解析几何经典例题

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆为（ ）

（即通径长）时，才能用上述解法。

，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹

图4

②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆

C. 双曲线 D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用

例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为［练习］

。

为焦点，

为其顶点，若P为两曲线

1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以的公共点，且

，则e＝__________。

答案：

2. 已知⊙O：，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线

y2?2x?1,点A(2,0), 问是否存在过点A的直线

l,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称,如果存在, 求出直线l的斜率k的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k)相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k的取值范围. 解: 设直线l的方程为

y?k(x?2),若k?0,则结论显然成立,即k?0可取.若k?0,

1?y??x?m,1?2y??x?m则直线PQ的方程为, 由方程组? 可得,y?2y?2kb?1?0. kk?y2?2x?1,? ∵ 直线PQ与抛物线有两个不同的交点, ∴

?4k2?4(?2kb?1)?0,即 k2?1?2kb?0.

y0?y1?y2??k, 2 设线段PQ的中点为G(x0,y0), 则∴ x0??k(y1?y2)?km??k(?k)?km?k2?km, 22∵ 点G(x0,y0)在直线l上, ∴ ?k=k(k?km?2), 由 k?0可得,

1?k2m?k,

1?k2?0, k2?1 (k?0) , ∴ ?1?k?0或0?k?1. ∴ k?1?2kk2综上所述, 直线l的斜率k的取值范围为?1?k?1.

22. (与名师对话第51练)已知M直线l过点(1,0),且与抛物线x?2y交于A,B两点,

O为原点,点 P在y轴的右侧且满足:OP?（1）求点P的轨迹C的方程;

11OA?OB. 22A到y轴的

（2） 若曲线C的切线的斜率为?,满足:MB??MA,点距离为a,求a的取值范围.

分析：由OP11?OA?OB可知，点P的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹. 22l的斜率存在,设为

解(1) 显然直线

k,则直线

l的方程为:

y?（kx?1）,由方程组

kx?1），?y?（2消去y整理得x?2kx?2k?0,设A(x1,y1),B(x2,y2), ?2?x?2y，x1?x2?2k,

∴

xp?x1?x2?k2,

yp?（kk?1）?k2?k, 消去k得点

P的轨迹C的轨迹方程为:

y?x2?x.

∵ 4k2?8k?0, ∴ k?0或k?2,

y轴的右侧, ∴ x?k?2,故点P的轨迹C为抛物线y?x2?x上的一段弧.

轴的距离为a就是点

∵ 点P在分析: 点

A到yA的横坐标的绝对值.因为曲线C的切线的斜率为?,所以

?=y'?2x?1,由x?2知,??3,由此可知,我们必须建立点A的横坐标的绝对值关于?的关系.

解(2): 设A(x1,y1),B(x2,y2),

则由MB??MA可知,(x2,y2)?(1,0)=?[(x1,y1)?(1,0)], ∴x2?1??(x1?1),y2??y1 ,

??x1???1, x22??x12, ∴ [?x1?(??1)]2??x12

?1,

2∴ x2∵ ?∴ ?x1?2?x1???1?0,

?2??4?1?1?2??1(??3),

, (?方法(一) x1?3),

∴ a?x1?1??∴ a?(1?33,1)?(1,1?). 331方法(二)

(x1?1)2???, (??3),

∴ 0?1?11332, 0?(x1?1)?, ∴ x1?1且1??x1?1?) 3333∴ a?(1?

33,1)?(1,1?). 333. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为x为?(0

2?2py (p?0),过点M(0,m)且倾斜角

?2)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1x2??p. 2（1）求m的值;

（2）若点M分

AB所成的比为?,求?关于?的函数关系式.

分析: 要求m的值,必须给出关于m的方程. 解(1): 设过点M(0,m)且倾斜角为?(0

?2)的直线的方程为

y?kx?m.

