首都师范大学数科院姚芳老师微格课程口试考试45题答案

首都师范大学数科院姚芳老师微格课程口试考试45题答案

口试题1：如何向学生解释清楚下列推理中错误的实质：

A 如果一个三角形是直角三角形，那么，斜边的平方等于直角边的平方和； 在一个给定的三角形中，一边的平方等于其他两边的平方和； 所以，这个给定的三角形是直角三角形。

解释实质：逻辑错误，不存在因为所以的关系，一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。但结论是正确的，是充分必要条件。 B 如果一个数的末尾数字为5，那么它能被5整除； 一给定的数被5整除；

因此，这个给定的数的末尾数字为5。

解释实质：逻辑错误，不存在因为所以的关系，一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。这个给定的数的末尾数字可以为0。是必要不充分条件。 C 一切棱柱都是多面体； 一给定几何体不是棱柱；

所以，这给定的几何体不是多面体。

解释实质：逻辑错误，不存在因为所以的关系，一个命题是真命题，它的否命题不一定是真命题。这个给定的几何体可以是棱锥，圆柱，圆锥，台体等，但仍是多面体。是必要不充分条件。 D 菱形是平行四边形； 正方形也是平行四边形； 因此，正方形是菱形。

解释实质：推理过程错误，应该采用三段论的推理形式。前两个判断应该是前提，后一个判断是结论，应该表示为：M—P，S—M，S—P（其中P表示大项，为结论中的谓项，M表示中项，为两个前提所共有的而在结论中消失的，S表示小项，为结论中的主项）。显然，第二个前提的谓项应该改为菱形。 E 有理数是实数； 无理数也是实数；

因此，无理数是有理数。

解释实质：推理过程错误，应该采用三段论的推理形式。前两个判断应该是前提，后一个判断是结论，应该表示为：M—P，S—M，S—P（其中P表示大项，为结论中的谓项，M表示中项，为两个前提所共有的而在结论中消失的，S表示小项，为结论中的主项）。 显然这个结论不成立，有理数和无理数是两个交集为空集的集合。

F 有些实数是有理数； 有些实数是正数；

因此，有些有理数是正数。

解释实质：实数分为有理数和无理数，还可以分为正数负数和零。但是，并不能由此推断有理数和正数是否存在包含与被包含的关系。 G 如果一整数被2 和3整除，那么它被6 整除； 一给定数不能被6整除；

因此，这给定数不能被2整除且不能被3整除。

解释实质：如果一个命题是真命题，那么它的逆否命题也是真命题。但是上述结论的逆否命题表述有误。一个整数被2和3整除的否命题是不能被2或3整除。

H 如果a=0或b=0，那么，ab=0； 但是，ab≠0；

因此， a≠0或 b≠0。

解释实质：如果一个命题是真命题，那么它的逆否命题也是真命题。但是上述结论的逆否命题表述有误。a=0或b=0的否命题是a≠0且b≠0.

口试题2：解释数学命题（对每一种请举例说明），并举例说明数学命题的思维特征和基本类型。

一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。命题包括公理（如过两点有且只有一条直线）、定理（如垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧）、公式（如圆的面积=圆周率×半径×半径）、法则（如乘法法则）、数学对象的性质（平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等,邻角互补，对角线互相平分 ）。 思维特征：1.命题是思维表现的基本形式。 2.命题是概念相互联系的形式。 3.数学定义不是数学命题。

4.推理是由已知命题得出新命题的过程。 基本类型

性质命题 简单命题

命题 关系命题 否定命题 复合命题 联言命题 选言命题 假言命题 口试题3： 解释“数学教学设计”，并说明数学教学设计的过程包括哪些环节？选择一个数学命题来分析说明数学命题教学设计中的教学结构？

教学设计：教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学方案的过程。它是一门运用系统方法科学解决教学问题的学问，它以教学效果最优化为目的，以解决教学问题为宗旨。具体而言，教学设计具有以下特征。

第一，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。教学设计要遵循教学过程的基本规律，选择教学目标，以解决教什么的问题。

第二，教学设计是实现教学目标的计划性和决策性活动。教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

第三，教学设计是以系统方法为指导。教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

第四，教学设计是提高学习者获得知识、技能的效率和兴趣的技术过程。教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。

