节微分方程模型

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤： （1）把用语言叙述的情况化为文字方程； （2）给出问题所涉及的原理或物理定律； （3）列出微分方程；

（4）列出该微分方程的初始条件或其他条件； （5）求解微分方程；

（6）确定微分方程中的参数； （7）求出问题的答案。

下面，通过几个具体的例子来说明。

[例8.3.1] 高为1m的半球形容器， 其底部有横截面积为1cm2的小孔，水从小孔流出（见图8.3.1）， 开始时容器内盛满了水，求水面高度变化规律及水流完所需时间（由力学

知识，若水从孔口流出的流量为Q，则积，S为小孔的面积）。

，其中V为通过小孔水的体

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图8.3.1

解：因为S＝1cm2，故 另一方面，设在时间间隔

其中r为时刻t 的水面半径。又因 故

比较（8.3.1）与（8.3.2）式，有

内，水面高度由h降至

则有

此为未知函数h(t)应满足的微分方程。又由于开始时容器内水是满的，故得初始条件

式（8.3.3）是变量可分离方程，变形得

两边积分得

代入初始条件（8.3.4），可算出

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则小孔在流水的过程中，水面高度与时间的关系为

将h=0，g=980代入上式，得t=10677.2秒，即经过10677.2秒之后水流完。

[例8.3.2] 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止 开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需的时间（空气阻力忽略不计）。

解：取连接地球中心与该物体的直线为y轴， 其方向铅直向上，地球中心为原点，如图8.3.2所示。

图8.3.2 地球引力示意图

设物体质量为m， 物体与地球中心距离为l，地球半径为R，为t时刻物体所在的位置。于是，根据万有引力定律：

其中M为地球的质量，k为引力常数。若设为速度，则， 且当y=R时，

（负号是由于物体的加速度方向与y轴正向相反），故

可化为

，于是式（8.3.5）

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将代入式（8.3.6），得可分离变量方程

解该方程，并利用初始条件

，得

令y=R，即可求出物体到达地面时的速度

再由式（8.3.7），有

即

解之，并由初始条件

，得

令y=R，便得物体到地面所需时间为：

[例8.3.3] 溶液混合问题

设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试建立容器中浓度与时间关系的数学模型。 设容器中溶液溶质的质量为 在

， 原来的初始质量为

，

时溶液的体积为

。

的时间间隔内， 容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量，

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即

其中c1为输入溶液的浓度，c2为t时刻容器中溶液的浓度

用

除式（8.3.8）两端，并令

得

这就是混合溶液的数学模型。该模型不仅适用于液体，也适用于气体、固体。 二、医学问题

医学是研究疾病防治的科学，它涉及到疾病的传播与预防、疾病的诊断与预防等各个方面， 由于任何疾病的发生、 发展和结局，除诱发疾病的外部条件外，主要取决于人体本身的状态和防御功能的强弱，这是十分复杂的生理现象，因此给用数学模型探讨一种疾病的机理带来了很大困难。下面介绍传染病的传播问题和服药问题。

[例8.3.4] 传染病的传播问题

本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们通过建立传染病传播的模型，比较圆满地回答了这些问题。

传染病的传播涉及因素很多，不可能通过一次简单的假设就能建立起完善的数学模型，这里的方法是，先做出最简单的假设，看看会得到什么结果，然后针对不合理或不完善处，逐步修改和增加假设，得到比较满意的模型。 模型Ⅰ 假设：

（1）每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0。 （2）一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 记时刻t的得病人数为

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，开始时有个传染病人， 则在

时间内增加的病人数为

于是得

其解为

这个结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，当时，，显然与实

际明显不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数），在传染病传播期间，一个病人单位时间能传染的人数k0则是在改变的。在初期，k0较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小。所以应该对模型Ⅰ的假设进行修改。 模型Ⅱ

记时刻t的健康者人数为 假设：

（1）总人数为常数n，且

（2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。

（3）同模型Ⅰ的假设2），即一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 据假设（2），式（8.3.10）中的k0应变为k

，即

， 当总人数不变时，k0应随

的减少而变小。

将式（8.3.12）代入上式得

其解为

～t曲线见图8.3.3，这个模型可用来预报传染病较快的疾病前期传染病高峰到来的

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时间，医学上称了8.3.4所示。

为传染病曲线；它反映了传染病人的变化率与时间的关系，如图

图8.3.3

图8.3.4

由式（8.3.15）可得

令

，得极大值点为

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由此可见，当传染强度k或n增加时，t1都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。 此处的k可由经验和统计数据估计，但由（8.3.15）式，当

时，

这

意味着最终人人都将被传染，显然这与实际不符，其原因是假设(3)不合理，应进一步改进。 模型Ⅲ

我们将人员分成3类：第一类是传染者(i)类；第二类是易受传染者(s)类；第三类是排除在外者(r)类，第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的；第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的； 第三类包括患病死去的人、 痊愈后具有长期免疫力的人以及在痊愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人。令示在时刻t的第一、二、三类的人数。 假设：

（1）总人数为常数n，则

，

和

分别表

（2）同模型Ⅱ的假设（2） （3）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比， 比例系数为L（恢复系数）。 由假设（3），有 由于引人了

上式表示单位时间内病人人数的增加应等于被传染的人数减去病愈的人数。 从式(8.3.18)～(8.3.20)中消去di，并设

，

，得

，则模型II的方程（8.3.13）式应改为

为求其解，记（8.3.21）可得

，称为特征指标，对同一地区，同一种传染病，是常数。由式

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其解为 于是

再解上式得 其中

注意到

，故当

很小时

又因

，所以

上式表明，当 今设

很小（

时，根本传染不开；只有

很大时，才存在传染问题。 ，则

，只有这时才有传染问题），且

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因表示最终免疫的人数，也即最终痊愈的人数。显然，这也就是传染病传染的

人 数，于是由式（8.3.24）可知：

（l）对于同一地区， 同一传染病所传染的人数大体上是个常数结果一致。

，这个结论与统计

（2）当恢复系数L变大，传染强度k变小时，变大，相应变小，从而传染病

传染的人数

也就减小。

（3）由于可视为总人数，染病学上称为阈值。

所以传染病传染的人数是以上人数的两倍。在传

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