?y?kx?m，2由方程组?消去y整理得x?2pkx?2pm?0, 则x1x2??2pm,

2?x?2py，∵ x1x2??p2, ∴ ?2pm??p2, m??p. 2(0

分析: 由mp可知过点M(0,m)且倾斜角为?2?2)的直线为

y?kx?p.先建立关于2

k的函数关系式,再转换为关于?的函数关系式. 解(2): ∵ 关于?的函数关系式,

?x1???x2,pp?∴ AM??MB, (0,)?(x1,y1)??[(x2,y2)?(0,)], ?pp

22?y1??(y2?),??22由(1)可知x1?x2?2pk,x1x2??p2,

?x1???x2,?22由方程组?x1?x2?2pk,可消去x1,x2,p得,??2(2k?1)??1?0.

?2xx??p,?12∵ 0

? , ∴ ??1, 22222(1?sin?)21?sin?故??2k?1?2kk?1=2tan??1?2tan?tan??1?=

1?sin?cos2?4. (与名师对话第51练) 已知方向向量为v?(1,.

3)的直线l过点(0,-2)和椭圆

x2y2C:2?2?1 ab(a?b?0)的焦点, 且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（1）求椭圆C的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于M,N,满足:OM?ON?

46 3cot?MON ?0(O为原点)? 若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.

x2y2??1，F是它的左焦点，M6．(与名师对话第52练20) 椭圆C的方程为

189是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点.

(1) 求(2) 若标.

解(1): 设点G(x,y) (y?0) , M(x1,y1)由题设可知,F(?3则xOFM的重心G的轨迹方程;

OFM的重心G对原点和点P(-2,0)的张角?OGP最大, 求点G的坐

2，0)

?x1?3y，y?133, ∴ x1?3x?3，y1?3y,

∴

2（x?1）OFM的重心G的轨迹方程为?y2?1 (y?0).

22（x?1）?y2?1的两个焦点.下面证明当点P(-2,0)是椭圆

2(2) 由(1)可知, 原点和点M与椭圆

2（x?1）?y2?1的短轴的端点重合时张角?OGP最大. 2方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C上的一个动点M到椭圆的两个焦点的距离为r1、r2，则由椭圆的定义可知r1+r2=2

2.

在?MOP中,

r1?r2?OP2COS?OGP?2r1r222r1?r2?4(r1?r2)2?4?2r1r2==

2r1r22r1r2 (当且仅当r122(22)2?4?2r1r244==?2???2?r1r2(r1?r2)22r1r24=0

∴ 当r1?r2时,等于号成立)

?r2,即点

M与短轴的端点重合时张角?OGP最大, 最大角为90,这时点M的坐标为

0(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

2（x?1）x22?y2?1,原张角?y?1平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为将椭圆

22?OGP就是在点P处的两条焦半径的夹角.设点P的坐标为(

x0，y0),则

2222（2?x0）?（2?x0）?4x021122cos?F1PF2?=??x02?[0，2] 1212222?x02）2?（22?x0）（2?x0）（22x0222当x0?0时,cos?F1PF2?0, 当x02?（01]，, （0，2]时, cos?F1PF2??F1PF2的最大值为900,这时相应点P的坐标为(0,?1),在椭圆的原位置

故cos?F，, 1PF2?[01]相应点P的坐标为(-1,?1).

7.

x2y2??1的两个焦点F1，F2的距 (与名师对话第52练21) 已知动点P与双曲线

231. 9离之和为定值,且cos?F1PF2的最小值为?(1) 求动点P的轨迹方程;

(2) 若已知点D(0,3),点M，N在动点P的轨迹上,且DM数?的取值范围;

??DN,求实

(3) 若已知点D(1,1), 点M，N在动点P的轨迹上,且MD?DN,求直线

MN的方程.

x2y2??1的两个焦点F1，F2为其焦点 分析: 由题设可知, 动点P的轨迹是以双曲线

23的椭圆,因此动点P的轨迹方程可以用待定系数法求得.

x2y2??1的两个焦点F1，F2为其焦点 解(1): 由题设可知, 动点P的轨迹是以双曲线

23x2y2的椭圆,设其方程为2?2?1 (a?b?0).

ab可以证明(仿例6)当动点

P在椭圆的短轴的端点时

cos?F1PF2的值最小,这时

1012a2?2010221???cos?F1PF2??1?, ∴ , a?9. ∴ b?4, 222a92aax2y2??1. ∴ 动点P的轨迹方程为94 分析: 由DM??DN可知, 点D,M,N共线, 直线

MN的变化可以用其斜率表示(直线的方程为

y?kx?3,这时要

下面用直线方程

k作讨论),也可以用t表44z示(直线的方程为x?t(y?3),这时不需要对t作讨论).

y?kx?3求解.