教学设计的环节：教学内容（注明书名、章节、页码）、教学目的和要求、课型、教学重点和难点、教学方法、教具、板书设计、教学过程（教学引入、教学讲

解与分析、教学巩固）。

教学结构分析：例如：垂径定理 ② CD是直径、AB是弦 ① AE=BE AC=BC② ② CD⊥AB ③

AD=BD

口试题4：解释当前数学课程中数学教学目标的基本要求，说明（在中国）数学教学在认知领域的数学教学目标一般分为几种水平，并结合你的微格教学实践谈谈你的教学目标设计。

基本要求：学好数学基础知识、掌握数学基本技能是中学数学教学最基本要求，也是学生发展所需的基础和先决条件。

培养和发展学生的基本能力是现代数学教学目的之一。 注重数学教学当中的思想教育以及美育。 教学目标水平分为：了解、理解、掌握、灵活运用。

教学目标设计：注重三维目标的设定。1、知识与能力2、过程与方法3、情感态度与价值观。另外，以学生需求为出发点，注重教学的生成性。

口试题5：分析几何定理证明的教学结构，并阐述可用于立体几何中证明直线与平面垂直的定理以及概念，简要介绍定理的证明方法并谈谈相关内容的教学要求。

教学结构：1.在已有的知识中找到与新命题相联系的数学知识，经语义加工而明确新命题的前提和结论。

2.利用已有数学问题解决的经验，明确新命题的前提与结论的内在联系。 3.明确新命题与已有的数学知识之间的区别。

概念：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则~ 定理：1.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 证明方法：已知：直线a‖b,a⊥平面M.求证：b⊥平面M. 证明：设直线m是平面M上的任意一条直线， ∵a⊥平面M, ∴a⊥m, 又a‖b, ∴b⊥m.

由直线垂直平面的定义，知b⊥平面M.

2.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 证明方法：设平面M垂直于平面N，交线为c

在平面M内作直线a垂直于c，垂足为O，在平面N内过O点作c的垂线b， 则a,b所成的角就是二面角M-c-N的平面角，从而 a垂直b，又b,c是平面N内的相交线，

所以 a垂直于平面N

教学要求：1.直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理。

2.以空间几何的公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出一些判定定理和性质定理。

3.运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

口试题6：分析几何定理证明的教学结构，并归纳概括出平面几何中可用于证明两条线段相等的定理（至少六个定理），以其中一个定理为例分析其教学结构。 教学结构：1.提出问题 2.探索问题 3证明问题 4练习

三角形：等角对等边；全等三角形对应边相等；线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等；直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等； 四边形：利用平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质

圆：垂径定理及其推论；弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角等相关定理（如：同弧所对弦相等）

口试题7：分析和综合是重要的数学思维方法之一，举例对分析和综合的特点进行解释。分析法和综合法是重要的数学证明方法，请说明分析法和综合法的含义。

?请用分析法证明：设a，b，c?R，且a?b?c?1，求证：a?b?c?3。

综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要结论。

分析法是从结论出发，逐步寻找使结论的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件，定理，公理，定义等。

证明：算术平均数?平方平均数（符号打不出来，参照希发的paper）

口试题8：公式的教学是命题教学中的一项重要内容。请说出等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，并说明进行这些内容的教学设计中的重点和难点 重点：1公式与推到过程2概念的理解（如等差数列：前项与后项的差是个定值） 难点：公式的应用和特点的理解

口试题9：数的概念贯穿于整个中小学数学中，分析归纳初中和高中数学中数的概念，它们是如何定义的？这些概念之间的关系是什么？在不同阶段的教学中应注意的问题是什么？

初中：强化有理数的概念，弱化无理数的概念。有理数又分为整数和分数。 高中：数的概念扩展到实数，实数分为有理数到无理数。

口试题10：高中数学中的《推理与证明》包括哪些内容？解释其教学结构及整体教学目标，并选择一堂课设计一个教学过程（教学设计中的环节之一）（用4分钟说课）。

推理与证明包括1合情推理与演绎推理2直接证明与间接证明

口试题 11：归纳推理有哪两种？是否它们都可以作为证明方法？请举例说明归纳推理在数学教学中的作用并说明有关归纳推理内容在中学数学教学内容中的安排情况。

口试题12：义务阶段将数学课程分为哪四个领域？举例说明第一个领域中课程内容的增减及其依据是什么？对第二个的领域进行了什么推广，为什么进行这样的推广？

口试题13：设计一种向高中（高二）学生讲解数学归纳法原理和方法的教法。

口试题14：以“直线和平面平行的判定定理”为教学内容，确定教学目标，教学重点和教学难点，并设计教学过程进行简单说课。 一、教材分析

“直线与平面的平行的判定”是普通高中课程标准数学实验教科书人教A版必修2第二章第二节第一讲的内容，是在学习了点、线、面的位置关系以后，进一步研究直线与平面的位置关系。平行关系是本章的重要内容，线面平行是平行关系的初步，也是面面平行判定的基础，而且还映射着线面垂直的有关关系，具有承上启下的作用。教材结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认归纳出直线与平面平行的判定定理，体现出了这节内容在物理学等中的广泛运用。 基于以上对教材的分析，根究高中新课标的要求，考虑到学生已有的知识结构和心理特征，我制订了如下教学目标。 二、教学目标 1．知识与技能：

