第三章 刚体力学

力学基础 第三章 刚体力学

第三章 刚体力学

§ 3—1 刚体的定轴转动

在上述两章中，我们介绍了质点运动的一些重要规律，现在简单地介绍具有一定形状和大小的物体的运动规律．当研究物体的运动不能忽略物体的大小和形状时，质点模型就不适用了。这时，可以把物体看作是由若干质点组成的质点系。当这种质点系受到外力的作用时，有的形状和大小随着运动状态的改变而作明显的改变（例如流体和弹性体），有的形状和大小实际上只有微小的变化，例如大多数固体。当固体在运动中其形状和大小的相对改变可以作为次要因素忽略不计时，可以把固体看作是由若干彼此维持固定距离的质点组成，这种理想模型就是刚体．刚体无论在多大的外力作用下，其形状和大小都保持不变，或者说，刚体在任何情况下，刚体内任意两个质点之间的距离保持不变．例如研究地球的自转或飞轮的转动时，我们即可把地球、飞轮看成刚体．刚体也是常用的力学模型．

刚体的最简单的运动是平动和转动．当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动（图3—1a）．例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动等等都是平动．显然，刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相等的，而且在任何时刻，各个质点的速度、加速度也都是相同的．所以刚体内任何一一点的运动就可代表整个刚体的运动．

图3—1a 图3—1b

图3—1 平动和转动

刚体运动时，如果刚体中的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动（图3—1b），这一直线称为转轴．例如机器上齿轮的运动，钟摆的运动，地球的自转运动等等都是转动．如果转轴是固定不动的，就称为定轴转动．在本章中，我们主要研究刚体的定轴转动．关于刚体的一般运动规律，将在理论力学课程中讲述，这里不作讨论．

研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于 定轴的平面作为转动平面．如图所示，O为转轴与某一转动平面的交点，P为刚体上的一个质点，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，具有一定的角位移、角速度和角加速度。显然，刚体中任何其他质点也都在各自的转动平面内作圆周运动，而且都具有与P点相等的角位移、角

速度和角加速度．运动学中讨论过的角位移、角 图3—2 转动平面 速度和角加速度等概念以及有关的公式，都可适用于刚体的定轴转动．至于刚体内各个质点的位移、速度和加速度，则由于各质点离开转轴的距离和方位有所不同，所以也是各不相同的．转动中的角位移、角速度和角加速度等角量，与质点的位移、速度和加速度等线量之间

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的关系，我们在讲述圆周运动时已作过介绍，这里不重复讨论．

刚体的一般运动比较复杂．但可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加．例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着轴承的平动和整个车轮绕轴承的转动．又如，在拧紧或松开螺帽时，螺帽同时作沿轴线方向的平动和绕轴线的转动．

角速度矢量 为了充分反映刚体转动的情况，常用矢量来表示角速度．角速度矢量是这样规定的：在转轴上画一有向线段，使其长度按一定比例代表角速度的大小，它的方向与

图3—3 角速度矢量的方向按右手螺旋定则规定 图3—4 线速度和角速度之间的矢量关系刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则来确定，这就是使右手螺旋转动的方向和刚

体转动 的方向相一致，则螺旋前进的方向，便是角速度矢量的正方向，如图3—3所示．

在转轴上确定了角速度矢量之后，则刚体上任一质点P（离转轴的距离OP为r，相应的矢径OP为r）的线速度?和角速度?之间的关系式为（参看图3—4）

????r （3—1） 这样，采用两矢量的矢积表示式，可同时表述角速度和线速度之间的方向上和量值上的关系．

????????d????在定轴转动中，角加速度矢量?按式??定义．当刚体转动加快时，?和?方向

dt??相同，当刚体转动减慢时，?与?方向相反．

§ 3—2 转动动能 转动惯量

本节先计算刚体以角速度?绕定轴转动时的转动动能，然后再引人转动中一个重要的

概念，即转动惯量．

刚体可以看成是由许多质点所组成的．设各质点的质量分别为?m1、?m2、…，各质点与转轴的距离分别为r1、r2…．当刚体绕定轴转动时，各质点的角速度?相等，但线速度各不相同．设其中第i个质点的线速度为vi，其大小为?i?ri?，则相应的动能为

???11?mi?i2??miri2?2 22整个刚体的动能是所有各质点的动能之和，即

2?m1?12?m2?2?m1r12?2?m2r22?2Ek????????

