高等数学下（网络专科）历年试卷

《高等数学下（网络专科）》历年试卷

历年试卷（一）

课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2005年 题号 题分

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是在该处连续的( )条件．

A. 充分． B. 必要． C. 充分必要． D. 无关的． 2. 函数z?x?y在(1,1)处的全微分dz?（ ）．

A．dx?dy． B．2?dx?dy?． C．3?dx?dy?． D．3. 设D为x?y?1，二重积分

2233一 15 二 15 三 54 四 16 总分 100 3?dx?dy?． 2． ??dxdy=（ ）

DA．?． B．2?． C．?． D．?． 4. 微分方程y\?y'?eA. ae?x?x2312的特解可设为y*?( )．

?x． B. axe?． C. axe2?x． D. ?ax?b?e?x．

5. 若正项级数

1 收敛，则（ ）． ?knn?1A．k＞1． B．k≥1． C．k＜1． D．k≤1．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

????1,?1,1?，则a?b= ． 1,2,3?，b??1．设a??2．曲面e?xy?2在点（1，1，0）处的法线方程： ． 3．微分方程y??cosx?1的通解为 ．

4．设2为方程y???py??qy?0的特征方程的二重根，则其通解为 ．

zxn5．幂级数?的收敛半径R＝ ．

n?1n?1?三、计算下列各题（本题共9小题，每小题6分，共54分）

1.求极限lim?x0(e2t?1)dtx.

x?02. 求过A(0,0,0),B(?1,3,?2),C(0,2,2)的平面方程.

3. 写出直线L:??x?y?z?1的对称式方程与参数式方程.

?2x?y?z?4?z?z和. ?x?y4.设z?xy?1，求

?2z5. 设z?f(2x,y)，f具有二阶连续偏导数，求.

?x?y6. 计算二重积分I?7. 求微分方程

??xydxdy，其中D是由x?1,y?x及y?2所围成的闭区域.

Ddy?y?x满足y(0)?0的特解. dx8．在区间(?1,1)内求幂级数

?(n?1)xn?0?n的和函数.

?119. 将f(x)?展开成x?2的幂级数(提示：??xn,?1?x?1).

5?x1?xn?0四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

x?x1．计算由y?e,y?e,x?1所围平面区域的面积.

2．设生产某种产品需要原料A和B，它们的单位价格分别是10元和15元，用x单位原料A和y单位原料B可生产20xy?x?8y单位的该产品．现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B?

22答案及评分标准

一、选择题

1.A； 2.C； 3.A； 4.B； 5.A． 二、填空题

1.?2,1,4?； 2.x?1?y?1?z； 3.y?sinx?x?c； 4.(c1?c2x)e； 5.1． 三、计算题 1. limx?02x?x0(e2t?1)dtx＝

e2x?1lim-------------------------------------------------------------(3分) x?01=0.--------------------------------- ----------------------------------------(6分)

2. 设平面方程为Ax?By?Cz?D?0，代入点得--------------------------------------(2分)

D?0????A?3B?2C?0．------------------------------------------------?2B?2C?0?------------------(4分)

解得

平

面

方

程

为

－5x?y?z?0．---------------------------------------------------(6分)

3. ∵P0(0,,)，

------------------------------------------------------------------------------(2分)

3522S?{?2,1,3}---------------------------------------------------------------------------------(4分)

所以对称式方程为

x?－2y?35z?2?213程

；

------------------------------------------(5分)

参数式方

为

??x??2t?3?y?t?．--------------------------------------------------------?2?5?z?3t???2-----(6分) 4.

?z?y?x，

-------------------------------------------------------------------------------------(3分)

?z?x．-------------------------------------------------------------?y------------------------(6分)

5.

∵

?z?2f1'?x，

-------------------------------------------------------------------------------(3分)

∴

?2z?2f12\．------------------------------------------------------?x?y------------------(6分) 6.

I???xydxdy??dx?xydy---------------------------------------------------D221x------(3分)

=

?21x3(2x?)dx----------------------------------------------------2-------------------(5分)

=11．-------------------------------------------------------------8--------------------------(6分)

7.

?(?1)dx??(?1)dxdx?C?------------------------------------------y?e?xe?????--------------(3分)

?ex[?xe?xdx?C]=?Cex?x?1．-----------------------------------

------------(5分)

代入y(0)?0，得C＝1 ∴

特

解

为

y?x1.-----------------------------------------------------------------e?x?---(6分)

8.

