数值计算方法（宋岱才版）课后答案

数值计算方法配套答案

第一章 绪论

一 本章的学习要求

（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。

二 本章应掌握的重点公式

（1）绝对误差：设x为精确值，x为x的一个近似值，称e??x??x为x的绝对误

差。

??e?（2）相对误差：er??。

x?（3）绝对误差限：??e?x?x。 （4）相对误差限：?r???????x??x??xx?。

??df??（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数f?x??0,则??f??? ????x?。?dx??df??（6）一元函数的相对误差限：?r?f???1?????x?。 ??f?dx????f???（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数f?x,y??0,则??f??? ??y。?????y????f??1?（8）二元函数的相对误差限：?r?f????????x????f???x??????f???????y??。

???y???

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三 本章习题解析

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别

X2?估计A1?XX2X及A2?的相对误差限。

X4??1??3x1??1.1021,x2??0.031,x3??385.6,x4??56.430

解：（1）x1有5位有效数字，x2有2位有效数字，x3有4位有效数字，x4有5位有效

????数字。 （2）A1?x1x2x3,?A1?A?A?x2x3,1?x1x3,1?x1x2,由题可知：A1?为A1的近似值，?x1?x2?x3x1?,x2?,x3?分别为x1,x2,x3近似值。

所以

??A???r1??A?

?1A?1??1???A1????????X1?A1???????x???A1???X2??1???A1???x??????X3??2???x??3?? ????111???1?4???3???1?xx??10?xx??10?xx??10?0.215 231312??xxx?222????123A2????X2?Ax1?A,则有2?,2??22,同理有A2为A2的近似值，x2，x4为x2，X4?x2x4?x4?x4?x4的近似值，代入相对误差限公式：

??A???r2??A?

?2A?2??1???A2????????A2???X2?????X???A2???X4??2???X??4?? ??????111?3?3?XX4?2???10???10?105 ??2??2X??2X2?X44???

2. 正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1cm? 解：设正方形的边长为x，则面积为S?x2，

2ds?2x，在这里设x?为边长的近似值，S?为dx第 - 2 - 页

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?ds?面积的近似值：由题可知：???s????dx?????x??1

?即：2x??x?????1 推出：?x?????1?0.005cm。 200?3. 测得某房间长约L=4.32m，宽约为d=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房

间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？ 解：设s?ld 则有：

??s?s?d，?l。在这里l?，d?，S?分别为l，d，s的近似值： ?l?d????s???s???s???????l???????d???d??l???d?相对误差限为：?rS???l??l???d??3.12?0.01?4.32?0.01?0.0744cm???2??????S??S??0.0744?0.0055。

4.32?3.124. 下列公式如何计算才比较准确：

(1)当x的绝对值充分小时，计算e2x?12；

11?x2dx1x（2）当N的绝对值充分大时，计算?N（3）当x的绝对值充分大时，计算2x2xN?1； 。

4xx?1?x2xx??e?????ee?1?eeee解：（1）当x?0时，== ?22e?e?e?2e?e?e?2?e?1??1?1?1x3x?x2xxx?xxx?x=

?e??e?e?

2?e?e?2?e?e?3x?e?xx2xx?e?2xx?x?x（2）当N??时，

?N?1NN?11=argtg?N?1??argtgN dx=argtgxN1?X2=argtg1

1?N?N?1??11??11??x??x???x??x??xx??xx?11?x???x??x?(3)当时，= xx??11?x??x??xx??第 - 3 - 页

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=x?2x2?1?x2?1?。

5. 列?yn?满足递推关系yn=10yn?1-1，n=1,2,…，若y0=2?1.41，计算到y10时误差有多

大？这个计算数值稳定吗？ 解：已知准确值y0?2，近似值y0?1.41，设他们的误差为?0?y0?y0，则有：

00000????y?y?10?

??y?y??10y?1???10y?1?=100y?y?100? 以此类推所以??y?y??10y?1???10y?1?=10y?y?1?y?y121?10y?1?10y?1=101122000101010109900?1010?0

=10102?1.41?1010?1?10?2?1?108

226. 计算f??62-1，取2?1.4，直接计算和用

?1?3?22?53来计算，哪一个最好？

解：依题意构造函数f?x???x?1?，则fI?x??6?x?1?，由绝对误差公式

???f???f?x????x??=6??1.4?1?52?1.4?6?0.0124?1?10?1=0.003072

27. 求二次方程x-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。

216?162?4解：由求根公式：x?。所以。x1?8?63，x2?8?63对比可知：

2较小的根为x2?8?63，由相近数相减原理则有：

x2?8?8??63?638?63?8???63?0??18?63?0.0627

8. 如果利用四位函数表计算1?cos2，试用不同方法计算并比较结果的误差。 解：1?cos2?1?0.994?0.006

0sin2200.03492?41?cos2???6.092?10 01?cos21.99409. 设x的相对误差限为δ，求x的相对误差限。

解：由题意可知：设f?x??x100，则有fI?x??100X99在这里设x为X的近似值，f 为f?100?第 - 4 - 页

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的近似值，由已知x的相对误差限为?。 所以： ?f??????ff1????fI?x???x??f?x????100?x????x??99?x??100?100??x??x??100?

10. 已知三角形面积S=2absinc,其中c为弧度，满足0

?，且a,b,c,的误差分别为 ?a,?b，2?c。证明面积误差?s满足

?s?a?b?c++。 ?sabc解：由误差定义：?s??s?s?s?s1?s1又因为：?bsinc，?asinc ?a??b??c，

?a?b?c?a2?b2111?s1?abcosc，代入上式可得：?s?bsinc?a?asinc?b?abcosc?c

222?c2111bsincasincabcosc?s222??a??b??c两边同除以s可得：s， 111absincabsincabsinc222约分可得：

?s?a?b?c????， 因为：0c>0.， sabtgc2所以命题

?s?a?b?c???成立。 sabc

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第二章 插值法

一 本章的学习要求

（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 （2）会应用插值余项求节点数。 （3）会应用均差的性质。

二 本章应掌握的重点公式

（1）线性插值：L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1。

（2）抛物插值：L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1?l2?x?y2。 （3）n次插值：Ln?x???lk?x?yk。

k?0n（4）拉格朗日插值余项：Rn?x??f?x??Ln?x??（5）牛顿插值公式：

fn?1???n?1!?n?1?x?。

N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0?????f?x0,x1???xn??x?x0??x?x1?????x?xn?1?。

（6）f?x0,x1,???xn????x?x??x?x?????x?x??x?x?????x?x?。

j?101j?1j?1nnf?xj?（7）f?x0,x1,???xn??f?n????n!。

（8）牛顿插值余项：Rn?x??f?x??Nn?x??f?x0,x1???xn??n?1?x?。

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三 本章习题解析

1. 给定x,f?x?的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange

插值多项试。

解：设所求插值多项式为p?x??L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y，且已知：

012??x0?1，y0?0，x1?2，y1??5，x2?3，y2??6，x3?4，y3?3，代入插值基函数公

x?x??x?x??x?x???x?2??x?3??x?4?式：可得：l?x??=

?1??2??3??x?x??x?x??x?x???x?x??x?x??x?x?=?x?1??x?3??x?4?

x?l????????????1??1??2?xxxxxxx?x??x?x??x?x???x?1??x?2??x?4?= x???l2?1??1???x?x??x?x??x?x?123001020302311012130132202123化简代入p?x?得: p?x??x?4x?3

322. 若

017016f?x??2x6?3x5?x3?1，求f??3,3?3??。 ?3,3?3??，f?解: 由f?6??x??2?6! ，所以:

f?6?f?6?????2?6! ，f?7??x??f?7?????0.由均差的性质(三)