解法(一): 由DM??DN可知, 点D,M,N共线.

1?或??5. 5若直线MN的斜率不存在,则??y?kx?3,若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y?kx?3,则由方程组?可得,

22?4x?9y?36,(9k2?4)x2?54kx?45?0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1?x2??54k45,xx?. 129k2?49k2?4又由DM??DN可得, x1??x2,

45?54k?54k?(54k)2?,x?∴ x1?, ∴ ?2(1??)9k2?4(1??)9k2?4(1??)2(9k2?4)29k2?459k2?454????(9?). ?∴

k2324k2(1??)2324∵ ??(54k)2?4?45(9k2?4)?0, ∴ k2?5. 9∴

115?1???5且??,5, , ∴ ??25536(1??)4综上所述,

1???5. 5分析：用点M,N的坐标表示直线MN的变化. 解法(二): 由DM??DN可知, 点D,M,N共线.

x12y12x22y22??1,??1. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则9494∵ DM??DN, ∴ x1??x2 , y1??y2?3??3,

∴

?2x229?2x22?2y22(?y2?3??3)2???2. ??1,

9443(2?y2?3??3)(1??)(?y2?3??3)2?2y22?1??2, ??1??2, ∴

444∴ ??1或

3(2?y2?3??3)113??5?1??, ?2?y2??2,??0解得???5.

546? (x0?0)作斜率 （x0，y0）y?ax2(a?0),过抛物线C上一点P8. 抛物线C的方程为

为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于. k2??k1?0（??0且??-1）A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P、A、B三点各不相同),且满足

(1) 求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线(3)当?AB上一点M满足:BM??MA,证明线段PM的中点在

y轴上;

?1时,若点P的坐标为(1,-1),求?PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

分析: 将a看作常量. 解(1): 抛物线C的方程为

x2?1y(a?0), 故抛物线aC的焦点坐标为(0，14a),准线方程为

y??1. 4a分析: 从形式上看, 线段PM的中点坐标与k1、k2、?相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.

解(2): 由题设可知,直线PA的方程为:

（?y0，?y?k1x?x0）,由方程组可y?k（x?x）?y?1002?y?ax，得,ax2?k1x?k1x0?y0?0,即ax2?k1x?k1x0?ax02?0,

?k1k?x0, 同理 x2?2?x0, aa∴ x1 ∵ BM ∵ k2, xM???MA, ∴ xM?x2??（x1?xM）?x1?x2=

1???（k1k?x0）?（2?x0）aa

1??, ∴ xM?-x0, ??k1?0（??0且??-1）∴ 线段PM的中点横坐标为0, 即线段PM的中点在分析:

y轴上.

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C的方程为

y??x2,

,又??1,故x1??（k1?1）x2?k1?1,

∴

22, B A（（?k1?1），-（k1?1））（k1?1，-（k1?1））∴

,AP?, AB?（2k1，4k1）（k1?2，k12?2k1）∵

?PAB为钝角,

P、A、B三点各不相同, ∴

AP?AB?0,即有

?0,2k1(k1?2)?4k1(k12?2k1)?0,k1(k1?2)(2k1?1)?0 （2k1，4k1）?（k1?2，k12?2k1）∴ k1∴ ∴

??2或?1?k1?0, 21?k1?0, 2y1?(k1?1)2, k1??2或?y1??1或?1?y1??1. 49.已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条经过点（3，?交椭圆C于A,B两点,交X轴于M点,又

(1) 求直线l的方程;

(2) 求椭圆C的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l的方程为

且方向向量为a?的直线l5）（?2，5）AM?2MB.

y??5（x?3）?5. 2分析: “直线l与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于a，b的不等式, 向量等式

AM?2MB可以转化为一个关于a，b的等式.