?(n?1)xn?0?n?(?xn?1)?n?0?---------------

--------------------------------------------------(3分)

=

x()?1?x=

x

(1?x)2(?1?x?1)．-------------------------------------(6分)

9．f(x)??11??------------------------------------------x?5(x?2)?3----------------(3分)

111?x?2n?(x?2)n?????()??n?1．-----------------------(6

x?231?3n?033n?03分)

四、应用题

1.

s??(ex?e?x)dx-------------------------------------------------------------01--------------(4分)

=(e?ex?x?1?2.------------------------------------------------------)10=e?e--------(8分)

2．设拉格朗日函数F(x,y,?)?10x?15y??(20xy?x?8y?112)，----------(3分)

分别对x、y、?求导，并令其为零，得

22?fx?10?20?y?2?x?0??fy?15?20?x?16?y?0?22?f??20xy?x?8y?112?0-------------------------------------------------(6分)

，

解得x?4,y?2．由实际问题知最值一定存在，所以要以最低成本生产112单位的该产品，需要A原料4单位和B原料位．--------------------------------------------------------(8分)

2

单

历年试卷（二）

课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2006年 题号 题分 一 21 二 21 三 42 四 16 总分 100 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、单项选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分）

1. 函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是在该处连续的( )条件．

A. 充分． B. 必要． C. 充分必要． D. 无关的． 2. 函数z?x?y在(1,1)处的全微分dz?（ ）．

A．dx?dy． B．2?dx?dy?． C．3?dx?dy?． D．3. 设D为x?y?4，二重积分的值

22333?dx?dy?． 2． ??dxdy=（ ）

DA．4?． B．2?． C．?． D．?． 4.下列级数中发散的级数是（ ）

???(?1)n111A．?． B．?． C．? ． D．?n．

nnn?1n?1n(n?1)n?1n?122312?5.方程y?x??x1ydx可化为形如（ ）的微分方程．

?y??y?1?y??y?1x?1? A．y?y?1． B．y?2e?1． C． ． D．． ??y(0)?0y(1)?1??6. 微分方程y\?y'?e?x?x的特解可设为y*?( )．

?xA. ae． B. axe． C. axe2?x． D. ?ax?b?e?x．

27. 由抛物线y?2x和直线y?x?4所围平面区域的面积为( ) .

A. 10. B. 16. C. 18. D. 20.

二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）

??????b?1,?1,11,2,3?，1．设a??，则数量积a?b= ．

2．曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的法线方程为 ．

z3．微分方程y???cosx?1的通解为 ．

4．由曲面z?x?2y及z?3?2x?y所围成的立体体积为 ．

22225．幂级数

?n!xn?0?n的收敛半径R＝ ．

?2z?z6．设z?f?xy,x?y?，f具有二阶连续偏导数，则＝ ；= ．

?x?y?x三、计算下列各题（本题共7小题，每小题6分，共42分）

1. 求曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程．

22x?3yz?1的直线方程. ??215dzt3.设z?uv?1,u?e,v?t，求.

dt2. 求过点(4,?1,3)且平行于直线4. 计算二次定积分

?20dx?eydy．

x225. 求微分方程xy??y?3满足y(1)?0的特解.

xn6．在区间(?1,1)内求幂级数?的和函数.

n?1n??11??xn,?1?x?1). 7. 将f(x)?展开成x?2的幂级数(提示：

1?xn?0x四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

1．要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，底直径与高的比为多少时才能使所用材料最

省？

2．求抛物线y?4x上的点，使它与直线x?y?4?0相距最近．

2答案及评分标准

一、选择题

1．A； 2.B； 3.A； 4.C； 5.D； 6.B； 7.C. 二、填空题

1.2； 2.

x?1y?2z?012； 3.y??cosx?x?c1x?c2； ??2102???(x?y)f12???f22??. 4.?； 5.0； 6.yf1??f2?, f1??xyf11三、计算题

1.

32F(x,y,z)?z?x2?y2---------------------------------------------------------------------(2分)

n??Fx,Fy,Fz????2x,?2y,1?．--------------------------------------------------------(4分)

因为与已知直线平行，所以切

点

?2x?2y???1 24，

切

平

面

方

程

为

(1?2x?4y?z?5?0.-------------------------------------(6分)

2. 直线过点

(4?,，直线的方向向量s??2,1,5?，1----------------------------------(3分)

直

线

方

程

为

x?4?2?y?11 .

z?35-----------------------------------------------------(6分) 3.

dzdzdudzdv----------------------------------------------------------????dtdudtdvdt------------(3分)

?vet?et．--------------------------------------------------------------------------------(6分)

4.