7!7!可知: f?30,31?36????3. 给定函数表 6!?7?????2?6!?2 ，f?30,31?37??f????0?0

??6!xi 0 -7 1 -4 2 5 3 26 4 65 5 128 f?x? i（1） 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式L3?X?，并由此求f?0.5?的近似值。 （2） 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式N3?X?，并由此求f?0.5?的近似值。 解：(1) n?3，取0.5附近的4个点为宜。故取，x0?0，y0??7，x1?1，y1??4，x2?2,y2?5，

x3?3，y3?26。则L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y，按照习题1求出插值基012函数。代入L3?X?。可得：L3?X??x331?1所以：f?0.5????2x?7，???2??7??5.875 2?2?第 - 7 - 页

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（2）设牛顿插值多项式为

N?x??f?x??30f??x,x???01x??x0?f?,0x,1x???x?2x???x0 1 x?? x?f??x0,x1,x2,x3???x?x0??x?x1??x?x2?，

列差商表：

xi 0 1 2 3 yi -7 -4 5 26 一阶插商 3 9 21 二阶插商 3 6 三阶插商 1 所以：N3?X???7?3?x?0??3?x?0??x?1???x?0??x?1??x?2??x3?2x?7=-5.875 4. 设xj为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：

?xl?x??xj?0jjnkk，k=0,1,2,…,n其中

l?x?为

jn次插值基函数。

证明：根据题意：设f?x??x，所以有

knknyj?f?x?jj?xj，

nk结合上式所以有：?xjlj?x???fj?0j?0?x?ljn?x???lj?x?yj=Ln?xj?，

j?0由余项定理可知：

f?xj??L?x??R?x?，

njj且由定理二可知，当0?j?n时，Rn?xj??0所以就有fxj?Lnxj?xjk。 在这里令变量xj?x，所以命题：

?????xl?x??xj?0jjnkk，成立。

5. 设f?x??c2?a,b?且f?a??f?b??0，求证：maxf?x??a?x?b12fII?x?。 ?b?a?maxa?x?b8证明：由题可知：x0?a,y0?0，x1?b,y1?0，故可构造线性插值多项式即为下式：

L?X??l?x?f?x??l?x?f?x?，记为（1）式，

10011因为f?x??L1?X??R1?x?，记为（2）式，其中R1?x??式，

将（1）（3）代入（2）整理：

f?x??L1?X??R1?x??x?bx?af?a??f?b??R1?a?bb?afII???2!?x?a??x?b?，记为（3）

f???2!II?x?a??x?b?

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f???2!II所以：f?x???x?a??x?b?II2f????2!IImaxa?x?b?x?a??x?b?这里取x?f?x??a?b代2入，可推出：f?x??6. 若f?x??anxn?an?1xnkjf???2!n?1?b?a?再放缩得max4a?x?b12fII?x? ?b?a?maxa?x?b8???????a1x?a0有n个不同实零点x1,x2,?xn,证明：

?0,0?k?n?2x???f?x??,k?n?1

??aj?1I?1nj证明：由题可知：f?x?有n个不同实零点，故f?x?还可以表示成根形式的多项式，即：

f?x??an?x?x1??x?x2???x?xn?；

由导数的定义可知：f??Ixj?limx?xjf?x??fx?xj?x?

jf?x??lim?liman?x?x1??x?x2??????x?xj?1x?xj?1?????x?xn?x?xx?xjx?xjj????j=an?x?x??x?x???????x?x??x?x??????x?x?j1j2jj?1jj?1n在此设：?n?x??xk；

??j?1xIkjf?xj??x??a?x?x???????x?x??x?x??????x?x?1n?jnj?1j1jj?1jj?1jn ?1??,,??????1??，记为（1）式

xxxn?an?12an?n?1?!当k?n?1时，?n?1??n?1?x???n?1?!，则（1）变为

1； ax当0?k?n?2，则（1）式变为0，

kn??0,0?k?n?2 xj综上所述：???1?Ij?1??an,k?n?1fx??-2 -5 7. 给定函数表 xi f?xj? -1 1 0 1 1 1 2 7 3 25 第 - 9 - 页

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已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。 解：用牛顿法：N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0??f?x0,x1,x2,??x?x0??x?x1?+

????f?x0,x1,x2,x3,x4,x5??x?x0??x?x1??x?x2??x?x3??x?x4?，

列插商表：

一阶插商 6 0 0 6 18 二阶插商 -3 0 3 6 三阶插商 1 1 1 四阶插商 0 0 五阶插商 0 xi -2 -1 0 1 2 3 f?xi? -5 1 1 1 7 25 N?X???5?6(x?2)?3(x?2)(x?1)?(x?2)(x?1)(x?0)?x3?x?1，为三次。

8. 对函数f?x?，g?x?及任意常数a,b,证明：

??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??af?x0,x1,???xn??bg?x0,x1,???xn?。

证明：由高等数学的知识，我们构造函数F?X??af?x??bg?x?，于是就有下式成立：

??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??F?x??x0,x1,???xn?

??j?0nFj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?af?x??bg?x? ???x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jnnjjj?0j0j1jj?1jj?1jn?x?j

由分式法则：

a?j?0nfj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jn?x?j?b?j?0ngj0j1j?x?x??x?x??????x?x??x?x??????x?x?j?1jj?1jn?x?j=af?x0,x1???xn??bg?x0,x1,???xn?，所以命题成立。 10. 给定函数表 xi f?xi? 0.0 1.00000 0.2 1.22140 0.4 1.49182 0.6 1.82212 0.8 2.22554 试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算f?0.05?的近似值。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

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的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得

f?0.05?=1.05126.

11. 若要给出f?x??cosx，x??0,??的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计

??2???算任何x??0,?的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过

??2??1?4?10。 2分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出h?0.02。 12. 设f?x??c2n?2?a,b?，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项

f2n?2???R?x??f?x??H2n?1?x???2n?2?!?2n?1?x?。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。

13. 求不超过3次的多项式H?x?，使其满足H??1??9，HI??1??15，H?1??1，HI?1???1。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：H?x??a0?a1x?a3x2?a3x3，代入条件，即可求得：

H?x??x3?4x2?4x。

14. 求不超过4次的多项式P?X?，使其满足P?0??PI?0??0，P?1??PI?1??1，

P?2??1。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析p?x??a0?a1x?a2x?a3x?a4x，

234代入条件，即可求得：p?x??15. 给定函数表 122x?x?3?。 41 0.5 2 2 3 1.5 xi f?xi? 0 0 （1） 在边界条件fI?0??0.2，fI?3???1下求三次样条插值函数S?X?； （2） 在边界条件fII?0???0.3，fII?3??3.3下求三次样条插值函数S?X?。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

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的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。

?0.48x3?0.18x2?0.2x,x??0,1??32结果为：（1）s?x?????1.04?x?1??1.25?x?1??1.28?x?1??0.5,x??1,2?

?320.68x?2?1.86x?2?0.68?x?2??2.0,x??2,3????????0.5x3?0.15x2?0.15x,x??0,1??32?（2）s?x????1.2?x?1??1.35?x?1??1.35?x?1??0.5,x??1,2? ?321.3x?2?2.25x?2?0.45?x?2??2,x??2,3???????

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第三章 函数逼近及最小二乘法

一 本章的学习要求

（1）会用最小二乘法求拟合曲线。 （2）会将非线性函数转化成线性函数。

二 本章应掌握的重点公式

线性曲线拟合公式：

??,???????t???t00i?0i0i0ni?，

??,?????,???????t???t?，

0110i?0i0i1in??,???????t???t?，

11i?0i1i1in??,f??????t?y，??,f??????t?y。

0i?0i0iinn1i?0i1ii三 本章习题解析

1. 设

??x?,??x??????x????是区间[0,1]上带权??x??x的最高项系数为1的正交多

01n?1项式序列，其中

??x?=1，求?x??x?dx及??x?和??x?。

010k12分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

?1?,k?02的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：?x??x?dx??2；；x?x????k013??0,k?01??x??x2263?x?。 5102. 判断函数??x?=1，??x?=x,，

103??x??x2021?，在??1,1?上带权??x??1正交，并求3??x?使其在[-1，1]上带权??x??1与??x?，?1?x?，?2?x?正交。

3分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x?