能叙述并用数学语言表述线面平行的定义和判定定理，并运用判定定理进行简单的证明。

2．过程与方法：

通过操作归纳出判定定理的过程中，培养学生观察、探究、发现的能力，提高空间想象能力、逻辑思维能力； 3．情感与价值：

通过亲身经历数学研究的过程，激发学生的学习兴趣，引导学生体会数学语言的简洁美，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 为了达到上述教学目标，我认为本节课的重难点是： 三、重点难点

重点：直线和平面平行关系判定的形成过程，通过直观类比、探究发现来突出重点；

难点：直线与平面平行判定定理的理解和应用，通过分组讨论、设计练习等教学手段来突破难点

为了突出重点，突破难点使学生达到本节课的教学目标，我再从教学方法谈谈我的思路。 四、教学方法 1、教法

本节课在教法上主要采用启发式和探究式教学方法，以启发和引导为主，采用设疑的形式，引导学生通过直观感知、操作确认逐步发现知识的形成过程， 利用课件来辅助教学，通过问题探究激发学生参与学习的积极性和主动性。 2、学法

本节课在学法上，通过创设情境，让学生经历观察、想象、思考和应用的过程建构新的知识，再通过类比、联想，使建构的知识得以完善，而在这一过程中，师生交流、生生交流，从而形成民主、和谐、互动的气氛。 接下来我来谈谈我的教学过程： 五、教学过程

1、复习旧知，引入新课

回顾线面的三种位置关系的定义。学生思考利用定义判定会有什么问题，体会其判定的抽象性，让学生参与到数学问题的发现中，提高他们学习的积极性，从而启发他们寻找新的判定定理，引入新课。

2、创设情境，探求新知

为了引导学生得出判定定理，即本节课的重点内容，=我将从以下三个环节进行： （1）直观感知，猜想定理

我将直观地通过操作活动，把门打开，门上靠近把手的边与墙面所在的平面有何关系？灯管挂平，它是否平行于天花板。由上述实例，让学生猜想出判断一条直线与一个平面平行的方法吗，接着教师引导得出判定定——平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。培养他们的观察、归纳、概括的能力。从实例出发，提高学生学习的主动性和积极性。 2）操作验证，确认定理

利用课本中的观察，即书的例子让学生动手实验，讨论交流，在操作中检验定理新，体现课标对该课时的要求——直观感知，操作验证，合情推理。 3）合情推理，适当证明

虽然课标不要求严格证明，但我会简要介绍定理的证明方法，向学生介绍反证法的思想。让学生对定理的认识，从感性上升到理性的高度，知其然，亦知其所以然。

3、应用新知，巩固提高 4、回顾反思

5、布置作业，提高升华 六、板书设计 课题 应用新知讲解例题 回顾导入 定理 回顾反思知识 设立情景 符号语言 小结 提出假设 知识的要点 作业布置 证明定理 草稿 口试题15：数学课堂教学主要需要哪几种基本教学技能？经过本课程学习之后请剖析自己作为一个职前数学教师的教学技能状况。

教学设计技能，语言技能，提问技能，讲解技能，导入技能，板书技能，反馈强化技能，变化技能，组织管理技能

口试题16：概念间的关系有哪几种？请叙述它们的定义并举例说明。

相容关系：俩个概念的外延至少有一部分重合的关系。

相容关系分为：1同一关系 俩个或俩个以上的概念内涵不尽相同，但是外延完全相同，它们之间的关系就是同一关系。

2交叉关系 俩个概念的外延部分重合，这俩者之间的关系称为交叉关系。

3从属关系 在俩个概念中，一个概念的外延被另一个概念的外延全部包含，这俩个概念之间的关系称之为从属关系。 例：蔬菜与白菜 太阳系和火星

不相容关系：俩个概念的外延互相排斥，这俩个概念之间的关系称为不相容关系。

不相容关系分为：1并列关系 并列关系是同一个属概念下的几个种概念，这几个种的外延式互相排斥的。 例 诗歌和小说 奴隶社会和封建社会

2 矛盾关系 俩个概念在内涵上互相否定，在外延上互相排斥，它们的外延之和等于属概念的外延，没有其他的中间概念，非此即彼，这样来

个概念之间的关系就是矛盾关系 例 有机化学和无机化学 唯心论 唯物论 3对立关系 俩个概念的外延互相排斥，起内涵的差别最大，它们的外延相加小于其最临近的属概念的外延。 例 进步和落后 无产阶级 资产阶级