2222

?miri2?2??291

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?2 因对各质点都相同，可从累加号内提出，所以刚体转动动能为

2 Ek?(??mr2ii)?22 （3一2）

上式括号内的最常用I来表示，叫做刚体对给定转轴的转动惯量，因此上式可写作

Ek?转动惯量I的定义式为

I?r1?m1?r2?m2???2212I? （3—2a） 2?r2i?mi （3—3）

也就是说，转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的总和，而与质点的运动速度无关．将式（3—3a）与平动中的动能公式相比较，可知转动惯量相当于平动时的质量，是物体在转动中惯性大小的量度．

一般物体的质量可以认为是连续分布的，这时，上式（3—3）应写成积分形式

22 I?rdm?r?dV （3一3a）

??式中dV表示相应于dm的体积元，?表示体积元处的密度，r是体积元与转轴之间的距离．

在国际单位制中，转动惯量的单位是千克?米2（代号kg?m），转动惯量的量纲为

2ML2．

从式（3—3）或式（3—3a）可以看出，刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定转轴的分布情况．具体地说，刚体的转动惯量与下列因素有关．第一，与刚体的质量有关．第二，在质量一定的情况下，还与质量的分布有关，亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关．例如，同质料的质量相等的空心圆柱和实心圆柱，对于圆柱的轴来说，前者的转动惯量较大．又例如质量和半径都相等的两个圆盘，一个中间密度大而边缘密度小，另一个中间密度小而边缘密度大，对于通过圆心并与圆面垂直的转轴来说，后者的转动惯量较人．第三，转动惯量与转轴的位置有关．例如同一均匀细长棒，对于通过棒的中心并与棒垂直的转轴和通过棒的一端并与棒垂直的另一转轴，转动惯量是不相同的，后者较大．所以只有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确意义．

物体的总质量为m???mi．物体对转轴的转动惯量为I??r2i?mi．通常把I记

2作I?mrG，式中的rG称为物体对该转轴的回转半径．这就是从该物体对该转轴的旋转效

应来看，物体的质量好象集中在离轴距离为rG的一个圆周上．

几何形状简单的、密度均匀的几种物体对不同转轴的转动惯量如表3—1所示．

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表3—1 刚体的转动惯量

图 3—5

关于转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。这两条定理反映了刚体绕不同轴的转动惯量之间的关系，它们将有助于我们计算转动惯量。

平行轴定理 图3—5表示通过刚体质心C而垂直于平行轴的一个刚体截面，平行轴于

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此截面相交于A点。可以证明，把同一刚体对过质心的轴的转动惯量Ic与对于另一个平行轴的转动惯量I联系起来的公式是

I?Ic?md2 （3—4）

d为这两轴的距离 。

垂直轴定理 如图3—6所示 ，已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为x轴和

y轴）的转动惯量为Ix和Iy，则薄板绕z轴的转动惯量

Iz?Ix?Iy （3—5）

此即垂直轴定理。

圆盘绕通过中心且垂直于盘面的转动惯量为的转动惯量为

1mR2，由垂直轴定理知，圆盘绕其直径21mR2。 4

图 3—6

表3—1 所列的都是对质心轴的转动惯量。运用式（3—4）就可求出对于平行轴的转动惯量。例如对细长直棒的端垂轴的转动惯量为

11?l?I?Ic?md?ml2?m???ml2123?2?22

例题3一1 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面（1）、（2）和（3）所给定的转轴的转

动惯量．

（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并与棒垂直；

（3）转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直．

图3—7 例题3—1用图

解 在细棒上任取一长度元dx，离转轴距离为x（图3一7），质量为dm??dx，其中

?为细棒的质量线密度．根据转动惯量定义I??r2dm得

（1）当转轴通过中心并与棒垂直时

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I??将棒的质量线密度??l2l?2l132l3x?dx?x?|l??