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3x。 5数值计算方法配套答案

3. 证明：若函数组

??x?,??x??????x?是在[a,b]上带权??x?正交的函数组，则

01n?1??x?,??x??????x?必然是线性无关的函数组。

01n?1分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。

4. 已知点列x0??2，x1??1，x2?0，x3?1，x4?2及权函数??x0??0.5，

??x1????x2????x3??1，??x4??1.5，利用公式（4—7）和（4—8）构造对应的正交多

项式p0?x?,p1?x?,p2?x?。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：

2p?x??1，p?x??x?501，

4??2?46?。 p2?x???x?x?????115??5?15?5. 已知数据表 0 i x1 3.85 2 6.50 3 9.35 4 12.05 yi 1.00 求拟合这些数据的直线方程。

解：设所要拟合的直线方程为：y?a0?a1x，这里m?4，n?1，?0?x??1，?1?x??x，

?????????x???x??5，??????????????x???x??10，

?????????x???x??30，??f??????x?y?32.75，

440,0i?04i0i0i0,11,0i?0i0i1i41,1i?0i1i1i0,i?0i0ii???1,f???i?i?04?510??a0??32.75?，所以可得到以下方程组：?93.1??yi?1030?????93.1? 1xi???a1???解得：a0?1.03，a1?2.76，所以所求方程为y?1.03?2.76x。 6. 已知数据表 xy ii1 3 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 6 8 7 求拟合这些数据的直线方程。

解：设所要拟合的直线方程为：y?a0?a1x，这里m?7，n?1，?0?x??1，?1?x??x，

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?????????x???x??8，??????????????x???x??36， ?????????x???x??285，??f??????x?y?41，

770,0i?0i0i0i0,11,0i?0i0i1i771,1i?0i1i1i0,i?0i0ii??f??????x?71,i?0i1i?8,36??a0??41?，所以可得到以下方程组：yi?216?36,285?????216?

???a1???解得：a0?2.22，a1?0.95，所以所求方程为：y?2.22?0.95x。 7. 某发射源的发射强度公式为I?I0e??t，现测得I与t的一组数据如下表

0.4 1.75 0.5 1.34 0.6 1.00 0.7 0.74 0.8 0.56 ti Ii 0.2 3.16 0.3 2.38 试用最小二乘法根据以上数据确定参数I0和?的值。 解：先将I?I0e??t线性化，即两边取以10为底的对数，变为lgI?lgII0?algx，

e设y?lg，A?lgI0，A?alge，所以上式变为y?01A?Ax。这里m?7，n?1，

01?0?x??1，??x??x，代入公式得：

17?????????x???x??8，

70,0i?0i0i0i??????????????x???x??3.5，?????????x???x??2.03，

70,11,0i?0i0i1i1,1i?0i1i1i??f??????x?y70,i?0i0ii?0.8638，

??f??????x?y?0.08062，

71,i?0i1ii?8,3.5??A0??0.8638?所以可得到以下方程组?，解得：A0?0.08777，???????3.5,2.03??A1??0.08062?A1??0.04618，相应的I0?5.64,a?2.89。

8. 试用最小二乘法根据以下数据表 xyi i bx1.00 5.10 1.25 5.79 1.50 6.53 1.75 7.45 2.00 8.46 求y?ae的最小二乘拟合曲线。

bxy解：先将y?ae线性化，即两边取以10为底的对数，变为lg?lg?blgx，设y?lg，

y?ee A0?lg?，A1?blg，所以原式变为：y?A0?A1x。这里m?4，n?1，??x??1，

0第 - 15 - 页

数值计算方法配套答案

??x??x，代入公式得???10,0?i???i?i?040?x???x??5，

i0i?????????x???x??11.875，??????????????x???x??f??????x?y?33.33，??f??????x?y?51.2275，

40,11,0i?0i01i??7.5，

7i?041,1i?0i1i1i40,i?0i0ii1,i1ii?5,7.5??A0??33.33?所以可以得到以下方程组：??????51.2275?，解得：A0?3.708，7.5,11.875???A1???A1?1.972，代回求得，a?3.071,b?0.5056,故方程为y?3.071e9. 用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式，使它拟合以下数据。

0.5056x。

xi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 yi 解：先将y?a?bx2线性化，设X?x2，则原式变为y?a?bX，这里m?4，n?1，

??????????x???x??5，

??????????????x???x??5327，?????????x???x??7277699，??f??????x?y?271.4，?????????x???x??369321.5，

0?x??1，??x??x，代入公式得

1411,0i?0i0i1i40,0i?0i0i0i40,1,1i?0i1i1i440,i?0i0ii1,1i?0i1i1i所以可以得到以下方程组：?5327??a??271.4??5,??b???369321.5?，

5327,7277699??????解得：a?0.05004，b?0.97258，所求方程为：y?0.97258?0.05004x2。

第 - 16 - 页

数值计算方法配套答案

第四章 数值积分和数值微分

一 本章的学习要求

（1）会求各种插值型求积公式。 （2）会应用求积公式分析代数精度。

（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。

（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。

二 本章应掌握的重点公式

（1）梯形公式：?f?x?dx?abbb?a?f?a??f?b???。 2?b?a???a?b?。 fa?4f?fb????????6??2??。 ?x??f?b???k（2）辛甫生公式：?f?x?dx?an?1（3）复化梯形公式：T?h?f?a??4?fn2?k?1??n?1h?（4）复化辛甫生公式：S??f?a??2?fn2?k?1?x??4?f??x?kK?0n1k?2??fb?。

??????（5）梯形公式的误差余项：RT?x???fII???12?b?a?3。???a,b?

（6）复化梯形公式的误差余项：RT?x???b?a2IIhf???。???a,b? 12三 本章习题解析

1. 用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。 x（1）

?04?x2dx, 取n?8 ；(2)

1??604?sin2xdx，取n?6

=0.1114024， ?x??f?1???k解：（1）代入复化梯形公式可得

71?f?0???fT8?16?k?1??5?? (2)代入梯复化形公式可得：T6?f?0???f?x6???72?k?1????f???=1.03562， ?6??同理，分别代入复化Simpson公式可得：S8?0.1115724，S6?1.03577。

第 - 17 - 页

数值计算方法配套答案

2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具 有的代数精度。 （1）?f?x?dx??hhAf??h??Af?0??Af?h?

012（2）（3）（4）

?f?x?dx?Af?0??Af?x??Af?1?

001121??2h?2hhf?x?dx?f?x?dx?Af??h??Af?0??Af?h?

012011?hAf??h??Af?x?

??2h?A?A?A0122解：（1）设f?x??1，x，x，求积公式准确成立，代入（1）式可得：?0???h?

?A0A2?h?232?h??A0?A2?h?314h，A1?h， 33h141代入原式整理得：?f?x?dx?h?f??h??h?f?0??h?f?h?，

?h333解得：A0?A2?对于f?x??x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x，代入上式验证，

4左边? 右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

??1?A0?A1?A2?2（2）设f?x??1，x，x，求积公式准确成立，代入（2）式可得：?1

?A0?x?A2?2?1??A1x2?2A2?3解得：A0?A2?121，A1?，x1?， 632代入原式整理得：

?1012f?x?dx??f?0???63?1?1f????f?1?， ?2?6对于f?x??x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x4，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

??4h?A0?A1?A2?2（3）设f?x??1，x，x，求积公式准确成立，代入（3）式可得：?0??A0?h?A2?h

?163?h??A0?A2?h2?3解得：A0?A2?84h，A1??h， 33第 - 18 - 页

数值计算方法配套答案

代入原式整理得：

3?2h?2h848f?x?dx?h?f??h??h?f?x1??h?f?h?，

3334对于f?x??x，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

?2h?A0?A1（4） 设f?x??1，x，求积公式准确成立，代入（4）式可得?