口试题17：概念有哪几种定义方式？请叙述它们的定义并举例说明。 口试题18：概念的内涵和外延指什么？两者的关系如何？请举例明。 内涵：概念对事物的特有属性的反映。

外延：具体的、具有概念所反映的特有属性的那些事物。

关系：内涵越大,外延就越小；内涵越小,外延就越大.对概念加以外延，是建立在对概念内涵有什么掌握的基础之上的

口试题19：结合自己微格教学实践的内容说明一个数学概念教学的设计过程。 一概念的引入

1联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。2.从具体到抽象引入新概念。数学概念有具体性和抽象性双重特性。在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。3.用类比的方法引入概念。类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。

二概念的剖析及辨析。概念生成之后，应用概念解决问题之前，往往要进行概念剖析，即用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，包括对概念特性的考察，可以达到明确概念、再次认识概念本质的目的，还可以从中体会概念中所呈现的转化问题的方法，这是最基本、最重要的方法。

三相关概念的区别与联系。数学概念不是孤立存在的，概念间都有着千丝万缕的

口试题20：结合自己微格教学实践的内容说明一个数学解题教学的设计过程。 口试题21：函数概念在初中和高中阶段分别是如何定义的？怎样看待这样的安排？谈谈你的认识和教学设计思路。

初中定义：在某个变化过程中，有两个变量x,y,如果给x一个值，y就有唯一确定值与他对就，那么x是自变量，y叫做x的函数，

高中定义：y=f（x） x∈A 其中x叫做自变量 x的取值范围就是A的定义域，与x对应的y值就是函数值，函数值的集合：{ f（x）/x∈A }叫做f（x）的值域 你的认识：初中定义时只是强调x是自变量，y是应变量，而且所学函数如一次、二次，还有正比、反比函数等基本函数

而到了高中，函数定义时用到了映射概念，所学函数也升级了，有指数、对数、三角等高考必考类型函数

教学设计思路：本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念 做到深刻理解，才能正数这一章的其它 内容提供了方法和依据。 本节课采用建构主义观点的教学方式，运用直观教学法、启发教学法、课堂讨论 法。我一方面精心设计问题情景，遵循“特殊到一般”的认识规律，引

导学生主动探 索，另一方面，依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，设 置问题，倡导学生主动参与，学生通过对新旧两种函数定义的对比，在集合论的观点 下初步建构出函数的概念。在理解函数概念的基础上，建构出函数的定义域、值域的 概念，并初步掌握它们的求法。这种通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁， 使学生心理上得到认同， 建立新的认识结构， 并且在师生互动、 生生互动中不断探究、 发现，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，充分体现“教师为主导，学生 为主体”的教学原则

口试题22：函数有几种表示方法？作为教师如何认识它们的优缺点？ 函数有几种表示方法：解析法,图象法,列表法

作为教师如何认识它们的优缺点：列表法：每个自变量对应的因变量一目了然，一看就知道结果，但变化规律不是很明显，不能或者不太好推出任意一个自变量时的因变量的值。

解析法：自变量与因变量的关系一看就知道，但涉及到具体数量还要进行计算。 图像法：能够很直观的感受到整个函数的变化情况，但具体数值却不能一下子看出来！

口试题23：请阐述中学数学教学内容中的数系扩展过程，并说明在这些扩展过程中原数系的运算封闭性的变化。

封闭性：对于一个数集，如果其中任意两个数在进行一种运算后，结果仍在这个数集中，那么我们就说这个数集对于这种运算是封闭的。

自然数【加、乘】---整数【加、减、乘】（引入了负整数）---有理数【加、减、乘、除】（引入了分数）---实数【加、减、乘、除、开方】（引入了无理数）---负数【加、减、乘、除、开方】（引入了虚数）

口试题24：在教学中如何从方程、不等式和函数的关系出发向学生解释方程、不等式和函数的定义? 如何说明它们之间有怎样的关系？

方程、不等式和函数的关系出发向学生解释方程、不等式和函数的定义：（1）从它们各自的定义上讲：函数是一个非空集合到另一个非空集合的一种对应关系，方程是含有未知数的等式，是一种等量关系，而不等式是用不等号连结的两个解析式，是一种不等关系，它们三者的本质是不同的。

（2）它们间也存在联系：函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与X轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“ >”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