?31222m代入，即得 ll3m1I??ml2

12l12（2）当转轴通过棒的一端并与棒垂直时，

l11I??x2?dx?l3??ml2

033（3）当转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直时

I??l?h2l??h2x2?dx?lml2?mh2 12由此可以看出，同一均匀细棒，如果转轴的位置不同，转动惯量也不相同．

例题3—2 求质量为m、半径为a的细圆环或圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量．

图3—8 例题3—2用图

解 （1）细圆环的质量可以认为全部分布在半径为a的圆周上．即在距中心小于或大于a的各处，质量均为零．所以转动惯量为

I??a2?mi?a2??mi?ma2

（2）对圆盘来说，质量均匀分布在半径为a的整个圆面上．在离转轴的距离为r至

r?dr处取一小环，面积为dS?2??rdr，质量为dm??dS，其中?为圆盘的质量面密

度，则小环的转动惯量为dI?rdm?2???rdr，而整个圆盘的转动惯量为

23I??dI??r2dm?2???r3dr?00ma?2?a4

质量面密度??m2，代人上式得 ?aI?1ma2 295

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由此可以看出两个质量相等，形状相同，转轴位置也相同的刚体，由于质量分布情况不同，两个刚体的转动惯量也不相同．

§ 3—3 力矩 转动定律

力矩 一个具有固定轴的静止物体，在外力作用下可能发生转动，也可能不发生转动．由事实可知，物体的转动与否不仅与力的大小有关，而且与力的作用点以及作用力的方向有关．例如，当我们开关门窗时，如果作用力与转轴平行或通过转轴，那末不论用多大的力也不能把门窗打开或关上．因此，在转动中必须研究力矩的作用．

设刚体所受外力f在垂直于转轴O的平面内（图3—9a），力的作用线和转轴之间的垂直距离为d，d称为这力对转轴的力臂，力的大小与力臂的乘积称为这力对转轴的力矩．用M表示力矩， 即

M?fd （3—6） 这是力矩的定义式

设力f的作用点是P，作用点离开转轴的垂直距离是r（相应的矢径是r）．从图3—9a中可以看出：d?rsin?，?是力与矢径r之间的夹角，所以上式也可写成

M?frsin? （3—6a）

????（a）外力在垂直于转轴的平面内 (b) 外力在不垂直于转轴的平面内

图3—9 力矩

力矩是矢量，在定轴转动中，力矩的方向是沿着转轴的，指向是按右手螺旋定则规定的，即由矢径的方向（经过小于180的角度）转到力的方向时右手螺旋的前进方向．根据力矩的大小和如上规定的方向，力矩可用矢径r和力f的矢积表示：

?????? M?r?f （3—6b）

如果外力不在垂直于转轴的平面内，那就必须把外力分成两个分力，一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力（图3—9b）．只有在转动平面内的分力能使物体

?f转动．因此，在上述力矩定义式（3—6）、式（3—6a）和式（3—6b）中，和f应理解

为外力在它作用点的转动平面内的分力．

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在国际单位制中，力矩的单位为米·牛顿（代号m?N）．力矩的量纲是MLT2?2．

在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上时，它们的作用将相当于某单个力矩的作用，这个力矩称为这些力的合力矩．实验指出，合力矩的量值等于这几个力各自的力矩的代数和．

转动定律 实验指出，一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原在转动的则作匀角速转动）．这就是转动刚体的第一定律，它反映了任何转动的物体都具有转动惯性．可注意到，这一定律在转动中的地位和牛顿第一定律在平动中的地位相当．

实验还指出，一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）不等于零时，它将获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度?的量值和它所受的合外力矩M的量值成正比，并与它的转动惯量成反比（这里M、I、?都是对同一转轴而言），即

??M或M?kI? I当M、I、?均用国际单位制的单位时，比例系数k?1，于是

M?I? （3—7） 这一关系就是转动刚体的第二定律．显然，这个定律在转动中的地位和牛顿第二定律在平动中的地位也恰相当，将M?I?和f?ma两相比较，可知式中的转动惯量I和质量m相当．它是反映转动惯性大小（给定刚体对给定转轴而言）的物理量．

综上所述，转动定律M?I?，是表述刚体转动规律的基本方程． 用矢量式表示时，转动定律可写作 M?I??Id? （3—7a） dt 转动定律的推导 在力学理论中，刚体运动的规律可以在质点运动的最基本规律—--牛顿运动定律的基础上演绎推导出来。也就是说，两者之间有极其深刻的内在联系．下面，我们说明如何推证转动定律．

图3—10 推到转动定律用图

图3—10表示一个绕固定轴OZ转动的刚体，其中P点表示刚体中的某一质点，质量为

?．设刚体绕轴转动的角速度和角加速度分?mi．P点离转轴的距离为ri（相应的矢径为ri）

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???别为?和?，此时质点P所受的外力和内力分别为Fi和fi，这里fi表示刚体中所有其他

