2019年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）

一、选择题

1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )

A．2sin 40° B．2cos 40° C. D. 答案 D

解析 由题意可得－ ＝tan 130°， 所以e＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .

2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A. ＋y2＝1 C. ＋ ＝1 答案 B

解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或

B. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1

下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝

＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所以

b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.

3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等

于( )

A．2 B．3 C．4 D．8 答案 D

解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 ，椭圆的焦点坐标为(± ，0)，所以 ＝ ， 解得p＝8，故选D.

4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( ) A. B. C．2 D.

答案 A

解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为

2

＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记

为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x

＝ ，所以|PQ|＝2 .

由|PQ|＝|OF|，得2 ＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e

＝ ，故选A.

5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐

标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( ) A. B. C. D. 答案 B

解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点，

知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.

不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，

则 解得

所以P

，

所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.

6．(2019·北京文，5已知双曲线 －y2＝1(a>0)的离心率是 ，则a等于( )

A. B．4 C．2 D. 答案 D

解析 由双曲线方程 －y2＝1，得b2＝1， ∴c2＝a2＋1. ∴5＝e＝ ＝

2

＝1＋ .

结合a>0，解得a＝ .

2

7．(2019·天津文，6)已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 － ＝1(a＞0，

b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )

A. B. C．2 D. 答案 D

解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x

＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为 .由|AB|＝4|OF|可得 ＝ 4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ ＝

＝ . 8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A. C. 答案 C

解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝ a，所以双曲线的离心率e＝＝ .

9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A. ＋y＝1 C. ＋ ＝1 答案 B

解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或

2

B．1 D．2

B. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1

下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝

＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所以

b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B.

10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，则p等于( )

A．2 B．3 C．4 D．8 答案 D

解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 ，椭圆的焦点坐标为(± ，0)，所以 ＝ ，解得p＝8，故选D.

11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，

以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 A 解析 如图，

由题意知，以OF为直径的圆的方程为 2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②

得x＝ ，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝ ，所以|PQ|

＝2 .

由|PQ|＝|OF|，得2 ＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e

＝ ，故选A.

12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C： － ＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( ) A.

B.

C．2 D．3

答案 A

解析 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6， 所以|OF|＝ . 又tan∠POF＝ ＝ ，所以等腰△POF的高h＝ × ＝ ，所以S△PFO＝ × × ＝

.

x2y2113．(2019·北京理，4)已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，则( )

ab2A．a2?2b2

B．3a2?4b2

C．a?2b

D．3a?4b

【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2?b2?c2得答案．

c21a2?b21c1

【解析】：由题意，?，得2?，则?，

a4a24a2

?4a2?4b2?a2，即3a2?4b2．

故选：B．

【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．

14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2?y2?1?|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )

A．①

B．②

C．①②

D．①②③

【思路分析】将x换成?x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．

【解析】：将x换成?x方程不变，所以图形关于y轴对称， 当x?0时，代入得y2?1，?y??1，即曲线经过(0,1)，(0,?1)；

0，解得x?(0，当x?0时，方程变为y2?xy?x2?1?0，所以△?x2?4(x2?1)…23]， 3所以x只能取整数1，当x?1时，y2?y?0，解得y?0或y?1，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(?1,0)，(?1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．

x2?y2当x?0时，由x?y?1?xy得x?y?1?xy?，（当x?y时取等），

22222?x2?y2?2，?x2?y2?2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．

在x轴上图形面积大于矩形面积?1?2?2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积?1?2?1?1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2?1?3，故③错误． 2故选：C．

【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．

15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 － ＝1(a

＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )

A. B. C．2 D. 答案 D

解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝

4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ ＝ 二、填空题

＝ . 1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 答案 (3， ) 解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝ ＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.

设M(x，y)，则 得

所以M的坐标为(3， )．

2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________． 答案 (x－1)2＋y2＝4

解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)， 准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)． 又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径， ∴r＝2.

∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.

3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 答案 －2

解析 方法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝ ＝ . 方法二 因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以 ×2＝－1，所以m＝－2，r＝ ＝ .

4．(2019·浙江，15)已知椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心 ，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________． 答案

解析 依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M

在圆x2＋y2＝4上，所以

2 2

＋ ＝4，又点

P(m，n)在椭圆 ＋ ＝1上，

，所

所以 ＋ ＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－ 或m＝ (舍去)，当m＝－ 时，n＝以kPF＝

＝ .

5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－ ＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y＝± x

解析 因为双曲线x2－ ＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－ ＝1，得b＝ ，所以该双曲线的

渐近线方程是y＝±bx＝± x.

6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点

P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________． 答案 4

解析 设P ，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝

＝≥ ＝4，当且仅当

2x＝，即x＝ 时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.