0??Ah?Ax011?解得：x1?hh2 ，A0?，A1?h，323代入原式整理得：

2?h?hf?x?dx?h3?f??h??h?22?h?f??， ?3?3对于f?x??x，代入上式验证，左边=右边。继续令f?x??x，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

3. 证明：

?10f?x?dx?11II具有3次代数精度。 ?f0?f1?f1?f?????????0??????212证明：当f?x??1时，

左边=1，右边=11?1?1???0?0??1，左边=右边。 212当f?x??x时，

1左边=，右边=1?0?1??1?1?1??1，左边=右边。

22122当f?x??x时，

21111左边=，右边=?0?1???2?0??，左边=右边。

32123当f?x??x时，

311左边=，右边=，左边=右边。

44当f?x??x时，

411左边=，右边=，左边?右边。

56

故所求积公式具有3次代数精度。

?4. 用复化Simpson公式Sn计算积分

?20sinxdx，要使误差不超过1?10?5，问应将区间

2第 - 19 - 页

数值计算方法配套答案

??????分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间0,0,?分????2??2?为多少等份？

解：复化Simpson公式的余项的绝对值为：Rs?f???0?b?a?h??4?????f???由此可将原问题转

180?2?4化为

Rs?f??2180??max?4n??0?x?2??4sinx?1?5??10解得：n?6。

92160n24?5同理若应用复化梯形公式，则有

??0?b?a2II2Rt?f???12hf????12?5. 求积公式?f?x?dx?01sinx??10?max2??2n?o?x?2??21?5解得：n?255。

Af?0??Af?1??Af?0?，已知其余项表达式为

I012R?f??kfIII???。试确定求积公式中的待定参数A0，A1，A2，使其代数精度尽量

高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。

??1?A0?A1?A2?2解：设f?x??1，x，x求积公式准确成立，代入原式可得：?1

?0?A1?A2?2?1??3A1?12，A?1，A2?，

16331211所以原式变为：?f?x?dx?f?0??f?1??fI?0?，

0336解得：A0?当f?x??x时，代入原式，左边=

311，右边=，左边?右边， 431由题意知误差为1?1?kf?且fx?3!?6，所以求得k??，

7243即R?f???1fIII???为所求，上式求积公式具有3次代数精度。

72??3III??III6. 若用复化Simpson公式计算

点上的函数值？ 解：fI?1exsinxdx，要使误差不超过10?6，问需要计算多少个节

?x???4exsinx，

?b?a?h??4?????f???，

180?2?4在这里取复化Simpson公式余项的绝对值Rs?f第 - 20 - 页

数值计算方法配套答案

代入已知条件得：Rs?f??3?1?2?4?sin?，

??e1802n??42?1?进行放缩得：Rs?f??4exsinx?10?6，解得：n?26。 ??max180?n?1?x?37. 推导下列三种矩形求积公式，其中???a,b? （1）?f?x?dx??b?a?f?a??ab4（2）

?ba1I2f????b?a? 212f?x?dx??b?a?f?b??fI????b?a?

23?a?b?1II f?x?dx??b?a?f??f?b?a??????2?24（3）

?ba证明：（1）将f?x?在f?a?处展开成一阶泰勒公式，即：f?x??f?a??f上式两边在?a,b?积分，得：

I????x?a?

?baf?x?dx??f?a?dx??fI????x?a?dx

aabb=f?a??b?a??这里我们应用广义积分中值定理：

b?bafI????x?a?dx，

ba ?f?x?g?x?dx?g????f?x?dx，???a,b?，

a于是上式中第二项就化简为如下形式：

?bafI????x?a?dx?fI?????x?a?dx，

ab???a,b?，

积分整理得到：?f?x?dx??b?a?f?a??ab1I2f????b?a?。 2I（2）将f?x?在f?b?处展开成一阶泰勒公式，即：f?x??f?b??f上式两边在?a,b?积分，得：

????x?b?

?baf?x?dx??f?b?dx??fI????x?b?dx

aabb=f?b??b?a??上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：

?bafI????x?b?dx，

?baf?x?dx??b?a?f?b??1I2f????b?a?。 2（3）将f?x?在f??a?b??处展开成二阶泰勒公式，即：2??2IIa?b?f????a?b??a?b?I?a?b??f?x??f??fx??x????????， 2?2!?2??2??2??第 - 21 - 页

数值计算方法配套答案

上式两边在?a,b?积分得：

?f?x?dx??abbaIIbbf???！a?b?a?b??a?b??I?a?b??f??dx??af???x??dx??a?x??dx，

22222????????2由广义积分中值定理

?baf?x?g?x?dx?g????f?x?dx，???a,b?，

ab

代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：

?8. 对积分

ba3?a?b?1II。 f?x?dx??b?a?f??f?b?a?????224???f?x?dx构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。

023fx，令=1，，，求积公 式xxx??f0?f1?f2?f3????????A0A1A2A33解：将?0,3?三等分，即取节点0，1，2，3.构造求积公式：

?30f?x?dx?3??3?A0?A1?A2?A3??A08?9???0??2A2?3A39A1??2?A准确成立，代入公式得：?解得：?18 ?27?9?3?0?A1?4A2?9A3????A28?81?0???8A2?27A33A1??A3??48?所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：

?30f?x?dx?3993f?0??f?1??f?2??f?3?。 88889. 用高斯-勒让德求积公式，取n=2计算定积分

?10x2exdx。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式：Q?x?dx??ba?AQ?x?即可求出：

k?0Kkn?xedx?0.7119418。

012x10. 用龙贝格求积公式计算定积分

?301dx。 x3?14，f1?f3?????????23解：代入复化梯形递推化公式，求得：T1?T?213?1413?1?，?f1.5???f??TTT42123224???3?????4??9??14f????， ?4??9第 - 22 - 页

数值计算方法配套答案

13?1??3??f???T?428??8?4112，

??3T23T19T8?S1?C1??9?f????8??15?f????8??21??597， f?????8??315S?24152411898， ，?????TT343227S43T83T494516128548 ， 161796，

?????C215S415S21417515S215S1405R1?11. 若fII6311799212???2.01473867。 CC216464893025?x??0，证明用梯形公式计算积分

?f?x?dx所得的结果比准确值大，并说明其

ab几何意义。

证明：已知梯形公式为I?In?RT?f?，

由已知fII?x??0及余项公式RT?b?a??f???123f????0，也就是I?In?0即

IIIn?I造成结果比准确值大。

几何意义：由fII?x??0可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。

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数值计算方法配套答案

第五章 常微分方程的数值解法

一 本章的学习要求

（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。 （2）掌握龙格库塔方法。

二 本章应掌握的重点公式

?x,y?。

（2）后退的欧拉公式：y?y?hf?x,y?。

h（3）梯形公式：y?y??f?x,y??f?x,y??。

?2?（1）欧拉公式：

yn?1?yn?hfnnn?1nn?1n?1n?1nnnn?1n?1三 本章习题解析

I??y?y?01. 对初值问题?，在?0,1?区间内取步长h?0.1，分别用欧拉公式、改进的欧拉

y0?1????公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。 解：（1）由欧拉公式可知：yn?1?yn?hf?x,y??y?0.1???y?=0.9y。

nnnnn??yp?yn?hfxn,yn?（2）由改进的欧拉公式可知：?y?y?hf,y ?cxn?1np?1??yyp?yc?n?1?2??????将已知代入化简可得：

yyp?yn?0.1??y?0.9y，y?nnc??yn?0.1??y???0.91y，

pnn?1?10.9y?0.91y=0.905yn。

nn2??第 - 24 - 页

数值计算方法配套答案

?k1?fxn,yn??hh???k2?f?xn?,y?k1?（3）由经典的四阶Runge-Kutta公式可知： ?2n2? ??h???f??h,?y?xn??k32n2k2????k4?fxn?h,y?hk3n?????公式为：yn?1?yn?h，所以有：k1??yn，?k1?2k2?2k3?k4?记为（1）

