概率习题七详解（修）

习 题 七 （A）

1、设样本X1,X2,?,Xn取自服从几何分布的总体X，其分布列为

P(X?k)?p(1?p)k?1 , k=1,2,……

其中p未知，0

解 因为总体X服从参数为p的几何分布，故E(X)?1， p令 E(X)?1?X p1 X??解得参数p的矩法估计量为 p2、设总体X~B(n,p)，从总体X中获取样本X1,X2,?,Xn，求出参数n、p的矩法估计量。 解 因为总体X的一阶原点矩为E(X)?np，二阶中心矩为D(X)?np(1?p)。样本的一阶原点矩

2为X，二阶中心矩为Sn，则令

??np?X ?

2??np(1?p)?Sn2?X???n2?X?Sn ?

2?Sn??1??pX?2X?SnX????解得参数n、p的矩法估计量为n，p。 2X?SnX2?2?(a?x)0?x?a3、设总体X的密度函数为p(x;a)??a2，从中获得样本X1,X2,?,Xn，求a的

?0其它?矩法估计量。

a解 因为总体X的数学期望为E(X)??x02a (a?x)dx?3a2令

a?X 31

??3X 解得参数a的矩法估计量为 a4、设X1,X2,??,Xn是取自下列指数分布的一个样本：

?1?x??e p(x;?)?????0x?0x?0

证明X是?的无偏、一致估计，并求出X的方差。

证 因为

E(X)?E(X)?1?? 1?所以X是?的无偏估计。而X的方差为 D(X)?1111D(X)????2 nn1n?2 又因为，对于任意的??0，有 P(X????)?D(X)?2?2?2 n??2?0 limP(X????)?limn??n??n?2即

limP(X????)?0

n??成立，故X是?的一致估计。

5、设总体X服从参数为?的泊松分布，从中抽取样本X1,X2,?,Xn，求?的极大似然估计。 解 因为总体X~P(?)，分布列为p(x;?)?n?xx!e??

则似然函数为L(x;?)??(x!ei?1in?xi??)???xii?1?x!ii?1ne?n?

对数似然函数为 l(x;?)?

?xln??ln?xii?1i?1nni?n?

2

?d1n求关于?的导数，得 l(x;?)??xi?n?0

d??i?11n?解得 ???xi?x

ni?16、设X服从几何分布P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?,从中获得样本X1,X2,?,Xn，求p与

E(X)的极大似然估计。

解 因为X服从参数为p几何分布时，有

E(X)?1 p故应求出参数p的极大似然估计，故应写出似然函数为 L(p)??p(1?p)i?1nnxi?1

?p(1?p)i?1则对数似然函数为

l(p)?nlnp?(求参数p的导数

n?xi?n

?xi?1ni?n)ln(1?p)

n?n1 l(p)??(?xi?n)?pp1?pi?1令

nn1 ?(?xi?n)?0

p1?pi?1n n(1?p)?(解得

?xi?1i?n)p

??pn?xi?1n?i1 x 由极大似然估计的不变原则，可知总体期望E(X)的极大似然估计为

E(X)?x

? 3

1??X7、设总体的密度函数为p(x;?)?e， ???x??，从中获得样本X1,X2,?,Xn，求参

2?数?的极大似然估计。

解 因为似然函数为 L(x;?)?xi1nx1??1ne?()e?2?i?12?n?xi??i?1

取对数得l(x;?)??nln2?nln??1???xi?1ni

dn1求导数l(x;?)???2d????xi?1ni?0

1n???xi 解得参数?的极大似然估计是?ni?18、某商场每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为?，方差为?，长期以来?稳定于0.4，现随机抽取的五天的利润率为：

?0.2，0.1，0.8，?0.6，0.9

试求?的置信水平为0.95的置信区间。

解 设该商场每天每百元投资的利润率为X，则总体X~N(?,?2)。由于长期以来?稳定在0.4，可以认为总体X的方差?2222?0.4已知，故应选取枢轴量

U?X???n~N(0,1)

对于给定的置信水平为1???0.95，利用标准正态分布表，确定出0.975的分位数为u0.975?1.96，再由来自总体容量是5的样本值，计算出样本均值为 x?0.2

故得到总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为 x?u0.975?n?0.2?1.96?0.45?[?0.354,0.754]

9、某化纤强力长期以来标准差稳定在?=1.19，现抽取了一个容量n?100的样本，求得样本均值x=6.35，试求该化纤强力均值?的置信水平为0.95的置信区间。

解 设该化纤强力为X，则总体X~N(?,?)。由于长期以来标准差?稳定在?=1.19可以认为，总体X的方差??1.19已知，故应选取枢轴量

222 4

U?X???n~N(0,1)

对于给定的置信水平为1???0.95，利用标准正态分布表，确定出0.975的分位数为u0.975?1.96，再由来自总体容量是100的样本值，计算出样本均值为 x?6.35

故得到总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为 x?u0.975?n?6.35?1.96?1.19100?[6.117,6.583]

10、某行业职工的月收入服从N(?,?2)，现随机抽取30名职工进行调查，求得他们的月收入的平均值x?696.20元，标准差S?136.10元，试求?的置信水平为0.95的置信区间。

解 设行业职工的月收入为X，则总体X~N(?,?2)，并且总体方差?未知。故对于来自总体X容量为30的样本，可以选择随机变量

2T?X??Sn~t(n?1)

不含有其它未知参数，可以作为枢轴量。由于给定的置信水平为0.95，自由度为29，则t分布的0.975的分位数为t0.975(29)?2.0452。

利用样本值计算出的平均值x?696.20，标准差S?136.10，可以求出参数?的置信水平为0.95的置信区间为 x?tS?21?n?696.2?2.0452?136.130?[645.38,747.02]

故此知该行业职工的月收入在645.38元到747.02元之间的概率为0.95，即置信水平为0.95。

11、某单位职工每天的医疗费服从N(?,?2)现抽查了25天，得x?170，S?30元，试求职工每天医疗费均值?的置信水平为0.95的置信区间。

解 设该单位职工每天的医疗费为X，则总体X~N(?,?2)。由于样本容量为n?25是小样本，而总体标准差?未知，故应选取枢轴量 T?X??~t(n?1) Sn 对于给定的置信水平为1???0.95，利用自由度为24的t分布表，确定出0.975的分位数为

t0.975(24)?2.0639，再由来自总体容量是25的样本值，计算出样本均值与标准差为

x?170， S?30

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