西安交通大学高等数学期中考题 (2)

高等数学(I、II)期中考试题 2008年4月26日

一、解答下列各题（每小题7分，共70分）

y2１．设函数f?x,y??arcsin，求df(x,y)。214

x?2z?z２．设由方程x?2y?xy?z?9?0可确定z?z(x,y)，求，。

?x(1,?2,1)?x?y(1,?2,1)22３．求曲面z?x2?y2?1在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。

?x?sint?2４．求曲线?y?t在t?0时的切线与法平面方程。

?z?2t?５．交换累次积分的次序：I?６．计算二重积分： I??1?1dy?1?1?y2y2f(x,y)dx，其中f(x,y)是连续。

x2?y2?a22(x???siny?1)dxdy。

７．设空间立体?是由抛物面z?x2?y2及平面z?h?0所围成，已知它的密度为f(x,y,z)?z2，试计算

它的质量。

８．求函数u?2yx?z2在点A?2,?1,1?处的方向导数的最大值。 ９． 10．（工科分析做①其他做②）①设f(x,y)?(x?y,e22xyT)求Df(1,1),df(1,1)；

?x2?y2?uv?u?v,。 u?u(x,y),v?v(x,y)②设方程组?2，确定了函数，求22?x?x?xy?u?vy?z?2z二、（8分）设函数z?f(xy,)，其中f(x,y)二阶偏导数连续，求,。

x?x?x?y2?x2y,x2?y2?0?22三、（8分）设函数f(x,y)??x?y，试讨论该函数f(x,y)在点(0,0)的连续性、可微性。

?0,x2?y2?0?四、（7分）求曲面z?1?x?y在点M?1,?1,3?的切平面与曲面z?x?y所围立体的体积。

2222222五．（7分）设函数f(x,y,z)在闭球体?:x?y?z?3上有连续的偏导数，且满足条件①在?上

?f?1，?x?f?f??1，②f(1,1,1)?11，试求函数f(x,y,z)并证明7?f(x,y,z)?13,?(x,y,z)??。 ?1，?z?y

1

高等数学(I、II)期中考试题 2009年4月26日

一、填空（每小题3分，共15分）

1．设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在(1,?1)处取得极值，则常数a? ；

2．函数z?ln(e?x?x2y)在点?1,1?处沿l?{1,0}方向的方向导数?z?l? ； 3．曲线x?cost,y?sint,z?tant2在点?0,1,1?处的切线方程是 。 4. 交换累次积分的积分次序：

?1x23?x0dx?0f(x,y)dy??21dx?0f(x,y)dy= 。

5.设M?1,?1,2?是曲面z?f(x,y)上的一点，若fx(1,?1)?3，在任一点(x,y)处有:

xfx(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y)，则曲面在M处的切平面的方程是 。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

?4xy1．函数f(x,y)???x2?y2,x2?y2?0在点(0,0)处间断的原因是f(x,y)（ ）

??0,x2?y2?0A．在原点无定义； B．在原点极限存在但在原点无定义；

C．在原点极限不存在； D．在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值； 2．函数f?x,y??2xy?3x2?2y2?10，点(0,0)处（ ）；

Ａ．取得极大值； B．取得极小值； C．无极值； D．不能判断是否取得极值； ３．设u?arctanyx ，则gradu(1,1)? （ ）； (A) 12； (B) ?12； (C) {12,?12}； (D) {?112,2} 。

４．设f(u)是连续函数，平面区域D:0?y?1?x2(x?1)，则

(x2?y2)dxdy＝（ ）。(??fD)(A) ?11?x222 (B)

?11?y20dx?0f(x?y)dy； 0dy?0f(x2?y2)dx；

(C)

??1210d??0f(?)?d?； (D)

??0d??0f(?2)d?。

５．比较I???(x?y)2dxdy与J???(x?y)3dxdy的大小，其中D:(x?2)2?(y?2)2?2，则（(D)(D)I?J； (B) I?J； (C) I?J； (D) I?J。

三、解答下列各题（每小题8分，共64分）

y?z?2１．设函数z?arctanx?lnx2?y2，求z?x,?x?y。

２．求曲面x?y?z?2在任一点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

2

） (A)

３．计算二重积分：I??10dx?2x1xy1?y3dy。

４．（工科分析做①其他做②）①求向量值函数f(x,y)?(x2,xy,y2)T的Jacobi矩阵； ②设函数z?z(x,y)由方程F(x2?y2,y2?z2)?0所确定，其中F(u,v)可微，求y?z?z?x. ?x?y５．设F(t)?x2?y2?t2sine??x2?y2dxdy，求lim?t?2F?(t).。 t1?2222(x?y)sin?22,x?y?0６．讨论函数f(x,y)??在(0,0)处的可微性。 x?y22,x?y?0?0?７．设有一物体，它是由曲面z?试求此物体的质量。

x2?y2和z?8?x2?y2所围成，已知它在任意一点处得密度为??z，

y?2z８．设函数z?f(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz,。

x?x?y四（6分）在第一卦限内作旋转抛物面z?1?x2?y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面

z?1?x2?y2(x?0,y?0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标。

高等数学(I、II)期中考试题 2010年5月8日

一、填空（每小题3分，共15分） 1．设z?xy?exyzx?)，则du(1,2.0)? 。 y?x?t3?22．设曲线为?y?t，则它在t?1所对应点处的切线方程为 ；