6k2??yn?0.05yn，k3??yn?0.05yn?0.0025yn，

k4??yn?0.1??yn?0.05yn?0.0025yn?，

代入到（1）得：yn?1?yn?1??5.70975??0.9048375yn。 60?dy??ax?b12. 用欧拉公式解初值问题?dx，证明其整体截断误差为y?x??y?anh2。

nn2?y?0??0?证明：将已知代入欧拉公式y展开得：yn?1n?1?yn?1fn?x,y?，化简为ynnn?1?yn?h?axn?b?，

?yn?haxn?hb，应用递推关系可得：y?nyn?1?haxn?1?hb，

0以此类推：y?3y2?hax2?hb，

y2?y1?hax1?hb，y?1y?hax0?hb，

然后迭代得：y?n(n?1)ah2?nbh，

n2由题可知，对原定解问题积分得：y?x??所以有y?x??y?1anh2成立。 nn23. 用欧拉公式计算积分?x2121ax?bx，故可得y?xn??axn2?bnh，22x0etdt在x?0.5，1，1.5，2点的近似值。

22?fI?x??ex?t解：设f?x???edt，则f?x??e，且f?0??0，故原问题转化为?的定

0??f?0??0Ix2解条件在x0?0，由欧拉公式yn?1xy1?0.5，x2?1，x3?1.5，x4?2时的定解问题。

?1fn?n?xn,y，可知：

n?y?y120?0.5e?0.5，

40y2?y1?0.5e?0.5?0.5e=1.142，y?13y9?0.5e?0.5?0.5e?0.5e=2.501，

4y4?y3?0.5e?0.5?0.5e?0.5e?0.5e=7.245。

94第 - 25 - 页

数值计算方法配套答案

I??y?10y?04. 用欧拉公式计算初值问题?，0?X?2，取步长h?0.3时，计算结果稳

??y?0??1定吗？

解：???10,h?0.3,?h??3不在?2??h?0内，所以计算结果不稳定。

nI?2?h??y?y?0?5. 对初值问题?，证明梯形公式求得的近似解为yn???，并证明当步长

?2?h???y?0??1?xh?0时，yn?en。

证明：由梯形公式：y代入

n?1?h??yn2?fn?1?x,y??f?xnnn?1,yn?1， ???yI??y化简可得：y?yh???y?y?， nnn?1?2?h合并同类项，整理可得：

yn?1?2h1?21?2y，

n?2?h?2?h????????2?h?化简得：

??y?2?hy???y?y2?h2?h????n?1，

0n?1nn?1由已知y?1，于是上式化为

0yn?1???2?h???2?h?n?1，即

?2?h?成立。 y????2?h?nn由极限定义：

nn??2?h??2?h?2h???1??2h?limyn?lim??lim?lim?????h?0h?02?hh?0h?0????2?h??2?h??2?h?2h?????2hn2?h?e?2hnh?02?hlim,

由xn?nh代入，所以原式?eh?0lim?2xn?e?xn。 2?hn1?100??yI?100y6. 对初值问题?，如果取，证明欧拉公式求得的近似解为 h?y?n?1??。?n?n???y?0??1证明：由欧拉公式：yn?1?yn?11f?xn,yn?，将已知代入可得：yn?1?yn?100yn nn2?100?，同理，以此类推得：?100?，迭代可得：

y?y?yn?1?n?1n?1?1???n?n????100?yn?1?y0?1??n??n?1100?，由y?0??1有yn?1???1??n??n?1?100?即yn??1??。

n??n第 - 26 - 页

数值计算方法配套答案

I??y?x?y8. 取步长h?0.2，试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题?的y?0.2?，

??y?0??1y?0.4?的近似值。

解：yn?1?yn?h?2k2?2k3?k4?，其中?k16k1?f?x,y??x?y，

nnnnkkhh???f?,??xn?y?xk2n1?n22??3yyn?0.1?0.1k1，

?0.1?0.1k2

3hh???f?xn?,y?k2??xn?n22??nk4?fyn?1?x?h,y?hk??x?y?0.2?0.2k，将k，k，k，k1?y??6.74?x?y??0.74?0.244?x?y??0.24?，

?30?nn3nn1234，代入原式：

nnnnn取节点：x0?0，

x?1?0.2，x2?0.4，于是有：

yy1?0??6.984306.98430Iy00.764?1.2428， 30y2?y1?x1?y??10.764?1.5836359。 3010. 解初值问题y?10y?x，1?x?2，若用梯形公式求解，要使迭代公式y????(k?1)?y?n?1??y(0)n?1?yn?hf?x,y?nnn(k)????f?xn?1,y?n?1???????h?yn?2?f???x,y?n收敛，求步长h的取值范围。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：h??I?f?x,y?y111. 证明初值问题?的二步法y??n?12y?x0??y?0?1。 6n?1n?1?y?y??h?4f4n?fn?3fn?1?，

?fi?f?x,y??是二阶的，并求其局部截断误差项。

iin?1证明：将y在y处进行三阶泰勒公式展开得：ynn?1?yn?hyIny?II22!hy?III3!h3?o?h?，

4同理将

f，

n?1f，也在yn处进行泰勒公式展开，由于原式第二项前有h，故fn?1，

n?1fn?1只需展开成二阶泰勒公式即可，即：

第 - 27 - 页

数值计算方法配套答案

fn?1?yIIn?1?y?ynIIIh?yII2!h2?o?h?3，

fn?1?yIn?1?y?ynIIIIh?yII2!19242h2?o?h?，

33fn?yn，将以上四式代回原方程得：y在

n?1?yn?hy?nyn2InIIh2?ynhIIIIII?o?h?○

41

现将yn?1yn处进行三阶泰勒公式展开：yn?1?yn?hyy?II2!hy?3!h3?o?h?○

42

1与○2进行比较可知：现将○

191?，故原式是二阶的，局部截断误差为246191?246h3?y?onIII?h?4??153IIIy?o24hn?h?4，局部截断误差的首项为?153IIIhyn。 2412. 证明：线性二步法y1?h?b?3?n?1nn?14?时方法是二阶的，当b??1时方法是三阶的。

??b?1?y?by?n?1fn?1??3b?1?fn?1?，当b??1?证明：原式变形为y将y，

??1?b?y?bynh???b?3?n?14?fn?1??3b?1?fn?1?，记为（1）式，

?n?1f，

n?1f在yn处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：

n?1yn?1?yn?hyn?h2!I2y2IIn?h3!IIIn3yIIIn?o?h?4，

fn?1?yn?hyn?h2!III2yIIIn?o?h?，

3fyn?1?y?hy?hy2!IIInn?o?h?，将上面三式代入（1）式化简可得：

33IIInn?1?y?hy?hnn2!I2y??2b?3?hy3!IIn?o?h?，记为（2）式，

4n?1再将

yn?1在

yn处展开成三阶泰勒公式，y?yn?hyn?h2!I2yIIn?h3!3yIIIn?o?h?，

4记为（3）式，将（2）式与（3）式对比，要想具有三阶精度则：当b??1时，

2b?31即b??1，?，

662b?31?，具有二阶精度。 66n?113. 求系数a,b,c,d使公式y解：将yn?1?ayn?h?bfn?1?n?1?cf?dnf?有yn?1??x??yn?1n?1?o?h?。

5，

f，

n?1If2n?1，在y处分别展开成四阶，三阶，三阶泰勒公式，即：

?hy3!3IIIny?y?hy?hy2!n?1nnIIn?hy4!4(4)n?o?h?，

5fn?1??y?hy?hnn2!IIIIII2yIIInIII?h3!3y(4)n(4)?o?h?，

4?hy?ofn?1yn?hyn?hyn2!3!n将以上几式代入原式，整理可得：

23?h?，f4n?yIn，

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a?2yn?1?ayn?h(?a?c?b?d)yn????b?d?hyn?2?III?abd?3III?a?b?d??????hy???n?2446??622?hy4(4)n，

对照y在

n?1yn处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数，即可求出相应的未知数，

解得a?1，b?d?14，c?。 33I14. 对于初值问题的模型方程y??y???0?，求二阶Runge-Kutta方法

h?y?y??k1?k2?n?n?12?k1?f?xn,yn?的稳定区间。 ??k?f?x?h,y?hk?nn1?2?分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：1??h?122?h?1。 2?I?f?x,y?y15. 求系数a，b，c使求初值问题?的公式y?ay?by?hc?n?1nn?1y?x0??y?0?fn?1有尽可