质点对P作用的合内力．为使讨论简化起见，我们假设Fi和fi都在P点的转动平面内（它们与矢径ri的交角分别为?i和?i）．根据牛顿第二运动定律，

?????? Fi?fi?(?mi)ai （1）

式中的ai是质点P点的加速度．质点P绕转轴作圆周运动，把力和加速度都沿径向和切向分解，可写出径向和切向分量的方程如下：

??(Ficos?i?ficos?i)?(?mi)ain?(?mi)ri?2 （2）

Fisin?i?fisin?i?(?mi)ait?(?mi)ri? （3）

式中ain?ri?2和ait?ri?分别是质点P的向心加速度和切向加速度．式（2）左边表示质点P所受的向心力，式（3）左边表示质点P所受的切向力．向心力的作用线是通过转轴的， 其力矩为零，我们不予考虑．在式（3）的两边各乘以ri，我们得到

Firisin?i?firisin?i?(?mi)ri2? （4）

??式（4）左边的第一项是外力Fi对转轴的力矩，第二项是内力fi对转轴的力矩．

同理，对刚体中全部质点都可写出和式（4）相当的方程．把这些式子全部相加，则有：

?Frsin???frsin?iiiiiiii?(?ri2?mi)? （5）

因为内力中的任一对（比如说质点?mi和?mj之间）作用力和反作用力的力矩相加为零，所以式（5）左边表示所有内力力矩总和的项左边只剩下第一项

?frsin?也应等于零．这样，式（5）

iiii?frsin?，按定义，它是刚体所受全部外力对转轴OZ的力矩的总和，

iiii也就是合外力矩．用M表示合外力矩，I(??r2i?mi)表示转动惯量，则式（5）可写成

M?Iβ

以上，我们从牛顿第二定律和第三定律出发导出了转动定律．

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图3—11例题3—3 用图

例题3—3 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质最为m1和m2的物体，m1?m2，如图3—11所示．设滑轮的质量为m，半径为r，其转动惯量可按I?计算（滑轮视为圆盘）．绳与轮之间无相对滑动．试求物体的加速度和绳的张力．

解 按题意，滑轮具有一定的转动惯量．在转动中，两边绳子的张力不再相等．设m1这边的张力为T1、T1（T1?T1），m2这边的张力为T2、T2(T2?T2)．因m2?m1，m1向上运动，m2向下运动，而滑轮顺时针旋转．按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程：

12mr2????T1?P1?m1a P2?T2?m2a

??T2r?T2r?I?

式中?是滑轮的角加速度，a是物体的加速度，P1?m1g，P2?m2g

因为绳与轮之间无相对滑动，因此，滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即

a?r?

从以上各式即可解得

a?(m2?m1)g(m2?m1)g? I1m1?m2?2m1?m2?m2r 99

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1m1(2m2?m)g2而 T1?m1(g?a)? 1m1?m2?m21m2(2m1?m)g?2 T2?m2(g?a)?1m1?m2?m2??a?r(m2?m1)g 1(m1?m2?m)r2例题3—4 如图3—12所示，质量均为m的两物体A、B。A放在倾角为?的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m。物体 运动时，绳与滑轮无相对运动。求绳中张力T1和T2及物体的加速度a（轮轴光滑）

图3—12 例题3—4 用图

解 物体A,B，定滑轮受力图见图3—12。对于作平动的刚体A,B，分别由牛顿定律得

T1??mgsin??maA （1） mg?T2??maB （2）

又 T1??T1,T2??T2 （3） 对定滑轮，由转动定理得

T2R?T1R?I? （4） 由于绳子不可伸长，所以

aA?aB?R? （5） I?联立式（1），（2），（3），（4）,(5)得

1mR2 22?3sin?mg 53?2sin?mg T2?5 T1?

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aA?aB?

2(1?sin?)g

5§ 3—4 力矩的功 刚体定轴转动中的动能定理

当刚体受外力矩的作用而绕固定转轴加速转动时，刚体的转动动能增加，这是由于外力矩对刚体作功的结果．在本节中，我们要研究两者之间量值上的关系．下面，我们先说明力矩的功．

力矩的功 设刚体在几个外力的作用下，在dt时间内绕固定转轴O转过一极小的角位

??移d?，这时，某质点P的位移为ds，ds?rd?（图3—13）．设质点P处所受的外力为F、

?????内力为f（图中未画出f）．因位移ds与OP垂直，F与ds所成的夹角为?，按功的定

义，力F在这段位移中所作的功是

?dA?Fcos?ds?Frcos?d?