?20dx?2xedy=

y2?20dy?eydx----------------------------------------------------0y2---------(3分)

e4?1=．-------------------------------------------------2-------------------(6分)

5. 标准化得

y??13y?xx，其中

13P(x)?,Q(x)?xx，

------------------------------(2分)

?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C] 通解为y?e??31?e?lnx[?elnxdx?C]?(3x?C).-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

xx-- -- -- (4分)

代

入

初

始

条

件

x?1,y?0，得所求特解为

y?3?6.

3.------------------------------(6分) x设

xnf(x)??n?1n?，则

f?(x)??xn?1?n?1?11?x，

---------------------------------------(3分)

f(x)??x?0?xn?1dx??n?11dx??ln(1?x)．------------------------------01?xx----------(6分)

7.

f(x)?111 ??x2(x?2)?12---------------------------------------------------------------(3分)

1??x?2???(?1)n??2n?0?2?n?1n

------------------------------------------------------------(5分)

?1???(?1)n???2?n?0--------------(6分)

四、应用题

?(x?2)n．----------------------------------------

1. 设底半径为r,高位h，表面积为A，则A?2?r?2?rh.即求做成体积为V，表面积A最小的圆柱形罐头筒.

由

于

2V??2r，

h所以

h?V?r2，

---------------------------------------------------------------(2分)

2v4?r3?2v2v,r?(0,??)，求导得A??4?r?2?从而A?2?r?， 2rrr2

令

A??0得唯一驻点为

r0?3v2?；

---------------------------------------------------------(4分)

当0?r?3v时，A??0；当r?2?3vv时，A??0．因此r0?3为极小值点，2?2?而且它是A?A(r)的唯一极值点，故它也是最小值点. ------- ----------------------------(6分)

这时h?vv3?2，因而底直径与高的比为2r:h?1:1时材料最省.--- 2?r2?--------(8分)

2. 设在抛物线上一点A(a,2a)，则过A与直线垂直的直线为

2y?a2?2a?x．---------------------------------------------------------------------------- (2分)

a2a2?a?2)---------------------- (4与直线x?y?4?0交点B(?a?2,22分)

a22所以AB?f(a)?2(?a?2)，------------------------------------ (5

2分)

由f?(a)?0，得a?1（唯一驻点）．------------------------------------ (7分)

由实际问题知，最小值一定存在，故抛物线上的点(1,2)与直线相距最近．---(8分)

历年试卷（三）

课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2007年 题号 题分 一 15 二 15 三 56 四 14 总分 100 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)．

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是在该处连续的( )条件． A. 充分． B. 必要． C. 充分必要． D. 无关的． 2. 函数z?sinxy在（0，1）处的全微分dz?（ ）．

A．dx． B．dy． C．?dx． D．?dy 3. 设D为x?y?4，二重积分的值

22． ??dxdy=（ ）

DA．4?． B．2?． C．?． D．?． 4. 微分方程y\?y'?xe?x?x2312的特解可设为y*?( )．

?xA. ae． B. (ax?b)e． C. axe?2?x． D. (ax?b)xe．

?x5. 若正项级数

1 收敛，则（ ）． ?k(n?1)n?1A．k＞1． B．k≥1． C．k＜1． D．k≤1．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

6．

?1?1xln(1?x2)dx? .

??1,?1,1?，则a?2b= ． 1,2,3?，b??7．设a??8．曲面z?x?y?1在点(2,1,4)处的法线方程为 ． 9．设1?i为方程y???py??qy?0的特征方程的根，则其通解为 ．

2210．幂级数

?(?1)n?1?n?1xn的收敛半径R＝ ． n三、计算下列各题（本题共8小题，每小题7分，共56分）

11. 计算广义积分

???0xe?xdx.

212. 求平行于x轴且经过点(4,0,?2)和(5,1,7)的平面方程. 13. 设z?uv?1,u?e,v?t，求

tdz. dt?2z14. 设z?f(x,x?y)，f具有二阶连续偏导数，求.

?x?y15. 计算二重积分I?16. 求微分方程

???xydxdy，其中D是由x?1、y?x及y?2所围成的闭区域.

Ddy?ytanx?secx满足y(0)?0的特解. dxn?117．求幂级数

?(?1)n?1xn在??11的和函数. ，?n18. 将f(x)?lnx展开成x?2的幂级数.

xn?1,x?(?1,1]） （提示：ln(1?x)??(?1)n?1n?0?n四、应用题（本题共2小题，每小题7分，共14分）

19．求由曲面z?x?2y及z?3?2x?y所围成的立体体积.