能高的精度，并求其局部截断误差首项。

解：按照上面几个题的做法可知：

y?y?hy?hy2!In?1nn2IIn?hy3!3IIIn??o?h?，f4n?1?y?hy?hy2!IIInn2IIIn?o?h?，将以上两式

3代入原式化简可得：

yn?1??a?b?I?b?2II?bc?3III?c?bh??cyn??yn?2?hyn??6?2?hyn?o?????h?，

4?a?b?1?c?b?1?对照yn?1在yn处展开的三阶泰勒公式的系数即可得到方程组?

b?2c?1???b?3c?1由于四个方程三个未知数，故解前三个方程即可，解得a?4，b??3，c??2，代入b?3c?1说明具有二阶精度，局部截断误差首项为：

23IIIhyn。 3

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第六章 方程求根

一 本章的学习要求

（1）能够熟练的应用牛顿迭代公式。

（2）能够根据要求推导出牛顿迭代公式并求其局部截断误差。

二 本章应掌握的重点公式

（1）牛顿迭代公式：xk?1?xk?f?xk?fI?xk?。

（2）迭代收敛定理：设迭代过程xk?1???xk?收敛于方程x???x?的根为x，若迭代误差ek?xk?x，当k??时，limk????xk?1?x??xk?x??p?limek?1?c?0，则称该迭代过

k??ek程具有p阶收敛。

三 本章习题解析

1. 用二分法求方程x3?x?1?0在?1,2?内的近似根，准确到10。

?3分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x92. 证明用二分法得到的序列?xk?为线性收敛。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

?的同学可自行证明。提示：xn?x??1.325。

b?ab?a,x?x?。 n?1n2n?12n?23. 设有方程f?x??x3?x2?1?0，

（1）证明该方程在区间?1,2?上有唯一根x?。 （2）证明迭代公式xk?1?3xk2?1?k?0,1,2,????对于任意初值x0??1,2?都是收敛的，并

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用此迭代公式求其近似根直到有8位有效数字。

证明：（1）由题可知：f?1???1?0，f?2??3?0，且f?2?f?1??0，由零点定理可

知：f?x?在?1,2?内有根。

下面证唯一性，由高等数学的知识fI?x??3x2?2x?x?3x?2?在?1,2?有

fI?x??0，即f?x?单调递增，原命题成立。

（2）证明：已知xI?3k?1xk?1，即??x??23x2?1，

2?122x4由??x???x?1?3?2x? ?3?1，所以对任意初值x0??1,2?都收敛。

3233x?135同学们可以任选初值进行8次迭代，或上机操作完成。

4. 对于??x??x??x?5，要使迭代公式xk?1???xk?局部收敛到x??5，求?的

2??取值范围。

解：由??x??x??x?5，可知?I?x??1?2?x，由收敛定理：?I2???5??1，

即1?2?5?1，解得：?5???0。 55. 用迭代法xk?1?xk???xk?f?x?求方程f?x??x3?x2?x?1?0的根，求??x?使

kk迭代序列?xk?具有局部平方收敛。 证明：已知xk?1?xk???xk?f?x?，故可得：??x??x???x?f?x?，

kII对??x?求导得：?I?x??1?????x?f?x????x?f?x???，设x是f?x??0的根，

?即：fx???0，所以上式化简为：??x??1???x?f?x?，由题可知原式具有平

?I??I?方收敛，故由?Ix??0，可求得：??x?????11， ?2I???f?x?3?x??2x?1一般化为：??x??1fI?x??13?x??2x?12，记为（1）式，

现将（1）式代入??x??x???x?f?x?可得：??x??x?x?x?x?1，

3x?2x?1232对??x?求二阶导，将f?x?的根x代入得：??II?x???6x??23?x???2x??12，由于x??1，3第 - 31 - 页

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所以?IIx??0，由收敛定理知，原命题成立。

6. 给定函数f?x?设对一切x，fI?x?都存在，且0?m?fI?x??M。证明对0???任意常数?，迭代法xk?1?证明：由xk?1???2的Mxk??f?x?均收敛于方程f?x??0的根。

kIIxk??f?x?，即：??x??x??f?x?，所以：??x??1??f?x?，

k又因为：0?m?fI?x??M，所以可放缩为：0??m??fI?x???M。 又因为：0???22，代入上式，继续放缩：0??m??fI?x???M?M?2，MM两边取负号：?2???M???fI?x????m?0，且?1?1??M?1??fI?x??1??m?0， 即：1??fI?x??1，等价于?I?x??1，由收敛定理知方程收敛。

7. 用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。 （1）f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根； （2）f?x??x2?3x?ex?2?0在x0?1附近的根。 解：本题为上机题。提示：（1）由牛顿迭代公式：??xk??xk?f?xk?fI?xk?，代入化简可得：

??xk??xkx?k3?3xk?123xk?3，在此任取x0?1附的值进行迭代即可。（2）同理。

8. 求方程x3?2x?5?0在x0?2附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）x?（2）x?32x?5，迭代公式xk?1?32xk?5 2?355，迭代公式x?2? k?1xxk（3）x?x?x?5，迭代公式

xk?1?xk?xk?5

3 试分析每种迭代公式的收敛性；并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字

的近似根。

2解：（1）经验证取有根区间为?2,3?，由已知可得??x??32x?5，从而：，?I?x??332x?5在有根区间?2,3?内?I?x??1，即迭代公式收敛。（2）（3）同理。

9. 用弦截法求下列方程的根，准确到四位有效数字。

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（1）f?x??x3?10x?20?0在区间?1.5,2?内的根； （2）f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在此只给出结果：（1）x??1.5945621。（2）x??1.879。 10. 方程x4?4x2?4?0有二重根x??2，用Newton法和xk?1?xk?m次，比较其结果。

1应用Newton法，设f?x??x4?4x2?4?0，可得：f解：○

If?xk?fI?xk?分别迭代三

?x??4x3?8x。

x4?4x2?4代入牛顿迭代公式：xk?1?xk?I，即得：??x??x?，现取初值34x?8xf?xk?f?xk?x0?1，进行迭代：??x0??1.25，??x1??1.31464，??x2??1.42547619。

2应用迭代公式x○k?142x?4x?44，同样，则m?2，即??x??x?2?xk?mIxf?xk?4x3?8xf?xk?取初值x0?1进行迭代：??x0??1.5，??x1??1.421254，??x2??1.4142135。

311. 应用Newton法于方程x?a?0，导出求3a的迭代公式，并由此计算3120的具有四位有效数字的近似值。

解：设f?x??x3?a?0，所以：fI?x??3x2，由Newton迭代公式xk?1?xk?f?x?3f?xk?fI?xk?，即：

，整理得：??x??x?x?2a，此即为所求的迭代公式。 ??x??x?I3xf?x?x3?a下面求120，由已知可知，此时a?120，代入迭代公式??x??x?， 23x3取初值x0?4进行迭代：??x0??5.1666，??x1??4.94423，??x2??4.9324415。

nnn13. 应用Newton法于方程x?a?0，导出求a的迭代公式，并求lima?xk?1a?xkk???n?2。

解：（1）由xn?a?0，设f?x??x?a?0，fI?x??nxn?1。建立牛顿迭代公式：

nxk?1?xk?n1?a，代入整理：??x???1??x?xn?1，记为a的迭代公式。 ?f?xk?n?n?If?xk?第 - 33 - 页

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?????x??ex?x由定理2.定理3.可知：limk?1?limk?1，将??x??x?f?x?代入上式?Ik??ek???2f2!?x?kx?x??2k最终化简为：

fII?x??2fI?x??nk??n。

（2）所以原证明：lima?xk?1a?xkn??limk??n?1xk?1?na?na?xk??2II?ek?1f?x?，这里：?lim??k??e2f?x?kf?x??x?a，fnI?x??n?a??。fII?x??n?n?1??a?nn?2，代入上式即可求得