因????900，所以cos??sin?，按式（3—6a），上

式可写成

dA?Md? （3—8） 式中M是力F的力矩．式（3—7）表明力矩所作的微功等于力矩M和角位移d?的乘积．

当刚体在恒力矩M作用下转过?角时，力矩所作的功为

A?M? 图3—13 力矩的功

而变力矩所作的功为

A?Md? （3—8a）

??同理，内力f的力矩所作的功也可写成式（3—8）的形式．换句话说，式（3—8）和

式（3—8a）是计算力矩的功的通式，M可以代表某一个力的力矩，也可代表某几个力的合力矩．

由式（3一8）可以求得力矩M的功率

N?dAd??M?M? （3一9） dtdt当力矩与角速度同方向时，力矩的功和功率为正值；当力矩与角速度相反方向时，力矩的功

和功率为负值，这时的力矩常称为阻力矩．

对一个绕固定轴转动的刚体来说，要考虑刚体上所有外力和所有内力的总功．所有外力的功的总和可表示为合外力矩的功，所有内力的功的总和也可表示为内力矩的功的总和．由于任一对内力（比如说质点?mi和?mj之间的内力）大小相等、方向相反且在同一直线上，这一对内力力矩的代数和为零，这一对内力力矩的总功也为零，所以定轴转动刚体上所有内力矩的总功也必为零．这样，我们只要考虑定轴刚体上合外力矩的功．

刚体定轴转动中的动能定理 如上所说，对于定轴转动的刚体，只要考虑合外力矩对

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它所作的功．事实上，从转动定律M?I?出发，因??d?d?d?d????，我们有 dtd?dtd?M?I??于是有

d? d?122 Md??I?d??d(I?) （3—10） 当刚体的角速度从t1时刻的?1改变为t2时刻的?2时，在这个过程中，将式（3—10）两边进行积分后，得

A?Md??t1?t2????2111212d(I?2)?I?2?I?1 （3一10a）222式(3一10)和式(3－10a)表明：合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量．这

一关系称为刚体定轴转动中的动能定理．

可注意到，上面我们从转动定律直接推出定轴刚体的动能定理，并未涉及刚体上的内力和内力矩．这一事实也正说明定轴刚体上所有内力的总功是等于零的．对于一个绕轴转动的非刚体来说，这一结论并不适用；这时，内力的功（或内力矩的功）的总和并非一定为零，有关情况仍需应用上章中质点系的功和动能的关系式进行分析．这里就不再赘述．

例题3—5一根质量为m、长为l的均匀细棒AB（图3—14），可绕一水平的光滑转轴

lO在竖直平面内转动，O轴离A端的距离为．今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动，

3求：

（1）棒在水平位置上刚起动时的角加速度； （2）棒转到竖直位置时的角速度和角加速度；

（3）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度．

解 先确定细棒AB对O轴的转动惯量I0．参看例题3一1（3）中计算细棒转动惯量的答案，令h?l，可算出 6I0?1l1ml2?m()2?ml2 1269?AB再对细棒所受的力作一分析：重力P，作用在棒的中点C（重心），方向竖直向下；

轴与棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力N垂直于棒与轴的接触面而且通过O点，在棒的转动过程中，这力的方向和大小将是随时改变的．在棒的转动过程中，对转轴O而言，

???支承力N通过O点，所以支承力对轴的力矩等于零．重力P的力矩则是变力矩，大小等于

mglcos?，其中的?是棒的B端从水平位置下转的角度． 6 102

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图3—14 例题3—5 用图

（1）当棒在水平位置上刚起动时，所受重力力矩M?mg度

l，按转动定律算得角加速6lM6?3g ???I0122lml9（2）当棒转过一极小的角位移d?时，重力知所作的微功是

ldA?mgcos?d?

6mg在棒从水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩所作的总功

lmglA??dA??2mgcos?d??