20．要造一个容量为1000m的长方体盒子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？

3

2222答案及评分标准

一、选择题

1．A； 2．B； 3．A； 4．D； 5．A． 二、填空题

6．0； 7．?3,0,5?； 8．

xx?2y?1z?4； ??42?1 9．(C1cosx?C2sinx)e； 10．1． 三、计算题

11．

???0xe?xdx=?21???x22ed(?x)------------------------------------------?02--------------(3分)

1?x2=?e2分)

??=

01．-------------------------------------------------------------(7212．所求平面平行于x轴，方程设为By?Cz?D?0，

---------------------------------(2分)

因经过点

(4,0,?2)和

(5,1,7)，代入可得

B??9C，

D?2C-------------------(5分)

故

所

求

方

程

为

?9y?z?2?0.-----------------------------------------------------------(7

分) 13．

dzdzdudzdv????---------------------------------------------------dtdudtdvdt?vet?et．----------------------------------------------------------

-------------------(3分)

-----------------------(7分) 14．

?z?f1??f2?-----------------------------------------------------------?x?2z???f22??．------------------------------------------------------?f12?x?y------------------------(3分)

---------------------(7分)

15．I??dx?xydy---------------------------------------------------------0x12----------------------(3分)

x2??x(2?)dx021=

7．-------------------------------------------------------------------(7分) 8?(?1)tanxdx??tanxdxsecx?e?dx?C?-----------------------------------16． y?e??????-------------(4分)

?1(x?C)．-----------------------------------------------------cosxs(x??)?n?1?---------------------(7分)

17

．

因

为

n?1xnn(显

1然),s(?---------------------------------------------(2分) 0s?(x)?1?x?x2?----------(4分)

两边积分得即

x?1,(?1?x?1)---------------------------------1?x?0s?(t)dt?ln(1?x)，

s(x)?s(0)?ln(1?x)，

?s(x)?ln(1?x),?1?x?1.------------------------(7分)

18. 设，t?x?2----------------------------------------------------------------------------------(2分)

则

ttf(x)?lnx?ln(2?t)?ln2(1?)?ln2?ln(1?)--------------------------(4分)

22t()n?1?tn?1n2n?ln2??(?1)?ln2??(?1),?2?t?2 n?1n?1(n?1)2n?0n?0?=

(x?2)n?1ln2??(?1)(n?1)2n?1n?0?n，

0?x?4．------------------------------------(7分)

四、应用题

19． 由题意知在xoy的投影D：x?y?1．

22

V???(3?3x2?3y2)dxdy--------------------------------------------D----------------(5分)

??d??(3?3r2)rdr?002?13?.---------------------------------------2拉

格

朗

日

函

数

--------------(7分) 20．

设

F(x,y,z)?2(x?y?z)??(xyz?1000)．----------------------(3分)

分别对x、y、z、?求导,并令其为零，得

?fx?2??yz?0?f?2??xz?0?y??fz?2??xy?0?f?xyz?1000?0??----------------------------------------------------------------------(5分) 解得x?y?z?10．

，

由实际问题知存在最值，所以x?y?z?10时材料最省．--------------------------(7分)

历年试卷（四）

课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2008年 题号 题分 一 18 二 18 三 49 四 15 总分 100 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)．

一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 函数f(x,y)?1的定义域为（ ）.

ln(x2?y2?1)22A．x?y?0. B．x?y?1.

C．x?y?1. D．x?y?1，x?y?2. 2．函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是在该处连续的( )条件．

A．充分. B． 必要. C． 充分必要. D． 无关的. 3. 函数z?x?y?2在(1,1)处的全微分dz?（ ）．

A．dx?dy. B．2?dx?dy?. C．3?dx?dy?. D．4. 下列级数中发散的级数是（ ）.

???(?1)n111A．?. B．?. C．? . D．?n.

nnn?1n?1n(n?1)n?1n?12333222222223?dx?dy?. 2?5．下列微分方程中，属于可分离变量微分方程的是（ ）.

A．xsin(xy)dx?ydy?0. B．y??ln(x?y) . C．y??xsiny. D．y??6. 定积分

1y?y2ex. x?e1lnxdx等于（ ）.

A．0. B．1. C．-1. D．5.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：

7．设向量a?{1,2,3},b?{2,1,0},则数量积a?b= ．

8．曲面e?xy?2在点(1,1,0)处的切平面方程为 ． 9．微分方程y??2y?0的通解为 ．

z?2z

10．设z?xy?xy，则2? ．

?x

352xn11．幂级数?2的收敛半径R＝ ．

n?1n?12．设f(u,v)有连续的一阶偏导数，而z?f(x,)，则三、计算下列各题（本题共7小题，每小题7分，共49分）

xy?z? ． ?x13. 求过点A(4,1,2)、B(?3,5,?1)且垂直于平面6x?2y?3z?7?0的平面方程．

14. 写出直线??x?y?z?1?0的对称式方程与参数式方程.