原式=

??n?1?2an。

14. 设f?x?具有二阶连续导数，fxxk?1?xk?fI?xk????0,f?x??0，证明迭代公式

?I?f?xk?f?xk???f?xk?是二阶收敛的。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：将边同时减去xk，求极限limf?xk?f?xk??在xk点做Tarlor展开到二阶，再将公式两

?x?2xk?1?x?k???xk?。

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第七章 解线性方程组的直接解法

一 本章的学习要求

（1）会求各种向量范数和矩阵范数。 （2）会求普半径和条将数。

（3）能够将不同类型的矩阵分解成LU形式并能解该方程组。

二 本章应掌握的重点公式

（1）矩阵的各种范数：A?

max?aij，A1?max?aij，

n?1?i?nj?1n1?j?ni?1An2??max2 ?AA?。T（2）向量的各种范数：

x??max1?i?nx，

ix1??i?1nx，

ix2???xi?。

i?1（3）当系数矩阵为对称矩阵时，普半径等于二范数。

三 本章习题解析

?7x1?x2?x3?31. 用高斯消去法解线性方程组??2x1?4x2?2x3?1

??x?x?3x?23?12解：将其写成矩阵形式为：?2??71?1??x1??3??????42??x2???1?，现对其增广矩阵进行初等变换化为如下??113??x??2????3??????1?1?3?2??71?13??1?11?2??，将其还原，此时求解形式：?2421???2421???0685????????1132??71?13????????002831?33????x1?x2?3x3?2原方程组的问题就变为解：?，解得：x??0.6787,?0.64291,1.1071?T。

?6x2?8x3?5?2831?x3?3?322??x1??0.4???0.002??????，已知精确解：2. 给定线性方程组：10.781250x?1.38162???????3.9965056254??x??7.4178????3???x???1.92730,?0.698496,0.900432?。

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T

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（1）用高斯消去法解此线性方程组； （2）用列主元素消去法解线性方程组。

分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。 3. 设A?aij??n?n?Rn?n，a11?0，经过一步高斯消去法得到

a2n??，证明： ?????(2)ann??(2)A(2)???a11?0?，其中a??A??12T(2)?????a22(2)??????A???(2)?????an2（1）若A为对称矩阵，则A?2?也为对称矩阵； （2）若A为对角占优矩阵，则A??也为对角占优矩阵。

2证明：（1）只要证出a(2)ij?aji(2)即可，因为：a(2)ij?aij?mi1?a1j(1)(1)?aij?(1)ai1?a1ja11(1)(1)(1)由

A为对称矩阵则上式化为

aji(1)?a1i?aj1?ajia11(1)(1)(1)(1)aj1??a1i?ajia11(1)(1)(1)(1)?mj1?a1i(1)?aji(2)

证毕。同理可证（2）。

?211??x1??4?4. 设有方程组?132??x???6?，试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三

???2????122??x??5????3???角矩阵之积；即A?LU，然后用你的分解解此方程组。 ?211??1解：将A写成LU的形式即：?132??????l21?122?????l31??u11??????1???1luu122232uuu13??，利用矩阵的乘法23??33?得：l?l?1，

213125333，??1?2，，??u12u13u11u22，u23?，u33?， l325225??211??1所以A可写成：???1132????2?122?????1?2??21?????512??3???1?5??1??。 3?2?3??5??1?下面解此方程组，先解LY?b即：?1?2??1?2??y?T??1??4?3???????6?，解得：Y??4,4，?，再15????y2?????3??5???y?1??5??3?解UX?Y，即：

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?21??52??????1???x1??4?，解得X??1,1,1?T。 3?????4?2??x2???????3???x3??3?5??5?5. 试推到矩阵A的Crout分解A?LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三

角矩阵。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：设： l1j?a1j,i?1,2?n;u1j?k?1a1jl1j,j?2?n,，所以：

k?11????，??，j?k?1???n。 i?k,k?1?n，u???akjlikaikr?1lirurklkrurj?kjr?1?lkk?6. 设L为非奇异下三角矩阵，（1）列出逐次代入求解LX?f的公式；（2）上述求解过程需要多少次乘除法？

?l11证明：（1）设??l21L??l31???????ln1???x1????????x2????x?????3???????x4???????lnn??x??5????lll2232ll33???n2???n3fffff1???2?，其中：?3??4???5?lii?0，(i?1,2??????n)。

解上述方程组可以得到：?f，?xkxl1111fk??lkj?xjj?1k?1l2，k??2,3??????n?。

kk（2）计算次数为：????k?1??1???1?k?2n??n?n?1?次乘除法。

?41?1?7. 用平方根法解方程组?13?1??1?15??0020??x1??7??????0??x2??8?。

?2??x3???4??????6?4??x?4???解：因为系数矩阵A为对称正定矩阵，应用平方根法，A可分解为A?LLT即如下形式：

?41?1??13?1??1?15??0020??l11??0??l21?2??l31??4???l41lll223242ll3343??l11?????????l44???ll2122lll313233llll??42?，按照矩阵乘法展开与原矩?34??44?41阵对比整理得：l11?2，l21?12，l31??12，

311，11，?0，???l41l42?0。l32l22222第 - 37 - 页

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l33?50，22，156。

??ll434451150?2?11?122?b，即：????12?31122??0?0?T先解方程组LY5011225???y???1??7???y??8?， ??2??????y???4???3???6156???y??????4?50?解得：

Y???7256312?， ,,?,?25211550??121122311?225011?1?7???2???????25?0??x1?????x2?211?，

????6?22??x3???5??????550?x?4???156?312??????50??5?0?2???再解LTX?Y，即：????????解得：X??1,2,?1,2?T即为方程的解。

?2?1??x1??6???????8. 用追赶法解方程组??13?2??x2???1?。

??24?2??x3??0???????1??35???x?4???解：由题可知：矩阵为三对角占优矩阵，由追赶法知：设A的LU分解为：

?2?1??a1????13?2????r2??24?2??????35?????1???????????a4?????11arar23?1234???，按照矩阵乘法展开与原矩阵对??3??1??比可得：a1?2，???1，a?5，???4，?12，???5，a4?5，

23122625a35r4?40，6r3??2，r2??1。

?2??y1?T?????6?5???1??8471，即：，解得： ?b??，??y21Y?2?3,,,???????????0?5345?212????y53???????1??40?5????y6???4?下面解此方程组，先解LY再解，UX?Y。即：

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1??1?2??1???????3????????x1?8?????5?，解得：??x2???4??????6??x3??3????5??x4??71???1???45?4?51X??5,4,?3,2?即为方程的解。

T9. 设向量x?解：

?4,2,?1,10?1?i?4T，求

x，

?xi，

1xx。

2x??maxxi?10，

x1??i?14x?17，

2???xi?i?142?11。

10. 设A?Rn?n为非奇异矩阵，x为Rn的一种向量范数，定义

xA?Ax，证明

x也是

ARn的一种向量范数。

1非负性证明： ○

xA?Ax?0，

?A为非奇异矩阵

?对x?0,Ax?0。当且仅当：

2齐次性○

xAA?Ax?0?Ax?0?x?0。

?xA1p??Ax??Ax??x。

A3○

x?yn?A?x?y??Ax?Ay?Ax?Ay?TxpA?yx?.。

A11. 记

p??xx???xi?其中x??x1,x2,??????xn?，证明：limp???i?1?p?p。

证明：

xp??max1?i?nxi??i?1pnxi??max1?i?ni?1pnxi?n?max1?i?n1p1?i?nipxi1p，

1两边同时开次方得：

p两边同时取极限得：由两边夹得：

x???xp?n?max?limp??x?nxp，

?xp?limp??x。

?x?limnp??1px??x。

?limxp???x1?1?2?12. 设A????，求

??21?A，

?A1，

Ani?1，??A?。

2解：

A??max?aij1?i?nj?1n?3，

A?max?aij?3，

1?j?nA2??max?ATA?，

先解：ATA???1?2??1?2??5?4???????，由线性代数特征向量的知识可知：

?21?21?45??????第 - 39 - 页

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??544?E?A???5，并令上式等于0，解得：?1?1，?2?9，所以：

