???x?4???解:由题可知:矩阵为三对角占优矩阵,由追赶法知:设A的LU分解为:
?2?1??a1????13?2????r2??24?2??????35?????1???????????a4?????11arar23?1234???,按照矩阵乘法展开与原矩阵对??3??1??比可得:a1?2,???1,a?5,???4,?12,???5,a4?5,
23122625a35r4?40,6r3??2,r2??1。
?2??y1?T?????6?5???1??8471,即:,解得: ?b??,??y21Y?2?3,,,???????????0?5345?212????y53???????1??40?5????y6???4?下面解此方程组,先解LY再解,UX?Y。即:
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1??1?2??1???????3????????x1?8?????5?,解得:??x2???4??????6??x3??3????5??x4??71???1???45?4?51X??5,4,?3,2?即为方程的解。
T9. 设向量x?解:
?4,2,?1,10?1?i?4T,求
x,
?xi,
1xx。
2x??maxxi?10,
x1??i?14x?17,
2???xi?i?142?11。
10. 设A?Rn?n为非奇异矩阵,x为Rn的一种向量范数,定义
xA?Ax,证明
x也是
ARn的一种向量范数。
1非负性证明: ○
xA?Ax?0,
?A为非奇异矩阵
?对x?0,Ax?0。当且仅当:
2齐次性○
xAA?Ax?0?Ax?0?x?0。
?xA1p??Ax??Ax??x。
A3○
x?yn?A?x?y??Ax?Ay?Ax?Ay?TxpA?yx?.。
A11. 记
p??xx???xi?其中x??x1,x2,??????xn?,证明:limp???i?1?p?p。
证明:
xp??max1?i?nxi??i?1pnxi??max1?i?ni?1pnxi?n?max1?i?n1p1?i?nipxi1p,
1两边同时开次方得:
p两边同时取极限得:由两边夹得:
x???xp?n?max?limp??x?nxp,
?xp?limp??x。
?x?limnp??1px??x。
?limxp???x1?1?2?12. 设A????,求
??21?A,
?A1,
Ani?1,??A?。
2解:
A??max?aij1?i?nj?1n?3,
A?max?aij?3,
1?j?nA2??max?ATA?,
先解:ATA???1?2??1?2??5?4???????,由线性代数特征向量的知识可知:
?21?21?45??????第 - 39 - 页
数值计算方法配套答案
??544?E?A???5,并令上式等于0,解得:?1?1,?2?9,所以:
A2 ?9?3,
又因为A为对称矩阵,所以:??x??A2?3。
13. 设A,B?Rn?n均为非奇异矩阵,?表示矩阵的某一种算子范数,证明 (1)
A?1?A?1;(2)
A?1?B?1?1?A?1?B?1?A?B。
证明:(1) 1?E?(2)
A?1A?A?1?A,变形即:
A??1??11?AA?1。
A?1?B?1?B?1?A?A?A?B?B?1?1A??A?B??BF?1。
?。
1214. 设A?Rn?n为对称矩阵,?2,?1,证明:
????为A的特征值,证明nA22??1??22??????n?A2FT22T???aij,又因为A为对称矩阵,故有A?A,所以有:AA?A,
i?1j?1nn2由?1,?2,…?n为A的特征值,由线性代数的知识可知:?12,?2,…?2是的An222特征值,且(?1。 ??2??????n?th迹)
2?a11?Ta12AA?????????a1naaa2122???2n??a11?????n2??a21????????????????ann????an1???n1aaaaa1222???n2?????n2? ???????????ann??1n???aa
?n2??aj1?i?1?????????????所以:???????n2??ajn?i?1?12?ai?1n2j2?1??2??????n???aij?j?1i?1222nn2A2F。
即:15. 设A?R证明:
An?nF?2。
??12??22??????n?,试证明1nAni?1F?AT2?A。
FA22??max?A?TA???i?A?AA?22F???maxi?1n?A?TA?nA22,两边开平方,
即:
A2?AF?nA,两边同除以n,得:
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数值计算方法配套答案
?1?10. 设A??21?16????10?A1K?0,但对于A2??1?,证明limk???1??4?2?120??A2K不存在。 1?时,limk??2?解:根据上述极限存在的充要条件可知,这里通过普半径来验证其存在性。 (1)令行列式?E?A?1???16211????????0,得:??A1???1,收敛,极限存
21?2???20在。
(2)令行列式?E?A?2原极限不存在。
11. 设方程组???11?41??1????1??????0,得:??A2??1,发散,故
2????20?a11x1?a12x2?b1,a11?a22?0,证明解此方程组的Jacobi迭代法与
?a21x1?a22x2?b2Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散;并给出两种迭代法收敛的充要条件。
?a11证明:将方程组表示成矩阵形式,即:??a21a12??x1??b1???????, a22??x2??b2???a12??0???0a12?????0??a211???a21?????a22??a22??a12?a11?, ?0????1?首先应用Jacobi迭代法a11?1B0?D?L?U??????a21??令行列式:?E?B0?a12a11a21a22??2??a12a21?0,解得:??B0??a11a22a12a21。 a11a22再应用Gauss-Seidel迭代法:G??D?L??1?aU??11?a210??0?a12??? a22??00???1?1?a22?a11a12??a21a12a21??0?a11a22?0??0?a21???, ?????a11??00??a12a21?0?a11a22????令行列式:?E?G?a12a21a11a22a12a21a11a22?0,解得:?1?0,?2?0??a12a21,所以普半a11a22第 - 46 - 页
数值计算方法配套答案
a12a21。当a11a22径:??G??a12a21a11a22?1时,同时收敛,当a12a21 ?1同时发散。
a11a22?10??x1??1??1?????,12. 给定方程组??0.251不进行计算,试判别用Jacobi和Gauss-Seidel?0.5?0x??2?????0?????0.51??x3????0?迭代解此方程组的收敛性,若收敛,哪种迭代收敛快?