解(2):

?5?5,4242?y??（x?3）22由方程组?可得（b?a）y?by?b2?a2b2?0. 255?b2x2?a2y2?a2b2,?b2?a2b2设设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1?y2?. ，y1y2?424b?a2b2?a255由

42b5AM?2MB可知, y1?2y2 ,

b2?a2b2∴ y1?,y2?, ∴ ?4244242b?a2（b2?a2）b?a2b2?a2555525a（a2?1）?0 ∴ 4b?9?a22?42b582b5322b5,

∵

?(?4224b)?4(b2?a2)(b2?a2b2)?0, ∴ 5a2?4b2?5,

552?5a2(a2?1)?5a(a?1)?0,?2?0,?9?a?2∴ ?9?a2 ∴ ? 1?a?9.

22?5a2?5a(a?1)?5,?5a2?4b2?5,??9?a2?22415a（a2?1）222a?或a?9, ?4a∵ b?a, ∴ 4b?, ∴ 299?a222∴ 1?a2?4141, 1?a?, 93 ∴ 2?2a?241241). ,即椭圆C的长轴长的取值范围为(2,3310.自点

A(0,?1)向抛物线C:y?x2作切线AB,切点为B,且点B在第一象限,再过线

段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E,F,直线AE,AF分别交抛物线C于P,Q两点. (1) 求切线AB的方程及切点B的坐标; (2) 证明PQ??AB(??R).

(x0,y0),过点B的切线的方程为

解(1): 设切点B的坐标为

y?2x0(x?x0)?x02,

∵ 切线过点

A(0?,1), ∴ ?1?2x0(?x0)?x20, x0?1,

∵ 点B在抛物线上, ∴ ∴ 切线AB的方程为 分析: 即证明

y0?1,

y?2x?1, 切点B的坐标为(1,1).

AB∥PQ.

M的坐标为

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB的中点

1(,0),设直线l2的方程为

1y?k(x?), E(x1,x12),F(x2,x22),P(x3,x32),Q(x4,x42).

21?y?k(x?),11?由方程组?2 可得x2?mx?m?0, 故x1?x2?m,x1x2?m.

22?y?x2,?PQ?(x4?x3,x42?x32)?(x4?x3)(1,x4?x3).

x32?1x12?1∵ A,E,P三点共线, ∴ =,x1x3?1 , 同理x2x4?1,

x1x3∴ PQ?(x?x2(x1?x2)1111x?x?)(1,?)=12(1,12)?(1,2) x2x1x2x1x1x2x1x2m2(x1?x2)?R).

m由

AB?(1,2)可知, PQ??AB(其中??x2y211. 设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点为A, P为双曲线上异于点A的一个动点, 从A引双

ab曲线的渐近线的两条平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明:无论P点在什么位置,总有

2OP?OQ?OR(O为坐标原点);

(2) 若以OP为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP的方程为

y?kx, 直线

AR的方程为

y?b(x?a)a, AQ的方程为

by??(x?a).

ab?y?(x?a),?ab?kab?ab?kab?R(,)(,), OR由方程组? 得 , ∴ =aak?bak?bak?bak?b?y?kx,?同理OQ=(abkab,),

ak?bak?b=

∴

OQ?OR?ab?kab?ab?kab(,)?(,)ak?bak?bak?bak?ba2b2(1?k2)=.

a2k2?b2设P(m,n),

?x2y2a2b2k2a2b2?2?2?1,22由方程组?a得m?2,n?2b22b?akb?a2k2?y?kx,?a2b2(1?k2)∴ OP=. 222b?ak2

∵ 直线OP过原点, ∴ b2?ak?0, ∴ OP?OQ?OR222.

(2) 解: 由题设知,

a2b2(1?k2)4b2?ab2?0,=4ab, k?222b?akab?4a22

b2又k?2a解得a

圆锥曲线的一个统一性质

4b2?abb2?2, ∴ 2aab?4a.

, (恒成立))

?4b, ∴ e?174———由一道高考题引发出的思考

题（2001年全国·理）：

设抛物线y2=2px（p>0）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过原点O。

参考答案给出了如下的几何证法：

证明：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E， 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． 连结AC，与EF相交手点N，则

l D

Y A |EN||CN||BF||NF||AF|??,?

|AD||AC||AB||BC||AB|根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|

O E C N B F X ?|EN|?|AD|?|BF||AF|?|BC|??|NF|,

|AB||AB|

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合， 所以直线AC经过原点O．

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