?z?t?2223．设f?x,y,z??lnx?y?z，则gradf(1,1,1)? 。

?111,,}的方向导数为 ； ４．设函数u?2xy?z，则u在点?2,?1,1?处沿方向l?{3332５．I?x2?y2?R2??(x2?y)dxdy = 。

二、解答下列各题（每小题7分，共63分）

１．求曲面z?x?y?1在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。

3

22

２．计算积分：I??1?1dy?1?1?y2y2sinxydx。 xy2?2z３．设函数z?xf(2x,)，其中f二阶偏导数连续求。

x?x?y?xy22?22,x?y?0４．讨论函数f(x,y)??x?y在(0,0)处的偏导数的存在性及可微性。 22,x?y?0?0?５．设有形状为旋转抛物面的一容器，其中心轴截面与容器的截面方程为y?x2，现将长为l的细棒ＡＢ置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设l?1）． ６．（工科分析做①其他做②） ①求向量值函数f?[sin(x2?y2),ln(x2?z2),?1y2?z2)T在点(1,1,1)处的导数；

?2z②设由方程x?2y?z?4x?2z?5?0所确定的隐函数z?z(x,y)的二阶导数2.

?x222７．计算二重积分

??Dx2?y2dxdy，其中D?{(x,y)2x?x2?y2?4,x?0,y?0}。

８．设二元函数z?z(x,y)在ｘｏｙ平面上的任意一个有界区域Ｄ内存在一阶连续的偏导数，且

?z??z??22?dxdy?2xz?xz?dxdy，试求函数z?z(x,y)。 ????????x??x?D?D?９．设函数f(t)在[0,??)上连续，且满足方程f(t)?e4?t?222x?y2?4t2??f(12x?y2)dxdy，求f(t)。 2三、讨论题（每小题11分，共22分）

１．计算二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处对ｘ的偏导数fx(x0,y0)时，可以现将y?y0代入f(x,y)中，再求一元函数f(x,y0)在x0处对ｘ的偏导数，即fx(x0,y0)?224df(x,y0)dxx?x0,为什么？

２．试通过讨论函数f(x,y)?12x?8xy?y的极值点来说明当点(x,y)在过P0(x0,y0)的任一直线Ｌ上变动时，二元函数f(x,y)都在P0(x0,y0)处取得极值，能否断定该函数在P0(x0,y0)处取得极值？ 高等数学(I、II)期中考试题 2011年5月8日 一、填空（每小题5分，共20分） 1．求函数f(x,y)?elnsin(x?2y)在?x???,0?点处的全微分df? 。 ?4? 4

2．设函数u?2xy?z2，则u在点?2,?1,1?处沿方向的方向导数的最大值为 ； 3．求曲面x2?2y2?z2?1在点(,,?)处的切平面方程为 ；

112212xz?2z4. 设z?z(x,y)由方程?ln确定，则2? 。

zy?x二、单选题（每小题5分，共20分）

?x?t3?2１．在曲线?y?t的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线（ ）；

?z?t?A．只有1条； B．只有2条； C．只有3条； D．不存在；

12. lim2r?0?rx2?y2?r2??ex2?y2。 cos(x?y)dxdy = （ ）

A．?； B．3. 设f(x,y)连续，则I?(A) I?(C) I?1?； C．1； D．-1；

?e1dx?lnx0。 f(x,y)dy交换积分次序后为（ ）

e1?dy?1elnx0ef(x,y)dx； (B) I??ydy?f(x,y)dx；

e01e0e?lnx0dy?f(x,y)dx； (D) I??dy?yf(x,y)dx。

1?xy22?22,x?y?04.函数f(x,y)??x?y在(0,0)处（ ）。 22,x?y?0?0?A．无定义； B．连续； C．有极限但不连续； D．无极限；

三、（10分）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)是由方程z?xy?f(xz,yz)确定的可微函数，求

?z?z,； ?x?y四、（10分）讨论函数f(x,y)?xy在(0,0)处的连续性、可导性、可微性。

22五、（10分）在曲面?:z?x?2y上求一点p(x0,y0,z0)，使它到平面?:x?2y?2z?6?0的距离最短。

六、（10分）计算I??21dx?sinxx?x2ydy??dx?sin2x42?x2ydy；

七、（10分）计算二重积分

??sinDx2?y2dxdy其中D:?2?x2?y2?4?2。

八、（4分）（工科分析做①其他做②）

?xT①求向量值函数f(x,y,z)?(xcosy,ye,sin(xz))的Jacobi矩阵；

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