A2 ?9?3，

又因为A为对称矩阵，所以：??x??A2?3。

13. 设A,B?Rn?n均为非奇异矩阵，?表示矩阵的某一种算子范数，证明 （1）

A?1?A?1；（2）

A?1?B?1?1?A?1?B?1?A?B。

证明：(1) 1?E?（2）

A?1A?A?1?A，变形即：

A??1??11?AA?1。

A?1?B?1?B?1?A?A?A?B?B?1?1A??A?B??BF?1。

?。

1214. 设A?Rn?n为对称矩阵，?2，?1，证明：

????为A的特征值，证明nA22??1??22??????n?A2FT22T???aij，又因为A为对称矩阵，故有A?A，所以有：AA?A，

i?1j?1nn2由?1，?2，…?n为A的特征值，由线性代数的知识可知：?12，?2，…?2是的An222特征值，且（?1。 ??2??????n?th迹）

2?a11?Ta12AA?????????a1naaa2122???2n??a11?????n2??a21????????????????ann????an1???n1aaaaa1222???n2?????n2? ???????????ann??1n???aa

?n2??aj1?i?1?????????????所以：???????n2??ajn?i?1?12?ai?1n2j2?1??2??????n???aij?j?1i?1222nn2A2F。

即：15. 设A?R证明：

An?nF?2。

??12??22??????n?，试证明1nAni?1F?AT2?A。

FA22??max?A?TA???i?A?AA?22F???maxi?1n?A?TA?nA22，两边开平方，

即：

A2?AF?nA，两边同除以n，得：

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数值计算方法配套答案

?1?10. 设A??21?16????10?A1K?0，但对于A2??1?，证明limk???1??4?2?120??A2K不存在。 1?时，limk??2?解：根据上述极限存在的充要条件可知，这里通过普半径来验证其存在性。 （1）令行列式?E?A?1???16211????????0，得：??A1???1，收敛，极限存

21?2???20在。

（2）令行列式?E?A?2原极限不存在。

11. 设方程组???11?41??1????1??????0，得：??A2??1，发散，故

2????20?a11x1?a12x2?b1，a11?a22?0，证明解此方程组的Jacobi迭代法与

?a21x1?a22x2?b2Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散；并给出两种迭代法收敛的充要条件。

?a11证明：将方程组表示成矩阵形式，即：??a21a12??x1??b1???????， a22??x2??b2???a12??0???0a12?????0??a211???a21?????a22??a22??a12?a11?， ?0????1?首先应用Jacobi迭代法a11?1B0?D?L?U??????a21??令行列式：?E?B0?a12a11a21a22??2??a12a21?0，解得：??B0??a11a22a12a21。 a11a22再应用Gauss-Seidel迭代法：G??D?L??1?aU??11?a210??0?a12??? a22??00???1?1?a22?a11a12??a21a12a21??0?a11a22?0??0?a21???， ?????a11??00??a12a21?0?a11a22????令行列式：?E?G?a12a21a11a22a12a21a11a22?0，解得：?1?0，?2?0??a12a21，所以普半a11a22第 - 46 - 页

数值计算方法配套答案

a12a21。当a11a22径：??G??a12a21a11a22?1时，同时收敛，当a12a21 ?1同时发散。

a11a22?10??x1??1??1?????，12. 给定方程组??0.251不进行计算，试判别用Jacobi和Gauss-Seidel?0.5?0x??2?????0?????0.51??x3????0?迭代解此方程组的收敛性，若收敛，哪种迭代收敛快？

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：通过观察此方程为对角占优矩阵，由定理可知：当0???1时，方程SOR迭代收敛，且?越小收敛又快。

13. 试说明Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵G??D?L?U中至少有一个特征值等于零。

?1证明：由线性代数的知识可知：G??1??2??n，又因为：G??D?L??U?0，

?1而：?D?L??1所以：U?0，又因为U为上三角矩阵，所以：G??1??2??n ?0，

中至少有一个为零。

kk?0?2?1??x1??1??k?1??x????Ax???bx14. 已知方程组?，对任意，若用迭代公式x????x?????12??2??2???求解此方程组时，

（1）?的取值范围，使迭代公式收敛； （2）?取何值时，收敛速度最快？ 解：由?2?2?1?，根据x?k?1??1??x1??1?，可知A????????????12???12??x2??2??k?1?k?x????Ax???b

kk??x可得：

k?k?1???1???x????b，?Bx???f，对照公式x可知此时：B?1??A

设?为A的特征根，则B的特征根为：1???， 令行列式：?E?A??1????22???2?1?0，解得：?1?1，?2?3， ???1??2??所以B的特征值为：1??，和1?3?，要想收敛则B普半径为：

2?1???1??B??max?1??,1?3???1，解不等式组：?，解得：。 0????31?3??1??（2）由定理可知?越小收敛速度越快。

?1???1由解析几何的思想：?，且：??B??max1??,1?3?。 ?1?3??1????

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数值计算方法配套答案

???1???的函数，化简不等式组可得：?????1，图像如下：

????1?3?????3??1我们把?看成是?

解最小交点坐标：即：3??1?1??，解得??

1，此时收敛最快。 2

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数值计算方法配套答案

模拟试题

一 填空：（每空3分，共30分）

1. 用迭代法xk?1?xk???xk?f?xk?，求方程f?x??x?x?x?1?0的根，要使迭代

32序列?xk?具有平方收敛，则??xk?= 即可。

2. 使用松弛法（SOR）解线性方程组Ax?b时，松弛因子?满足 条件时一定发散。

?210?3. 设A2??a,2?要使limAk?0，则a应满足 k???0,0.5?4. 区间?a,b?上的三次样条插值函数s?x?在?a,b?上具有直到 阶的连续导数。 5. 设A???1,a?T当满足条件可以分解？其中L为具有正对角元的下三角矩阵，此LLaA???1,2?时L=

6. 测得某圆锥的底圆半径r??3.150，高为h?7.84，单位（cm）今取???3.14。若用此三个值计算圆锥体积V?1?12?rh时，则V的误差限为 3nn7. 已知求积公式?f?x?dx??Akf?xk?满足：?Ak?2，?Akxk?0，?Akxk2?2，则

?13k?0k?0k?0k?0此公式至少具有 次代数精度。

8. 向量X??x1,x2,x3?,则x1?x2?2x3 是一种向量范数（一定，不一定，一定不），而x1?3x2?x3 是一种向量范数（一定，不一定，一定不） 二 计算题：

1. 下面的数据取自一个多项式，试用Newton插值公式确定这个多项式的次数，并求出这个多项式。 Tnnx i-2 -5 -1 1 20 1 1 1 2 7 3 25 p?xi? 2. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式，使它与下列数据拟合

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数值计算方法配套答案

xy ii19 19 1 25 32.3 1 31 49 1 38 73.3 1 44 97.8 1 ? i3. 试确定函数p?x?,q?x?，使迭代公式xk?1?xk?p?xk?q?xk??q?xk?f2?xk?产生的序列

?xk?至少三阶局部收敛到f?x??0的根x?。

1?h?b?3?n?1nn?14?时，方法是二阶的，当b??1时方法是三阶的。

4. 证明：线性二步法，y??b?1?y?by?fn?3??3b?1?fn?1?，当b??1??21??x1??1????=?2?试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上 三角1315. 设方程组????x2????111??x??2????3???21?????0??x4?矩阵之积，即A?LU，然后用你的分解解此方程组。

?1aa??x??0?16. 已知方程组?4a10?????1?试给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-seidel迭

???x2????????a01????x3??0?代法的收敛的充要条件。

7. 设x方程fI?X??0的m重根m?2，证明Newton迭代法仅为线性收敛，若用迭代公式

?xk?1??m

f?xk?fI?xk?，fI?xk??0则可至少达到二阶受敛，给出证明。

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