方程、不等式和函数的关系:方程刻画实际问题中数量之间的相等关系； 不等式刻画实际问题中数量的不等关系；

函数刻画实际问题中事物的运动变化的数量关系。

口试题25：中学数学教学内容中研究了两种基本的数列，请问它们分别是什么？

它们在中学数学内容中是如何定义的？请用文字语言和符号语言来解释。

一般地，如果一个数从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 .aa- aa-1=d,n＞1

一般地，如果一个数从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

口试题26：中学数学教学内容中研究了哪些方程？教材中是如何定义这些概念的？请举例说明它们的解法的本质。

分式方程：分母中含有未知数的方程（转化为整式方程） 整式方程：等式两边都是整式

有理式方程：整式方程与分式方程统称为有理式方程

一元一次方程：只含有一个未知数x，且未知数x的指数都是一次的方程（将方程转化为x=a的形式，合并同类项与移项，去括号与去分母） 二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且位置是的指数都是1的方程（将二元一次方程转化为一元一次方程，代入法与消元法）

一元二次方程：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的2的方程（一元二次方程转化为一元一次方程，降次——配方法，公式法，因式分解法）

口试题27：集合运算有哪些类型？（或集合之间有哪些运算？）它们的含义是什么？

求并、求交、求补

并集：

交集：

补集：

请用符号语言和图形语言来解释这些运算。

并集：

：交集

补集：

口试题28：不等式和方程之间存在哪些类似的性质？

方程（不等式）两边加或减同一个数或式子，结果仍相等（不等号方向不变） 方程两边乘以一个数（式子）或除以一个不为零的数（式子），等式仍成立； 不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等式方向不变， 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等式方向改变 在哪些性质上存在差异？

在负数的问题上，式子两边乘以或除以同一个负数时不等号方向改变

口试题29：举例说明正例和反例在数学概念教学中的作用和教学设计意图。 正例：1、归纳

2、有利于概括出概念的本质属性 反例：1、范例能帮助正确理解概念 分清定理中条件的必要性和充分性 纠正错误、克服思维定势

明确定理、法则、公式中条件的严密性 推翻假命题的重要手段 涉及意图

正例：有利于归纳和概括，设计形式多样化（判断题、是非题、解答题、证明题、举证题、填空题） 正例呈现过少，难以概括

正例过多浪费时间，使学生厌倦

反例：可以帮助学生排除概念的非本质特征的干扰 例如：“直线与面垂直”的概念教学中，反例“如果一条直线与平面内无数条直线垂直，那么直线不一定于平面垂直”可以使学生明确“无数”与“任意”的区别

口试题30：你对教学反思是如何理解的? 有必要进行教学反思吗？请以你的微格教学为例进行说明。你作为老师能否引导学生进行自我反思？请举例说明。 自我反思有助于改造和提升教师的教学经验，经验+反思=成长，没有经过反思的经验是狭隘的经验，意识性不够，系统性不强，它可能只能形成肤浅的认识，并容易导致教师产生封闭的心态从而不仅无助于而且可能阻碍教师的专业成长。只有经过反思，使原有的经验不断处于被审视、被修正、被强化、被否定等思维加工中，去粗存精，去伪存真，这样经验才会得到提炼，得到升华，从而有效的发挥反思作用，使教师的专业技能不断提高。

口试题31：自选一教学内容，设计 3-5种不同的导入方案（复习导入除外）并简单说明你的设计意图。 圆定义教学引入 一、（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．你能讲出形成圆的方法有多少种？ （1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点运动就形成一个圆．

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2、图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 3、到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

设计意图：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念

二、1、让同学讨论，如何在没有现成的圆形时画一个圆 2、老师在黑板上用线绳画一个圆 3、让同学研究讨论圆的特点 4、给圆下定义

设计意图：从圆的画法入手，让学生准确掌握圆的概念（所有到定点O的距离等于定长r）

三、1、做游戏，让大家想一想如果有一个袋子中装有三角形、正方形、梯形、圆，能否正确摸出圆？

2、圆和其他图形有什么区别？

3、如果袋子中只有一个圆和一个椭圆呢？ 3、总结圆有什么特点？

4、给圆下定义

设计意图：作为最早学习的圆锥曲线，要让同学对“曲线”有一个感性的认识。再通过对圆的直观了解归纳出圆的定义。 （后两种是我编的，仅供参考）

口试题32：数学中有一些不定义的概念，请说明至少三个体系中的不定义的概念，说明选择这些概念不进行定义的原因，并就其中一个阐述你的教学设计思路。 答:1、点2、线3、面4、空间5、数6、集合7、元素8、对应

原因:一类是由于数学学科的严密性而产生的所谓“原始概念”。我们知道，给一个概念下定义常用的方法是属加种差的方法，这种定义方法要求每一个新概念都必须用已知的概念来定义，而这些被用来定义的概念又必须用已知的概念来定义，并且不允许循环。依此类推，客观上总有某些概念是不能用一些已知的概念来定义的。 这样一些不能用已知的概念来定义的概念，在数学学科中就叫做“原始概念”，如：点、直线、平面等等，这些概念在中学数学教材中显然也是不可能给出定义的。