7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

＝ ， · 过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝0，则C的离心率为________． 答案 2

→→

解析 因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．

＝ ，因为 所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，

所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.

因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)， 所以＝

，所以b2＝3a2，

所以c2－a2＝3a2，

即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ ＝2.

8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 答案 (3， ) 解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝ ＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4. ＝ ，

＝ ，设M(x，y)，则 得

，

， 所以M的坐标为(3， )． 三、解答题

1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．

(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；

(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解 (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上． 由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称， 所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．

因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2.

又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，

解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6.

(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下：

设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2， 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.

因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x＋1.

因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P.

2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解 (1)连接PF1.

由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中， ∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝ c， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝( ＋1)c， 故C的离心率为e＝ ＝ －1.

(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在， 则 |y|·2c＝16， ·＝－1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② 又 ＋ ＝1.③

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝ . 又由①知y＝

22

2

，故b＝4.

2

2

由②③及a＝b＋c得x＝ (c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4 .

当b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4 ，＋∞)．

3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． (1)证明 设D ，A(x1，y1)，

则 ＝2y1.

由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1， 故

＝x1，

整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点 .

(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.

可得x2－2tx－1＝0， 由

于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1. 设M为线段AB的中点，则M .

，而 与向量(1，t)平行， ⊥ ＝(t，t2－2)， 由于

所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1. |＝2， 当t＝0时，|

所求圆的方程为x2＋ 2＝4；

|＝ ， 当t＝±1时，| 所求圆的方程为x2＋ 2＝2.

4．(2019·北京文，19)已知椭圆C： ＋ ＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C的方程；

(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点． (1)解 由题意，得b2＝1，c＝1， 所以a2＝b2＋c2＝2.

所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1.

(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线AP的方程为y＝

x＋1.

令y＝0，得点M的横坐标xM＝－. .

又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝ 同理，|ON|＝

.

得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 由

则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 所以|OM|·|ON|＝ ＝

·

＝

＝2

.

又|OM|·|ON|＝2，所以2 ＝2.

解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．

5．(2019·天津文，19)设椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.

已知 |OA|＝2|OB|(O为原点)． (1)求椭圆的离心率；

(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．

解 (1)设椭圆的半焦距为c，由已知有 a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝ 2＋c2，解得 ＝ . 所以椭圆的离心率为.

(2)由(1)知，a＝2c，b＝ c，故椭圆方程为 ＋ ＝1. 由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝ (x＋c)．

点P的坐标满足 消去y并化简，

得到7x2＋6cx－13c2＝0， 解得x1＝c，x2＝－

.

代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.

因为点P在x轴上方，所以P . 由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)． 因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)， 故＝

，解得t＝2.

因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2. 又由圆C与l相切，得

＝2，可得c＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求 的最小值及此时点G的坐标．

解 (1)由题意得＝1，即p＝2.

所以，抛物线的准线方程为x＝－1.

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y2－

y＋1，代入y2＝4x，得

y－4＝0，

故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B .

又由于xG＝ (xA＋xB＋xC)，yG＝ (yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－ ＋yC＝0. 即C ，G

.

所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)， 得Q(t2－1,0)．

由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而

＝＝

＝

＝2－ .

令m＝t2－2，则m＞0，

＝2－

＝2－

≥2－ ＝1＋.

当且仅当m＝ 时， 取得最小值1＋ ，此时G(2,0)．

7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.

(1)求椭圆C的标准方程； (2)求点E的坐标．

解 (1)设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1. 又因为DF1＝ ，AF2⊥x轴，

所以DF2＝ ＝ ＝.

因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)方法一 由(1)知，椭圆C： ＋ ＝1，a＝2.

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4. 因为点A在x轴上方，所以A(1,4)． 又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.

5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－ . 由 得

将x＝－ 代入y＝2x＋2，得y＝－ . 因此B

.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．

得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝ . 由

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1. 将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.

因此E .

方法二 由(1)知，椭圆C： ＋ ＝1.如图，连接EF1.

因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B. 因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B. 所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴． 因为F1(－1,0)，由

得y＝±.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－ . 因此E .

8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．

解 方法一 (1)过A作AE⊥BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8. 因为PB⊥AB，

所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝ ＝ ＝ . 所以PB＝ ＝

＝15.

因此道路PB的长为15(百米)．

(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求． ②若Q在D处，连接AD，由(1)知

AD＝ ＝10，从而

cos∠BAD＝

＝

>0，

所以∠BAD为锐角．

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径． 因此Q选在D处也不满足规划要求． 综上，P和Q均不能选在D处． (3)先讨论点P的位置．

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．

设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9；

当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置．

由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝ ＝ ＝3 .此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3 时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3 . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3 (百米)． 方法二 (1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.