066棒在水平位置时的角速度?0?0，转到竖直位置时角速度为?，按定轴转动刚体的动能定理，应有

?mgl1?I0?2 62由此算得

??mgl?3I0mgl3g ?12l3ml9在竖在位置时，细棒所受重力矩为零，此时瞬时角加速度为零．

（3）棒在竖直位置时，棒的两端A、B和中点C的速度、加速度计算如下：

?c??rC?3lgl3g （方向向左） ?6l63lgl3g （方向向右） ?A??rA??3l3?B??rB?2l3g23lg （方向向左） ?3l3 103

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ac??rc?2l3gg? （方向向上，指向O点） 6l2 aA??2rA?g （方向向下，指向O点） aB??2rB?2g （方向向上，指向O点）

例题3—6 长为l的均匀细棒，绕过其一端O并与杆垂直的水平轴转动。设杆从水平位

置由静止释放，求杆与水平线成?角时，杆的质心速度。设转轴光滑。

解 [解法一]应用刚体定轴转动的动能定理

以杆为研究对象，它受到重力mg和转轴的作用力N。由于转轴光滑，N不作功，所以只有mg作功。当杆从水平位置落至题设的位置时，重力作功为

A?mg在此期间，杆的动能的增量

lsin? 212I??0 图3—15 例题3—6 用图 2Ek?Ek0?

由动能定理

将I?12mgI??lsin? 2212ml代入，得 3??质心的速度为 ?c?3gsin? ll1??3glsin? 22[解法二]应用刚体定轴转动的机械能守恒定律

以杆和地球为一系统由于轴光滑，使作用与杆的外力N1不作功，而地球和杆的相互作用力为保守内力，所以杆的机械能守恒。选择水平位置为杆的势能零点，开始时

E0?0

12lI??mgsin? 2212l所以 I??mgsin??0

22至杆与水平线夹角为?时，E???3g1sin?,?c?3glsin? l2§ 3—5 动量矩和冲量矩 动量矩守恒定律

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力学基础 第三章 刚体力学

与冲量相似，我们用冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应．冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间．

???d?刚体作定轴转动时，根据转动定律M?I??I，可得

dt???d(I?)dL? M? （3—11） dtdt??和 Mdt?d(I?) （3—12）

在以上两式中，因为刚体对于某一定轴的转动惯量是一恒量，所以可将Id?写成d(I?)，即量I?的增量，L?I?，称为物体对转轴的动量矩．式（3—11）表明：物体对某给定轴的动量矩的时间变化率等于物体所受到的对该轴的合外力矩．这是用动量矩陈述的转动定律．当刚体的角速度从t1时刻的?1改变为t2时刻的?2时，在这个过程中，将式（3—12）两边进行积分后，得

????????t2t1??2??? Mdt??d(I?)?I?2?I?1 （3—12a）

?1t1???t2?MMdt是合外力矩M在dt时间内的冲量矩，是合外力矩在t2?t1这段时间内的冲?Mdt量矩，所以式（3—12）和式（3—12a）表明：转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段

时间内转动物体动量矩的增量，这一关系叫做动量矩定理．动量矩也叫做角动量． 这一关系也叫角动量定理．

在国际单位制中，冲量矩的单位是米·牛顿·秒（符号m?N?s），动量矩的单位是

2?1千克·米2·秒?1（符号kg?m2?s?1），冲量矩和动量矩的量纲相同，都是MLT．

导出上述公式时，我们曾假定物体的转动惯量保持不变．在实际中，某些物体（例如非刚体）在运动时，虽然转动惯量可以发生变化，但是，式（3—11）仍然成立，动量矩定理也仍然是正确的．在这种情况下，可写成

?t2t1????Mdt?M?t?I2?2?I1?1 （3一13）

?式中I1和?1分别表示物体在开始时刻t1的转动惯量和角速度，I2和?2分别表示物体在终

???了时刻t2的转动惯量和角速度，?t?t2?t1是力矩M的作用时间，M表示力矩在这段时

间内的平均量．

如果物体所受的合外力矩M恒等于零，那末根据式（3—10）得

???dLd(I?)??0 dtdt 105

力学基础 第三章 刚体力学

??所以 L?I??恒矢量 （3—14）

?亦即当物体所受的合外力矩等于零时，物体的动量矩I?保持不变．这一结论就是动量矩守

恒定律，也叫做角动量守恒定律．

因为物体的动量矩等于物体的转动惯量和角速度的乘积，所以动量矩保持不变的情况可能有两种，一种是转动惯量和角速度均保持不变；另一种是转动惯量和角速度同时改变，但乘积保持不变．例如，一个正在转动的飞轮，当所受的摩擦阻力矩可以忽略时，就近似于前一种情况．

