理论力学

静力学

例1 图示结构，各杆重不计。已知：L?2m，

F1?F2?200kN。试求A、B、C的约束力。

分析：此题为一个刚体系统的平衡问题，考虑选择整体为研究对象，恰好有三个未知约束力，应用平面任意力系平衡方程，可以解得A、B处约束力。 求C处约束力，必须解除C处约束，可以选刚体ADCH为研究对象，或选CEB为研究对象，分析两种选择方法，都出现4个未知约束力，因此选一次研究对象不可能解出C处的所有约束力。考虑ADCH和CEB受力特点，也可以分别选两个物体为研究对象，采用灵活的方程形式，避免解联立方程，求出C处约束力。

解：（1）取整体为研究对象，受力如图。 由平面任意力系平衡条件得

?MA?F??0，FB?2L?F2?2L?F?3L?0 ?Fy?0，FB?FAy?F2?0 ?Fx?0，F1?FAx?0

解得 FE?500kN，FAy?300kN，

FAx?200kN

（2）取刚体ADCH杆为研究对象，受力如图所示。由平面任意力系平衡条件得

?MD?F??0，FCx?L?F1?2L?FAx?L?0

解得 FCx?600kN （3）取刚体CEB杆为研究对象，受力如图。 由平面任意力系平衡条件得

?ME?F??0，

FB?L?FCx?L?FCy?L?0

解得 FCy?FCy?100kN

例2 人字形梯子放在光滑地面上，人重FP，站在G点，尺寸如图。求绳子DE的拉力和C铰处的约束力。 分析：求C处约束力和绳子的拉力，必须选择AC或BC为研究对象，但都有四个未知约束力，必须先确定一个未知约束力。因此可以考虑整体为研究对象，A、B

处为光滑面约束，有两个未知约束力，力系为一个平行力系，因此可以得到A或B处的未知约束力。然后可以选择AC或BC为研究对象，为了使方程中出现的力较少，可以选AC为研究对象。

解：（1）取整体为研究对象，受力如图。 由平面任意力系平衡条件得

?MB?F??0，

?FA?L?FP?Lcos60?3/4?0

0解得 FA?3FP/8

（2）取ADC为研究对象，受力如图。由平面任意力系平衡条件得

?Fy?0，FA?FCy?0

12Lsin600?MC?F??0，F??FA?Lcos600?0

?Fx?0，F?FCx?0

143FP，FCx??143FP

解得 FCy??3FP/8，F?

习题1 均质圆盘重450N，置于墙与倾角为??的杆AB间。AB杆由铰链A与撑杆BC支持如图。已知：AB=L，AD=0.4L，各杆重及摩擦不计。试求：支座A、C的约束力。

提示：先取取盘为研究对象可以求出D处约束力，再取AB杆为研究对象。可以求出A、C处约束力，注意BC为二力杆。

习题2 图示起重机的平面构架，自重不计。已知：F=100kN，L=70cm，B、D、E为铰链联接。试求：A、C处的约束力及杆BD的内力。 提示：假设圆轮半径为R，取整体为研究对象。再取EC为研究对象，BD为二力杆。

答案：FC?150kN ， FAy??50kN，

FAx??100kN，FD?100kN

习题3 结构如图，自重不计，已知：FP=4kN，AD=DB，DE段绳处于水平。试求：A、B处的约束力。 提示：先取整体为研究对象求出A处水平方向约束力，再取AB为研究对象求出A处竖直方向和B处约束力。

答案：FAx??3kNFBy??1kN，FAy?1kN，

，FBx??1kN

运动学

例题1： 如图所示半径为R的半圆形凸轮沿水平面向右运动，使杆OA绕定轴O转动，OA=R，在图示瞬时，杆OA与铅垂线夹角??30?，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的速度为u，加速度为a。试求该瞬时杆OA的角速度和角加速度。

解 选取OA杆上的端点A为动点，动系与凸轮固连，定系与固定底座固连。动点A的绝对运动是以O为原点、以OA长为半径的圆弧运动；相对运动是沿凸轮表面的圆弧运动；牵连运动是随凸轮向右的水平直线平移。

（1）求OA杆的角速度?OA，根据速度合成定理

va?ve?vr （1）

大小 ？ ? ? 方向 ? ? ？

做出速度合成平行四边形如图(b)，因为 ve?u，所以

ve2cos?u2cos30?u333va?vr????u

故OA杆的角速度

?OA?vaOA?33Ru （逆时钟）

（2）求OA杆的角加速度，根据牵连运动为平移时的加速度合成定理

aa?aa?ae?ar?ar

?n?n（2）

大小 ？ ? ? ？ ? 方向 ? ? ? ? ?

做出相应的加速度矢量图如图（b），沿? 轴投影上式得

?nn aacos30??aasin30??aecos30??ar

所以

aa??13(ae?2a?a)?nrna13(a?2?u23R?u23R)?233(a?u23R)

故OA杆的角加速度 ?OA?aaOA??33R(a?uR)

例题2： 在图示平面机构中，半径为R的半圆形板与曲柄OA和O1B铰接，OA=O1B=l，OO1=AB=2R。当曲柄OA转动时，通过半圆形板可带动顶杆MN上下运动。在图示瞬时，曲柄OA的角速度为?，角加速度是零，与水平线O1O的夹角??60?，MC与铅垂线的夹角也为? ，试求该瞬时顶杆MN的速度和加速度。

解 当半圆形板运动时，推动顶杆MN沿铅直导槽上下平移，因此，顶杆MN的运动可由其端点M的运动来代表。

选取MN杆上的端点M为动点，动系与半圆形板固连，定系与机座固连。动点M的绝对运动是沿直导槽的直线运动，相对运动是沿半圆形板表面的圆弧运动。牵连运动是随半圆形板的曲线平移。

（1）求MN杆的速度vMN 根据速度合成定理

va?ve?vr

（1）

大小 ？ ? ？ 方向 ? ? ?

因为半圆形板做平移，所以ve?vA，即ve?vA?l?，做出速度合成平行四边形如图（b）所示。由图可得

va?vecos??l?cos60??2l? ; vr?vetan??l?tan60??3l?

故MN杆的速度大小 vMN?va?2l? 方向铅直向上。 （1） 求MN杆的加速度aMN

根据牵连运动为平移时的加速度合成定理

?n aa?ae?ar?ar （2）

大小 ？ ? ？ ? 方向 ? ? ? ?

n做出相应的加速度矢量图，沿MC方向投影式（2）得aacos??ar，即

aa?arncos??vr2Rcos60?2?6lR2?

2故MN的加速度大小 aMN?aa?

6lR?（方向铅直向下）

2例题3：图示瞬时，杆AB与水平面的夹角?和斜面与铅垂线的夹角θ相等，且cos??0.8，sin??0.6。这时A端滑动的速度、加速度分别为vA?0.36 m/s，aA?0.2 m/s，方向如图（a）所示。

2设杆长AB = l＝2 m，试求B端沿斜坡滑动的速度和加速度；杆AB的角速度、角加速度。

分析 这是一个刚体的平面运动问题。可以应用基点法先求解速度问题，然后再求解加速度问题。为便进一步了解各种方法的特点，这里还给出了采用其它方法

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