分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行证明,提示:通过观察此方程为对角占优矩阵,由定理可知:当0???1时,方程SOR迭代收敛,且?越小收敛又快。
13. 试说明Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵G??D?L?U中至少有一个特征值等于零。
?1证明:由线性代数的知识可知:G??1??2??n,又因为:G??D?L??U?0,
?1而:?D?L??1所以:U?0,又因为U为上三角矩阵,所以:G??1??2??n ?0,
中至少有一个为零。
kk?0?2?1??x1??1??k?1??x????Ax???bx14. 已知方程组?,对任意,若用迭代公式x????x?????12??2??2???求解此方程组时,
(1)?的取值范围,使迭代公式收敛; (2)?取何值时,收敛速度最快? 解:由?2?2?1?,根据x?k?1??1??x1??1?,可知A????????????12???12??x2??2??k?1?k?x????Ax???b
kk??x可得:
k?k?1???1???x????b,?Bx???f,对照公式x可知此时:B?1??A
设?为A的特征根,则B的特征根为:1???, 令行列式:?E?A??1????22???2?1?0,解得:?1?1,?2?3, ???1??2??所以B的特征值为:1??,和1?3?,要想收敛则B普半径为:
2?1???1??B??max?1??,1?3???1,解不等式组:?,解得:。 0????31?3??1??(2)由定理可知?越小收敛速度越快。
?1???1由解析几何的思想:?,且:??B??max1??,1?3?。 ?1?3??1????
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数值计算方法配套答案
???1???的函数,化简不等式组可得:?????1,图像如下:
????1?3?????3??1我们把?看成是?
解最小交点坐标:即:3??1?1??,解得??
1,此时收敛最快。 2
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数值计算方法配套答案
模拟试题
一 填空:(每空3分,共30分)
1. 用迭代法xk?1?xk???xk?f?xk?,求方程f?x??x?x?x?1?0的根,要使迭代
32序列?xk?具有平方收敛,则??xk?= 即可。
2. 使用松弛法(SOR)解线性方程组Ax?b时,松弛因子?满足 条件时一定发散。
?210?3. 设A2??a,2?要使limAk?0,则a应满足 k???0,0.5?4. 区间?a,b?上的三次样条插值函数s?x?在?a,b?上具有直到 阶的连续导数。 5. 设A???1,a?T当满足条件可以分解?其中L为具有正对角元的下三角矩阵,此LLaA???1,2?时L=
6. 测得某圆锥的底圆半径r??3.150,高为h?7.84,单位(cm)今取???3.14。若用此三个值计算圆锥体积V?1?12?rh时,则V的误差限为 3nn7. 已知求积公式?f?x?dx??Akf?xk?满足:?Ak?2,?Akxk?0,?Akxk2?2,则
?13k?0k?0k?0k?0此公式至少具有 次代数精度。
8. 向量X??x1,x2,x3?,则x1?x2?2x3 是一种向量范数(一定,不一定,一定不),而x1?3x2?x3 是一种向量范数(一定,不一定,一定不) 二 计算题:
1. 下面的数据取自一个多项式,试用Newton插值公式确定这个多项式的次数,并求出这个多项式。 Tnnx i-2 -5 -1 1 20 1 1 1 2 7 3 25 p?xi? 2. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式,使它与下列数据拟合
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数值计算方法配套答案
xy ii19 19 1 25 32.3 1 31 49 1 38 73.3 1 44 97.8 1 ? i3. 试确定函数p?x?,q?x?,使迭代公式xk?1?xk?p?xk?q?xk??q?xk?f2?xk?产生的序列
?xk?至少三阶局部收敛到f?x??0的根x?。
1?h?b?3?n?1nn?14?时,方法是二阶的,当b??1时方法是三阶的。
4. 证明:线性二步法,y??b?1?y?by?fn?3??3b?1?fn?1?,当b??1??21??x1??1????=?2?试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上 三角1315. 设方程组????x2????111??x??2????3???21?????0??x4?矩阵之积,即A?LU,然后用你的分解解此方程组。
?1aa??x??0?16. 已知方程组?4a10?????1?试给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-seidel迭
???x2????????a01????x3??0?代法的收敛的充要条件。
7. 设x方程fI?X??0的m重根m?2,证明Newton迭代法仅为线性收敛,若用迭代公式
?xk?1??m
f?xk?fI?xk?,fI?xk??0则可至少达到二阶受敛,给出证明。
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