（a） (b)

图3—16 动量矩守恒定律的演示实验

动量矩守恒定律的后一种情况可用下述方法进行演示．设有一人坐在凳子上，凳子能绕 竖直轴转动（转动中的摩擦忽略不计）．人的两手各握一个很重的哑铃，当他平举两臂时，在别人的帮助下，使人和凳一起以一定的角速度转动起来（图3—16a），然后，此人在转动中放下两臂．由于这时没有外力矩作用，凳和人的动量矩保持不变，所以当人放下两臂后，转动惯量减少，结果角速度要增大，也就是说比平举两臂时要转得快一些（图3—16b）．

在日常生活中，利用动量矩守恒定律的例子也是很多的．例如舞蹈演员、溜冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂收回靠拢身体，使自己的转动惯量迅速减少，因而旋转速度加快．

动量矩守恒定律，与前面介绍的动量守恒定律和能量守恒定律一样，是自然界中的普遍规律．我们以后会看到，即使在原子内部，也都很严格地遵守着这三条定律．

现在将平动和转动的一些重要公式列表对照（表3—2），以资参考．

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力学基础 第三章 刚体力学

表 3—2

例题3—7 一根质量为m，长为2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动．开始时细棒在水平位置（图3—17）．一质量为m?的小球，以速度u垂直落到棒的端点．设小球与棒作完全弹性碰撞．求碰撞后，小球的回跳速度以及棒的角速度各等于多少？

图 3—17 小球和细棒的碰撞

解 令?表示碰撞后小球的速度，?表示棒的角速度．对小球来说，应用动量定理，可写出

?fdt?m???(?m?u)?m?(??u) （向上为正） （1）

积分式表示细棒给予小球的冲量．

对于细棒，应用动量矩定理，可写出

??l?fdt??I? （2） ?Mdt??lfdt这里积分式表示小球给予细棒的冲量矩．f?为f的反作用力，l为定长，可以移出积分号

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力学基础 第三章 刚体力学

外．

因f??f，可将式（l）和式（2）合并，得

m?(??u)l?I? （3） 又因小球与细棒的碰撞是弹性的，遵从机械能守恒定律，即有

111m?u2?m??2?I?2 （4） 22212上式左边表示小球在碰撞前的动能，右边表示碰撞后小球和细棒的动能之和．以I?ml3 代入（3）、（4）两式，即可解得

u(m?3m?)6m?u??，??

(m?3m?)(m?3m?)l式（3）可改写为

m?ul?I??m??l （5） 或 (m?l)22u??I??(m?l2) llu（顺时针方向），l小球对于转轴O的转动惯量为m?l．小球对转轴O的角速度，碰撞前为碰撞后为矩守恒

?（逆时针方向）．由此可知，式（5）说明对转轴O而言，小球和细棒的总动量l

图3—18 例题3—8 用图

例题3—8 质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动（图3—18）．设阻力可以忽略不计．质量为m的一人，站在台的边缘，人和台原来都静止．如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？

解 如果以人和转台为一系统，该系统未受到外力矩的作用，因此动量矩守恒．已知开始时系统的动量矩等于零，应用动量矩守恒定律，可写出

I??I????0

式中I和I?分别表示转台和人对转台中心轴的转动惯量，?和??分别表示相应的角速度（相对于地面而言，并预先说明角速度方向相反）．转台的转动惯量为惯量等于mR．上式可改写为

21MR2，而人的转动212mMR2??mR2???0，???? 2M

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力学基础 第三章 刚体力学

人相对于转台的角速度为

???????人在台上奔跑一周所需的时间为

M?2m?? Mt?所以人相对于地面所绕行的角度为

2?2?M ??(M?2m)??转台所转过的角度为

显然，???应等于2?．

????t?2?MM?2m

???t?2m4M??t??mM?2m

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力学基础 第三章 刚体力学

习 题

3—1 回答下列问题：

（1）刚体绕固定轴转动时，在每秒内角速度增加了转动？

（2）使一根均匀木棍保持在水平位置上，如握住棍子的中点要比握住它的一端容易，为什么？

（3）对一个处于静止的质点施力，如果合外力〔外力的矢量和）为零，则此质点不会运动．如果是一个刚体，是否也有同样的规律？

对于刚体，一个外力对它引起的影响，与质点相比，有哪些不同？

（4）一刚体在某一力矩作用下绕固定轴转动，当力矩增加时．角速度和角加速度怎样变化？当力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化？

