西安交通大学高等数学期中考题 (2)
更新时间:2024-05-20 06:19:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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高等数学(I、II)期中考试题 2008年4月26日
一、解答下列各题(每小题7分,共70分)
y21.设函数f?x,y??arcsin,求df(x,y)。214
x?2z?z2.设由方程x?2y?xy?z?9?0可确定z?z(x,y),求,。
?x(1,?2,1)?x?y(1,?2,1)223.求曲面z?x2?y2?1在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。
?x?sint?24.求曲线?y?t在t?0时的切线与法平面方程。
?z?2t?5.交换累次积分的次序:I?6.计算二重积分: I??1?1dy?1?1?y2y2f(x,y)dx,其中f(x,y)是连续。
x2?y2?a22(x???siny?1)dxdy。
7.设空间立体?是由抛物面z?x2?y2及平面z?h?0所围成,已知它的密度为f(x,y,z)?z2,试计算
它的质量。
8.求函数u?2yx?z2在点A?2,?1,1?处的方向导数的最大值。 9. 10.(工科分析做①其他做②)①设f(x,y)?(x?y,e22xyT)求Df(1,1),df(1,1);
?x2?y2?uv?u?v,。 u?u(x,y),v?v(x,y)②设方程组?2,确定了函数,求22?x?x?xy?u?vy?z?2z二、(8分)设函数z?f(xy,),其中f(x,y)二阶偏导数连续,求,。
x?x?x?y2?x2y,x2?y2?0?22三、(8分)设函数f(x,y)??x?y,试讨论该函数f(x,y)在点(0,0)的连续性、可微性。
?0,x2?y2?0?四、(7分)求曲面z?1?x?y在点M?1,?1,3?的切平面与曲面z?x?y所围立体的体积。
2222222五.(7分)设函数f(x,y,z)在闭球体?:x?y?z?3上有连续的偏导数,且满足条件①在?上
?f?1,?x?f?f??1,②f(1,1,1)?11,试求函数f(x,y,z)并证明7?f(x,y,z)?13,?(x,y,z)??。 ?1,?z?y
1
高等数学(I、II)期中考试题 2009年4月26日
一、填空(每小题3分,共15分)
1.设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在(1,?1)处取得极值,则常数a? ;
2.函数z?ln(e?x?x2y)在点?1,1?处沿l?{1,0}方向的方向导数?z?l? ; 3.曲线x?cost,y?sint,z?tant2在点?0,1,1?处的切线方程是 。 4. 交换累次积分的积分次序:
?1x23?x0dx?0f(x,y)dy??21dx?0f(x,y)dy= 。
5.设M?1,?1,2?是曲面z?f(x,y)上的一点,若fx(1,?1)?3,在任一点(x,y)处有:
xfx(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y),则曲面在M处的切平面的方程是 。
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
?4xy1.函数f(x,y)???x2?y2,x2?y2?0在点(0,0)处间断的原因是f(x,y)( )
??0,x2?y2?0A.在原点无定义; B.在原点极限存在但在原点无定义;
C.在原点极限不存在; D.在原点极限存在,但极限不等于原点的函数值; 2.函数f?x,y??2xy?3x2?2y2?10,点(0,0)处( );
A.取得极大值; B.取得极小值; C.无极值; D.不能判断是否取得极值; 3.设u?arctanyx ,则gradu(1,1)? ( ); (A) 12; (B) ?12; (C) {12,?12}; (D) {?112,2} 。
4.设f(u)是连续函数,平面区域D:0?y?1?x2(x?1),则
(x2?y2)dxdy=( )。(??fD)(A) ?11?x222 (B)
?11?y20dx?0f(x?y)dy; 0dy?0f(x2?y2)dx;
(C)
??1210d??0f(?)?d?; (D)
??0d??0f(?2)d?。
5.比较I???(x?y)2dxdy与J???(x?y)3dxdy的大小,其中D:(x?2)2?(y?2)2?2,则((D)(D)I?J; (B) I?J; (C) I?J; (D) I?J。
三、解答下列各题(每小题8分,共64分)
y?z?21.设函数z?arctanx?lnx2?y2,求z?x,?x?y。
2.求曲面x?y?z?2在任一点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
2
) (A)
3.计算二重积分:I??10dx?2x1xy1?y3dy。
4.(工科分析做①其他做②)①求向量值函数f(x,y)?(x2,xy,y2)T的Jacobi矩阵; ②设函数z?z(x,y)由方程F(x2?y2,y2?z2)?0所确定,其中F(u,v)可微,求y?z?z?x. ?x?y5.设F(t)?x2?y2?t2sine??x2?y2dxdy,求lim?t?2F?(t).。 t1?2222(x?y)sin?22,x?y?06.讨论函数f(x,y)??在(0,0)处的可微性。 x?y22,x?y?0?0?7.设有一物体,它是由曲面z?试求此物体的质量。