还有一类概念在数学学科中是有精确定义的，但是考虑到中学生的认知发展水平和接受能力，在中学数学教材中暂时没有给出定义，或者，在初次（一般在低年级）接触这个概念时没有给出定义，当学生的知识积累到一定的程度以后，再次学习这个概念时，才给出了一个定义（如“三角形”的概念）。因而，对初次接触这些概念的小学生而言，这些概念也属于“原始概念”的范围，可称之为 “扩大的原始概念”。

教学思路：例如：原始概念“点”的教学 1.观察——形成表象

首先让学生观察“针尖”、“北京在中国地图上的位置”、“用粉笔在黑 板上点一点”等等，使学生对“点”这个概念有一个感性的认识。 2.归纳——得到事实

通过对“点”的肯定例证的归纳，可得到关于“点”这个原始概念的一个事实：“点”可以代表位置而没有大小 3.强化——获得意义

可继续考察“点”的肯定例证：“小雨点”、“夜晚天空中的星星”、“谷粒”等等

4.应用——加深理解

例1 北京到上海的铁路里程是1500千米，有一列火车以每小时75千米的速度由北京出发到上海，要行驶多少小时才能到达？ 要求学生能够先将北京和上海抽象成点

口试题33：叙述中学数学教学内容中对圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义。圆锥曲线的定义是什么？请对椭圆方程设计导入教学。 初中:

高中：平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。定点是圆心，定 长是半径。

统一定义：到定点的距离与到定直线的距离为常数的点的轨迹。 定点是焦点，定直线的准线，常数为离心率。 01：双曲线e=1：抛物线

椭圆方程导入教学：(普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学选修1-1》第二章《圆锥曲线及方程》的第一节“椭圆及其标准方程”) M F2F1F1F2 F,F12椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。

令椭圆上任一点M，则有

MF1?MF2?2a(2a?2c?F1F2)

①建系：以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

②设点：设M(x1,y)是椭圆上任意一点，为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|F1F2|=2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0) 设M与两定点F1,F2的距离的和等于2a

2(x+c)+y2+|MF|+|MF|=2a12③列式： ∴22(x-c)+y=2a,

④化简：

(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2

两边平方，得：

(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2即

a2-cx=a(x-c)2+y2 42222222a-2acx+cx=a(x-c)+ay 两边平方，得：

22222222整理，得：(a-c)x+ay=a(a-c)

222222222a-c=b(b>0)bx?ay?ab 令，则方程可简化为：

x2y2?2?1(a?b?0)2b整理成：a

x2y2?2?1(a?b?0)2ab指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是

F1(?c,0),F2(c,0),c2?a2?b2

口试题34：中学数学教学内容中包含了哪些不等式？教材中是如何定义这些概念的？请举例说明这些不等式解法的本质。

1、一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1 的不等式。（化成x>a 等形式）

2、一元二次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的不等式。（化成一元一次不等式）

3、二元一次不等式：每个方程含有两个未知数（x 和y），并且未知数的指数都是1 的不等式。

4、分式不等式：分母中含有未知数的不等式。（化成整式不等式） 5、高次不等式

6、基本不等式：均值不等式

口试题35：什么是变式题？可以从哪些角度对数学题进行变式？请举例说明。 变式题是指所用的思想方法类似，但形式不同的一类问题。数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式。（什么是变式？参考书上是这样定义的：变式是通过变更对象的非本质特征的表现形式，变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律。这个概念理解起来似乎不那么顺利，什么叫做“非本质属性”？这个没有明确的定义，但是通过教学，我们大概可以这样理解：一些课题，看上去似乎没有相关联系，一些可能是以三角的形式出现，有些可能是以指数函数的形式出现，但是解题的基本方法是一直或者是相似的，有可能它们通过一系列的数学方法，例如换元，可以转化为同一形式。于是，我们通过观察，揭露出它们的本质，得到课题的本质属性，教师在教学时，就得启发学生一步一步从非本质属性中把本质属性揭露出来，这就必须运用变式规律。）

可以从性质、解题方法、图像等方面进行变式。

例如，比较2^3与2^5的大小 变式： 求2^x>1的解集。

例二次函数求最值的问题:y=x2+2x-3 x∈[-3,3] 变式1：y=1-cos2x+4sin(x/2)cos(x/2)-1

口试题36：类比分数和分式的概念及其运算性质。

分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。 一：运算性质类比： 分数 分式 加减 同分母：分母不变，分子相加减。 同分母：分母不变，分子相加减。 异分母：转化成分母相同的分数，异分母：转化成分母相同的分式，分子相加减。 分子相加减。 乘 分子乘分子，分母乘分母， 分子的积作为积的分子 能约分的先约分再相乘。 分母的积作为积分母 除 除以一个不为0的数，等于乘以这把除式的分子、分母颠倒位置后，个数的倒数 与被除式相乘 二：基本性质类比 分数：在分数的分子或者分母上同时乘以（除以）同一个不为0的数，分数的值不变。