因为AB为圆O的直径，AB＝10， 所以圆O的方程为x2＋y2＝25.

从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－ ， 直线PB的方程为y＝－ x－ .

所以P(－13,9)，PB＝ ＝15. 所以道路PB的长为15(百米)．

(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)， 所以线段AD：y＝－ x＋6(－4≤x≤4)． 在线段AD上取点M ，

因为OM＝ < ＝5，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径． 因此Q选在D处也不满足规划要求． 综上，P和Q均不能选在D处． (3)先讨论点P的位置．

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．

设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)； 当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置．

由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当 QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝ ＝15(a>4)，

得a＝4＋3 ，所以Q(4＋3 ，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

综上，当P(－13,9)，Q(4＋3 ，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3 －(－13)＝17＋3 . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3 (百米)．

9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； ＝3 ，求|AB|. (2)若

解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)由题设得F ，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ ，由题设可得x1＋x2＝ . 由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

令Δ>0，得t<，

则x1＋x2＝－从而－

.

＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－. ＝3 可得y1＝－3y2， (2)由

由 可得y2－2y＋2t＝0，

所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3， 代入C的方程得x1＝3，x2＝ ， 即A(3,3)，B ， 故|AB|＝

.

10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－ .记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形； (ⅱ)求△PQG面积的最大值．

(1)解 由题设得 ·＝－ ，化简得 ＋ ＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆，不含左右顶点．

(2)(ⅰ)证明 设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)． 由

得x＝± .

，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．

记u＝ 于是直线QG的斜率为 ，方程为y＝ (x－u)．

得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.① 由

设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解， 故xG＝

，由此得yG＝ .

从而直线PG的斜率为因为kPQ·kPG＝－1.

＝－，

所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． (ⅱ)解 由(ⅰ)得|PQ|＝2u ，|PG|＝

＝.

，所以△PQG的面积S＝ |PQ||PG|＝

设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．

因为S＝

在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.

因此，△PQG面积的最大值为 . 11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝ ，D为直线y＝－ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面

积．

(1)证明 设D ，A(x1，y1)，则 ＝2y1.

由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故 整理得2tx1－2y1＋1＝0.

＝x1.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点 .

(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋ .

可得x2－2tx－1＝0，Δ＝4t2＋4>0， 由

于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2 ＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝ |x1－x2|

＝ · ＝2(t2＋1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离， 则d1＝ ，d2＝ ，

因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2) ＝(t2＋3) . 设M为线段AB的中点，则M . ，而 ⊥ ＝(t，t2－2)， 由于

与坐标为(1，t)的向量平行，所以t＋(t2－2)t＝0.

解得t＝0或t＝±1.

当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4 . 因此，四边形ADBE的面积为3或4 .

12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y??1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,?1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；

（Ⅱ）抛物线x2??4y的焦点为F(0,?1)，设直线方程为y?kx?1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，可得AB为直径的圆方程，可令x?0，B的坐标，解方程，即可得到所求定点．

【解析】：（Ⅰ）抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)．可得4?2p，即p?2， 可得抛物线C的方程为x2??4y，准线方程为y?1； （Ⅱ）证明：抛物线x2??4y的焦点为F(0,?1)，

设直线方程为y?kx?1，联立抛物线方程，可得x2?4kx?4?0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 可得x1?x2??4k，x1x2??4， 直线OM的方程为y?直线ON的方程为y?可得A(y1xx，即y??1x， x14y2xx，即y??2x， x2444，?1)，B(，?1)， x1x211?4k?)?2?2k， x1x2?4可得AB的中点的横坐标为2(即有AB为直径的圆心为(2k,?1)，

|AB|14416k2?16?|?|?2?21?k2， 半径为22x1x24可得圆的方程为(x?2k)2?(y?1)2?4(1?k2)， 化为x2?4kx?(y?1)2?4， 由x?0，可得y?1或?3．

则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,?3)．

【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

13．(2019·天津理，18)设椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为 . (1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝ ，b＝2，c

＝1.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得

整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－代入y＝kx＋2得yP＝ . 所以直线OP的斜率为 ＝ .

，

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－ . 由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－ . 由OP⊥MN，得 · ＝－1，化简得k2＝ ， 从解得k＝± .

或－.

所以直线PB的斜率为

解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝ ，b＝2，c

＝1.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得

整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－代入y＝kx＋2得yP＝ . 所以直线OP的斜率为 ＝ .

，

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－ . 由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－ . 由OP⊥MN，得 · ＝－1，化简得k2＝ ， 从解得k＝± .

或－.

所以直线PB的斜率为

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