x2?y2和z?8?x2?y2所围成,已知它在任意一点处得密度为??z,
y?2z8.设函数z?f(x,),其中f具有二阶连续偏导数,求dz,。
x?x?y四(6分)在第一卦限内作旋转抛物面z?1?x2?y2的切平面,使得该切平面与旋转抛物面
z?1?x2?y2(x?0,y?0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小,求切点坐标。
高等数学(I、II)期中考试题 2010年5月8日
一、填空(每小题3分,共15分) 1.设z?xy?exyzx?),则du(1,2.0)? 。 y?x?t3?22.设曲线为?y?t,则它在t?1所对应点处的切线方程为 ;
?z?t?2223.设f?x,y,z??lnx?y?z,则gradf(1,1,1)? 。
?111,,}的方向导数为 ; 4.设函数u?2xy?z,则u在点?2,?1,1?处沿方向l?{33325.I?x2?y2?R2??(x2?y)dxdy = 。
二、解答下列各题(每小题7分,共63分)
1.求曲面z?x?y?1在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。
3
22
2.计算积分:I??1?1dy?1?1?y2y2sinxydx。 xy2?2z3.设函数z?xf(2x,),其中f二阶偏导数连续求。
x?x?y?xy22?22,x?y?04.讨论函数f(x,y)??x?y在(0,0)处的偏导数的存在性及可微性。 22,x?y?0?0?5.设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截面方程为y?x2,现将长为l的细棒AB置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设l?1). 6.(工科分析做①其他做②) ①求向量值函数f?[sin(x2?y2),ln(x2?z2),?1y2?z2)T在点(1,1,1)处的导数;
?2z②设由方程x?2y?z?4x?2z?5?0所确定的隐函数z?z(x,y)的二阶导数2.
?x2227.计算二重积分
??Dx2?y2dxdy,其中D?{(x,y)2x?x2?y2?4,x?0,y?0}。
8.设二元函数z?z(x,y)在xoy平面上的任意一个有界区域D内存在一阶连续的偏导数,且
?z??z??22?dxdy?2xz?xz?dxdy,试求函数z?z(x,y)。 ????????x??x?D?D?9.设函数f(t)在[0,??)上连续,且满足方程f(t)?e4?t?222x?y2?4t2??f(12x?y2)dxdy,求f(t)。 2三、讨论题(每小题11分,共22分)
1.计算二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,y0)时,可以现将y?y0代入f(x,y)中,再求一元函数f(x,y0)在x0处对x的偏导数,即fx(x0,y0)?224df(x,y0)dxx?x0,为什么?
2.试通过讨论函数f(x,y)?12x?8xy?y的极值点来说明当点(x,y)在过P0(x0,y0)的任一直线L上变动时,二元函数f(x,y)都在P0(x0,y0)处取得极值,能否断定该函数在P0(x0,y0)处取得极值? 高等数学(I、II)期中考试题 2011年5月8日 一、填空(每小题5分,共20分) 1.求函数f(x,y)?elnsin(x?2y)在?x???,0?点处的全微分df? 。 ?4? 4
2.设函数u?2xy?z2,则u在点?2,?1,1?处沿方向的方向导数的最大值为 ; 3.求曲面x2?2y2?z2?1在点(,,?)处的切平面方程为 ;
112212xz?2z4. 设z?z(x,y)由方程?ln确定,则2? 。
zy?x二、单选题(每小题5分,共20分)
?x?t3?21.在曲线?y?t的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线( );
?z?t?A.只有1条; B.只有2条; C.只有3条; D.不存在;
12. lim2r?0?rx2?y2?r2??ex2?y2。 cos(x?y)dxdy = ( )
A.?; B.3. 设f(x,y)连续,则I?(A) I?(C) I?1?; C.1; D.-1;
?e1dx?lnx0。 f(x,y)dy交换积分次序后为( )
e1?dy?1elnx0ef(x,y)dx; (B) I??ydy?f(x,y)dx;
e01e0e?lnx0dy?f(x,y)dx; (D) I??dy?yf(x,y)dx。
1?xy22?22,x?y?04.函数f(x,y)??x?y在(0,0)处( )。 22,x?y?0?0?A.无定义; B.连续; C.有极限但不连续; D.无极限;
三、(10分)设函数f(u,v)可微,z?z(x,y)是由方程z?xy?f(xz,yz)确定的可微函数,求
?z?z,; ?x?y四、(10分)讨论函数f(x,y)?xy在(0,0)处的连续性、可导性、可微性。
22五、(10分)在曲面?:z?x?2y上求一点p(x0,y0,z0),使它到平面?:x?2y?2z?6?0的距离最短。
六、(10分)计算I??21dx?sinxx?x2ydy??dx?sin2x42?x2ydy;
七、(10分)计算二重积分
??sinDx2?y2dxdy其中D:?2?x2?y2?4?2。
八、(4分)(工科分析做①其他做②)
?xT①求向量值函数f(x,y,z)?(xcosy,ye,sin(xz))的Jacobi矩阵;
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