分式：在分式的分子或者分母上同时乘以（除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

口试题37：义务教育数学课程标准2011年修改稿中将“双基”扩大为“四基”， 请说明明修改的原因并解释“四基”。

修改原因：重视基础是为了发展，数学教育改革中坚持“四基”，不仅可以更好地促进学生发展，而且也更加突出数学的学科性质。在数学学习过程中，“双基”与基本活动经验是相互依存、相互促进的，也是可以相互转化的，在二者的不断融合、多次的实际应用中，通过反思提炼而形成的一种具有奠基作用和普遍指导意义的知识经验便是数学基本思想．由此，我们可以给出数学“四基”的如下关系结构：

从知识的角度来看，“双基”是一种理性的、形式化的结果性知识，而基本活动经验则是一种感性的、情景化的过程性知识，它们各强调了数学知识的一个侧面，前者形成的是一种知识系统，而后者形成的是一种经验系统，二者的有机结合才能形成完整的数学知识结构．

四基：基础知识、基本技能、基本数学活动经验、基本数学思想方法。

口试题38：类比方程和不等式、等差数列和等比数列的概念及其性质，并就其中一组解释如何进行类比

一 方程和不等式 方程 概念 含有未知数的等式叫方程。 不等式 用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。 性质 1：等式两边同时加〔或减〕同①如果x>y，那么yy；（对称性） 的结果仍是等式 ②如果x>y，y>z；那么x>z；（传2：等式的两边同时乘或除以同递性） 一个不为0的的数所得的结果③如果x>y，而z为任意实数或整仍是等式 式，那么x+z>y+z；（加法原则） 3：若a=b,则b=a（等式的对称④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；性） 如果x>y，z<0，那么xzy，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷zy，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件) ⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn； ⑧如果x>y>1，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）,1>x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。 等差数列 等比数列 概念 如果一个数列从第二项起，每如果一个数列从第2项起，每一项一项与它的前一项的差等于同与它的前一项的比等于同一个常一个常数，这个数列就叫做等数，这个数列就叫做等比数列。 差数列。 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=Sn-S(n-1) (n≥2) 前n项和Sn=n(a1+an)/2 当q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 求和公式 Sn= n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(a1-an*q)/(1-q) q=1时 Sn=na1 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 口试题39：结合自己微格教学实践的内容说明一个数学命题教学的设计过程。 1回顾相关概念 2给出或引出命题

3分析命题（证明及应用） 4练习 例：1、（回顾）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、（引出）如果要判断一个四边形是平行四边形，他需要满足定义，那么如果一个或者多个条件可以推导出两组对边分别平行，哪么这些个条件就是判定定理的内容。现在我们分别从边的关系和角的关系探究出判定定理。 3、由边的关系：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

由习题引出：角的关系：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 分别证明。

4、习题：书P87 例3 5、复习判定定理。

口试题40：初中教学中有关函数的教学内容有那些，请分别说明课时，年级并举例说明教学要求。

一次函数 反比例函数 二次函数 锐角三角函数

八年级上：第十四章：一次函数（17课时）14.1变量与函数（5）14.2一次函数（5）14.3用函数观点看方程（组）和不等式（3）14.4课题学习选择方案（2）小结（2）

八年级下：第十七章：反比例函数（8课时）：17.1反比例函数（3）17.2实际问题与反比例函数（4）小结（1）

九年级下：第二十六章：二次函数（12课时）：26.1二次函数（6）26.2用函数观点看一元二次方程（1）26.3实际问题与二次函数（3）小结（2） 九年级下：第二十八章：锐角三角函数（12课时）：28.1锐角三角函数（6）28.2解直角三角形（4）小结（2） 例子教学要求：

（一次函数）教学目标 （一）教学知识点

１．掌握一次函数解析式的特点及意义． ２．知道一次函数与正比例函数关系．

３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律． ４．会用简单方法画一次函数图象． （二）能力训练要求

１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性． ２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．

３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．

（三）情感与价值观要求

１．积极思考、勇跃发言，养成良好学习习惯． ２．独立思考、合作探究，培养科学的思维方法． 教学重点

１．一次函数解析式特点．

２．一次函数图象特征与解析式联系规律． ３．一次函数图象的画法． 教学难点

１．一次函数与正比例函数关系．

２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．

反比例函数： 教学目标

(一)教学知识点

1.从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相似关系,加深对函数概念的理解.

2.经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.

