高考数学考点突破 - 不等式：二元一次不等式（组）与简单的线性

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【考点梳理】

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有不包括边界直线 点组成的平面区域 包括边界直线 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．线性规划中的相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 【考点突破】 考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )

意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

A． B． C． D．

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x＋y－2≥0，??

(2) 不等式组?x＋2y－4≤0，

??x＋3y－2≥0

[答案] (1) C (2) 4

??x－2y＋1≥0，??x－2y＋1≤0，

?[解析] (1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或?画出平面区域?x＋y－3≤0?x＋y－3≥0.??

表示的平面区域的面积为__________．

后，只有C符合题意.

(2)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

??x＋3y－2＝0，

由?

?x＋2y－4＝0?

??x＝8，

得?

?y＝－2，?

∴A(0，2)，B(2，0)，C(8，－2)．

直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4，0)． 11

因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.

22【类题通法】

1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和. 【对点训练】

??x－3y＋6≥0，

1．不等式组?表示的平面区域是( )

?x－y＋2<0?

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A． B． C． D． [答案] B

[解析] x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.

y≤－x＋2，??

2．不等式组?y≤x－1，所表示的平面区域的面积为( )

??y≥0

111

A．1 B． C． D． 234[答案] D

[解析] 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.

??y＝－x＋2，1111

由?得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 2224?y＝x－1，?

考点二、求目标函数的最值问题

x－y＋1≥0，??

【例2】(1)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，

??x－3≤0，x＋y≤2，??

(2)若变量x，y满足?2x－3y≤9，

??x≥0，

2

则z＝x－2y的最小值为_____．

则x＋y的最大值是( )

2

A．4 B．9 C．10 D．12

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x≥－1，??

(3)若变量x，y满足约束条件?y≥x，

??3x＋5y≤8，

则z＝

yx－2

的取值范围是______．

x＋3y＋5≥0，??

(4)已知实数x，y满足：?x＋y－1≤0， 若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )

??x＋a≥0，

A．1 B．2 C．4 D．8 1??[答案] (1) －5 (2) C (3) ?－1，? (4) B

3??

x－y＋1≥0，??

[解析] (1)不等式组?x＋y－3≥0，

??x－3≤0

表示的可行域如图阴影部分所示．

11

由z＝x－2y得y＝x－z.

22

1

平移直线y＝x，易知经过点A(3，4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.

2(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x＋y表示平面区域内的点到原

?x＋y＝2，?

点距离的平方，由?

??2x－3y＝9

2

2

得A(3，－1)，由图易得(x＋y)max＝|OA|＝3＋(－1)＝10.

22222

故选C.

x≥－1，??

(3)作出不等式组?y≥x，

??3x＋5y≤8

所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，

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11?y?其中点A(1，1)，B(－1，－1)，C?－1，?.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2，0)5?x－2?1－11

的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.

1－2－1－23

(4)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点

a－5?a－5?C?－a，＝－4，解得a＝2，选B. ?时，z取得最小值－4，所以－a＋2·

?3?

3

【类题通法】

1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

(1)x＋y表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）＋（y－b）表示点(x，y)与点(a，b)的距离；

(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，

2

2

2

2

yxy－b表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. x－a3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 【对点训练】

x＋3y≤3，??

1．若设x，y满足约束条件?x－y≥1， 则z＝x＋y的最大值为( )

??y≥0，

A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] D

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[解析] 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3，故选D.

x－2y＋4≥0，??

2．已知实数x，y满足?2x＋y－2≥0，

??3x－y－3≤0，

则x＋y的取值范围是________．

22

?4?[答案] ?，13?

?5?

[解析] 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝x＋y可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的

??x－2y＋4＝0，

最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由?

?3x－y－3＝0?

2

2

可得

A(2，3)，

所以dmax＝2＋3＝13，dmin＝2

2

|－2|2＋1

22＝2

42

，所以d的最小值为，最大值为13，所以

55

??x2＋y2的取值范围是?，13?.

5

?

?

4

x－y＋1≥0，??y3．若x，y满足约束条件?x－2≤0，则z＝的最大值为________.

x??x＋y－2≥0，

[答案] 3

[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z＝＝

yy－0

，表示区域内的xx－0

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3

?2?x－y＋1＝0，?13?点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA，由?得A?，?，kOA＝＝3，∴zmax＝3.

1?22??x＋y－2＝0，?

2

x≥1，??y≥－1，

4．已知x，y满足约束条件?4x＋y≤9，

??x＋y≤3，

则m的值是( )

若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，

20

A．－ B．1 C．2 D．5

9[答案] B

[解析] 作出可行域，如图所示的阴影部分．

??x＝1，

∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由?

?x＋y＝3，?

??x＝1，

解得?

?y＝2，?

即A(1，

2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.

考点三、线性规划的实际应用

【例3】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.

[答案] 216 000

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[解析] 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制

??x＋0.3y≤90，

条件，得线性约束条件为?5x＋3y≤600，

x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N，

**

1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).

【类题通法】

解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答. 【对点训练】

某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )

A(吨) B(吨) A．12万元 C．17万元

甲 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8 B．16万元 D．18万元

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[答案] D

[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，??

?x＋2y≤8，??x≥0，y≥0，

z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋

4y经过点A(2，3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z4g7.html