?2x?y?3z?4?015. 设z?xlny，求dz. 16. 计算二次定积分I??10dy?e?xdx．

y1217. 求微分方程xy??y?xlnx的通解.

18．在区间(?1,1)内求幂级数

?nxn?1?2n的和函数.

?11??xn,?1?x?1). 19. 将f(x)?展开成x的幂级数(提示：

1?xn?0x?2四、应用题（本题共2小题，第1小题10分，第2小题5分，共15分）

20．某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌24米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？

21．某物体移动的速度为V(t)?3t（其中0?t?1），计算它在[0,1]时段内移动的距离S.

答案及评分标准

一、选择题

1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．C； 6．B． 二、填空题

7．4； 8．x?1?y?1?z； 9．Ce； 10．6xy?2y； 11． 1； 12． f1??三、计算题

13．设所求平面上点为(x,y,z)，则三向量?x?4,y?1,z?2?、AB及?6,?2,3?共面，

即

52x1f2?． yx?476y?1z?2?4?233得

．---------------------------------------------------------x??0---------------------------------------------------------

------(5分)

解

1z?------(7分)

?y0?z0?2?014．在直线上任取一点(x0,y0,z0).取x0?1，则?，解得y0?0和

y?3z?6?00?0z0??2.

所

以

，

点

坐

标

为

(1,0,?2)．---------------------------------------------------------------(2分)

因所求直线与两平面的法向量都垂直，取s?n1?n2?{4,?1,?3}，-----------------(4分)

故对称式方程为参

x?1y?0z?2， ??4?1?3数

方

程

为

?x?1?4t?．-----------------------------------------------------------------?y??t?z??2?3t?------(7分)

15.

dz?d(xlny)?xd(lny)?(lny)dx---------------------------------------------------(4分)

?xdy?(lny)dx．-------------------------------------------------------------y--------(7分)

16.

I??dx?e?xdy??e?xdx?dy-----------------------------------------------00001x212x----(3分)

10

2??xe?xdx??---(5分)

11?x22ed(?x)-------------------------------------------------?021??x2?11?e?1??e?.-----------------------------------------------??022-----------------(7分)

17. 标准化得y??分)

通

解

为

d?P(11其中P(x)??，Q(x)?lnx，------------------(2y?lnx，

xxy?分)

?[???e(Q--------------------------------------------(4

x)?elnx[?lnxe?lnxdx?C]

?x[?lnxdx?C]x??

?x[lnlnx?C].

--------------------------------------(7分)

18． S(x)?x--------(2分)

2?n(xn?12n?1)?x2?ntn?1n?1(t?x2)----------------------------

?x2?(t)?t?x(?tn)?t?x2(n2n?1n?1??112?1)??x--------------(5分) t1?t(1?t)2

x2,?1?x?1.----------------------- - - - - - - - - - - ?22(1?x)- - - - - - - - - (7分)

19． f(x)?11-------------------------------------------------------?2x?12---------------------(3分)

11------------------------------------------------------------------?(?)?x21?2-----(5分)

1?xn??xn???()??n?1．-------------------------------------------------------2n?02n?02(7分)

四、应用题

20．设长为x,则宽为24?x，

s?x(24?x)----------------------------------------------------------------------------------(4分)

=0，解得x?12（

---------------------------------------------(7分)

s??24?2x唯一驻点）；

又s????2?0，由实际问题知最值一定存在，所以长为12米、宽为12米时面积最

大，最大值为144平方米．---------------------------------------------------------------------------(10分)

21．S??10V(t)dt?3?10tdt-------------------------------------------------

------------------(2分)

?3??2?t2??2.-----------------------------------------------------------------??0-------------(5分)单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 1单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

19． f(x)?11-------------------------------------------------------?2x?12---------------------(3分)

11------------------------------------------------------------------?(?)?x21?2-----(5分)

1?xn??xn???()??n?1．-------------------------------------------------------2n?02n?02(7分)

四、应用题

20．设长为x,则宽为24?x，

s?x(24?x)----------------------------------------------------------------------------------(4分)

=0，解得x?12（

---------------------------------------------(7分)

s??24?2x唯一驻点）；

又s????2?0，由实际问题知最值一定存在，所以长为12米、宽为12米时面积最

大，最大值为144平方米．---------------------------------------------------------------------------(10分)

21．S??10V(t)dt?3?10tdt-------------------------------------------------

------------------(2分)

?3??2?t2??2.-----------------------------------------------------------------??0-------------(5分)单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 1单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z5k8.html