(二)能力训练要求

结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数表达式. (三)情感与价值观要求

结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式,形成反比例函数概念的具体形象,是从感性认识到理性认识的转化过程,发展的思维;同时体验活动与人类生活的密切联系及对人类发展的作用. 教学重点

经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.

教学难点

领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念. （二次函数） 教学目标与要求:

（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。

（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．

（3）情感、态度与价值观：通过观察、交流，归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 教学重点：对二次函数概念的理解。 教学难点：由实际问题确定函数解析式

锐角三角函数： 一、教学目标 1 、知识与技能

（ 1 ）让学生掌握三角函数的定义

（ 2 ）让学生在探索三角函数定义过程中，确信三角函数的合理性，知道解决实际问题又多了一种方法 ---- 三角函数。

（ 3 ）培养学生以已有的知识，通过探索，思考、讨论、论证、归纳、从而获取新知识的能力。

2 、数学思考：提出问题，探索解决方法，并加以讨论、论证、归纳、培养学生逻辑推理能力，数形结合思想。

3 、解决问题：三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。懂得用数形结合思想，探讨数学问题。

4 、情感与态度目标：让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣。

口试题40：初中教学中有关函数的教学内容有那些，请分别说明课

时，年级并举例说明教学要求。

一次函数 1变量与函数 2一次函数 教学内容 3用函数观点看方程（组）与不等式 教学要求 运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量和变量的含义，能分清楚例中的常量和变量，理解自变量与函数的意义。 掌握一次函数的特点和意义，了解一次函数与正比例函数的关系。 通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系 在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反1反比例函数 比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题 2实际问题与反比例函数 课时&年级 八年级下册 2课时/2课时 二次函数 探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型 4课题学习 选择方案 八年级上册 3课时/3课时/3课时/2课时 反比例函数 课时&年级 教学内容 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义, 二次函数 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性 教学内容 用函数观点看一元二次方程 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）， 实际问题与二次函数 并能解决简单的实际问题 课时&年级 九年级下册 5课时/2课时/2课时 锐角三角函数 1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角锐角三角函数 教学内容 解直角三角形 九年级下册 3课时/2课时 三角形中两边的比；记忆30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题 口试题41：初中教学中有关方程的教学内容有那些，请分别说明课

时，年级并举例说明教学要求。

二元一次方程组 二元一次方程组 教学内容 消元——二元一次方程组的解法 教学要求 了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系 了解解二元方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法 综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”。 实际问题与二元一次方程组 三元一次方程组解法举例 七年级下册 2课时/3课时/3课时/2课时 使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践 了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法 课时&年级

口试题43：什么是全称量词与存在量词，举例说明其关系，并举例说明学生学习中容易出现的错误是什么。

重难点：通过生活和数学中丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义地利用；

能准确全称量词与存在量词的意义．

考纲要求：①理解全称量词与存在量词的意义． ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

经典例题：判断下列命题是全称命题还是存在性命题．

(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

(2)负数的平方是正数；

(3)有些三角形不是等腰三角形； (4)有些菱形是正方形

全称命题和特殊命题

1、对于含有一个量词的全称命题p：\任意的\∈M，p(x)的否定┐p是：\存在\∈M，┐p(x)。

2、对于含有一个量词的特称命题p：\存在一个\∈M，p(x)的否定┐p是：\所有的\∈M，┐p(x)。

全称命题 1.对所有的x∈A,p(x)成立 2.对一切x∈A,p(x)成立 立

3.对每一个x∈A,p(x)成立 4.任选一个x∈A,p(x)成立 5.凡x∈A,p(x)成立

特称命题

1.存在x∈A,使p(x)成立

2.至少有一个x∈A,使p(x)成 3.对有些x∈A,使p(x)成立 4.对某个x∈A,使p(x)成立 5.有一个x∈A,使p(x)成立

(2)负数的平方是正数；

(3)有些三角形不是等腰三角形； (4)有些菱形是正方形

全称命题和特殊命题

1、对于含有一个量词的全称命题p：\任意的\∈M，p(x)的否定┐p是：\存在\∈M，┐p(x)。

2、对于含有一个量词的特称命题p：\存在一个\∈M，p(x)的否定┐p是：\所有的\∈M，┐p(x)。

全称命题 1.对所有的x∈A,p(x)成立 2.对一切x∈A,p(x)成立 立

3.对每一个x∈A,p(x)成立 4.任选一个x∈A,p(x)成立 5.凡x∈A,p(x)成立

特称命题

1.存在x∈A,使p(x)成立

2.至少有一个x∈A,使p(x)成 3.对有些x∈A,使p(x)成立 4.对某个x∈A,使p(x)成立 5.有一个x∈A,使p(x)成立

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