2015年浙江省慈溪市金山中学中考数学培优练习(2)宁波市历年中考压轴题（选择、填空、解答）练习

2015年浙江省慈溪市金山中学中考数学培优练习（2）

宁波市历年中考数学压轴题（选择、填空、解答）练习 姓名

2013年

26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

2012年

12．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书 《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如 图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以 用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得 到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H， I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ） A．90 B．100 C．110 D．121

17．把二次函数y=（x﹣1）+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为

18．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

，D是线段BC

2

上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

25．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．

如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：

如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形． （2）操作、探究与计算：

①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．

26．如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

2

2011年

25．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角

形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b?a，若Rt△ABC是

奇异三角形，求a:b:c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中

点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE． ① 求证：△ACE是奇异三角形；

② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

O E C A B

D (第25题)

2015年浙江省慈溪市金山中学中考培优练习（2）答案

宁波市历年中考压轴题（选择、填空、解答）练习

2013年

26.代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD， ∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP， ②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=DE，即y=x； （3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB， ∴=

=

=2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=EF， ∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+， 由

得：

，则点P的坐标为（2，2）；当

=时，

连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB， ∴=

=

=，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，

∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=， ∴点D的坐标为（0，﹣），直线CD的解析式为：y=﹣x﹣， 由

得：

，∴点P的坐标为（8，﹣4），

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．

2012年

12.如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选C．

17、解：二次函数y=（x﹣1）+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数

2

图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）﹣2． 故答案为：y=﹣（x+1）﹣2．

18、解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×

=

，

2

2

由垂径定理可知EF=2EH=， 故答案为：． 25、解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； ②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；

（2）①如图所示：

，

②∵a=6b+r，b=5r， ∴a=6×5r+r=31r； 如图所示：

故?ABCD是10阶准菱形．

26、解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），

2

即y=x﹣x﹣2；

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=，即OP=；

（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO，

2

（i）如图1，当H在点C下方时，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2，∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1，∴M（1，﹣2）， （ii）如图1，当H在点C上方时，∵∠MCH=∠CAO，∴PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=，∴y=x﹣2，由x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=， 此时y=×﹣2=

，∴M′（，

），

，

2

222

②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=在Rt△AOC中，AC=

=

=

，∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，∴=，即=，解得AD=2，

∴D（1，0）或D（﹣3，0）． 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图） 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，

22

当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1=∴点M的坐标为（

，3+

）或（

2

2

，x2=，3﹣

）．

，

2011年

25．解：(1) 真命题

222222222(2) 在Rt△ABC中，a?b?c ∵ c?b?a?0∴2c?a?b，2a?b?c∴若

Rt△ABC为奇异三角形,一定有2b?a?c

2222∴2b?a?(a?b) ∴b?2a 得b?222222a∵c2?b2?a2?3a2

∴c?3a∴a:b:c?1:2:3

(3) ①∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ACB中，AC2?BC2?AB2 在Rt△ADB中，AD2?BD2?AB2∵点D是半圆ADB的中点∴AD= BD

∴AD=BD ∴ AB2?AD2?BD2?2AD2

∴AC2?CB2?2AD2 又∵CB?CE,AE?AD∴AC2?CE2?2AE2 ∴△ACE是奇异三角形

②由①可得△ACE是奇异三角形∴AC2?CE2?2AE2

当△ACE是直角三角形时由（2）可得AC:AE:CE?1:2:3或

AC:AE:CE?3:2:1

（Ⅰ）当AC:AE:CE?1:2:3时，AC:CE?1:3 ∵?ACB?90?∴?ABC?30?∴?AOC?2?ABC?60? （Ⅱ）当AC:AE:CE?3:2:1时，AC:CE?3:1 ∵?ACB?90?∴?ABC?60?∴?AOC?2?ABC?120?∴?AOC的度数为60?或120?．

AC:CB?1:3

AC:CB?3:1 即 即

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