（5）飞轮的质量主要分布在边缘上，有什么好处？

（6）旋转着的溜冰运动员要加快旋转时，总是把两手靠近身体．他虽这样做，他不一定知道力学上的定律．你对这一力学现象怎样解释？当他旋转加快时，他的转动动能有何增减，关于动能变化的来去，你怎样解释？

（7）骑自行车时，人坐在自行车上，怎么会使人和车一起加速前进呢？ 3—2 刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用在它上面的力是否一定很大？作用在它上面的力矩是否一定很大？

3—3 作用于刚体的合外力矩（对点）是否就是合外 力的力矩？

3—4 一根均匀铁丝，质量为m，长度为l，在其中 点O处弯成??120角，放在XOY面内，如图3—4所

示。求： 题 3—4图 （1）对OX轴、OY轴与 OZ轴的转动惯量． （2）如果弯成??60角，则（1）的结果又如何？

3—5 （1）一个橡皮球，半径R?0.20m，质量m?1kg，绕其直径急速转动，设转速为10rev?s．求其转动惯量和转动动能．（其转动惯量按球壳公式计算．）

24（2）地球的质最M?6.0?10kg，半径R取为6.4?10m，求其对自转轴的转动惯量和

6-100?2rad?s?1，它是否作匀加速度的

自转运动的动能．（假定地球密度均匀，其转动惯量可按匀实球体公式计算．）

3—6 完成以下计算：

（1）图中是一块均匀的长方形薄板，边长为a，b，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图中所示．设薄板的质量为M，则薄板对OX轴和OY轴的转动惯量分别为

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力学基础 第三章 刚体力学

IOX?（2）薄板对OZ轴的转动惯量为

11Mb2，IOY?Ma2 1212

IOZ?1M(a2?b2) 12

题 3—6图

3—7 刚体的质量为m，其质心到两根平行轴的距离分别为a和b。已知对第一轴的转动惯量为I1，求刚体对第二轴的转动惯量为I2。

3—8一轻绳绕于半径r?0.2m的飞轮边缘，现以恒力F?98N拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动，如图(a)．已知飞轮的转动惯量I?0.5kg?m2，飞轮与轴承之间的摩擦不计．求：

（1）飞轮的角加速度；

（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；

?（3）这动能和拉力F所作的功是否相等？为什么？

（4）如以重量P?98N的物体m挂在绳端，如图（b），飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下5m时飞轮获得的动能．这动能和重力对物体m所作的功是否相等？为什么？

题 3—8图 题3—9图

3—9飞轮的质量m?60kg，半径R?0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为

?900rev?min’．现利用一制动用的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使

-1飞轮减速．已知闸杆的尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数??0.4，飞轮的转动惯

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力学基础 第三章 刚体力学

量可按匀质圆盘计算， （1）设F?100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？在这段时间里，飞轮转了几转？ （2）如要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？

3—10 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO?转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示．设R?0.20m，

r?0.10m，m?4kg，M?10kg，m1?m2?2kg，

且开始时m1、m2离地均为h?2m，求：

（1）柱体转动时的角加速度； （2）两侧细绳的张力；

（3）m1、m2中哪一个先着地？经多长时间？

（4）在该物体着地时刻起，该系统又如何运动？圆柱体的转速如何变化？（设该物体着地时与地面作完全非弹 题3—8图 性碰撞．）

3—11 在如图所示的装置中，物体的质量m1、m2，定滑轮的质量M1、M2，半径R1、

R2都已知，且m1?m2．设绳子长度不变，质量不计，绳子与滑轮间不打滑，而滑轮则质

量均匀分布，其转动惯量可按均匀圆盘计算．滑轮轴承处光滑无摩擦阻力，试应用牛顿定律和转动定律写出这一系统的运动方程，求出物体m2的加速度和绳的张力T1、T2、T3．

这一系统的机械能守恒吗，试从能量方面考虑，求出物体m1的速度与其下降距离x之间的关系式．

3—12 质量为M、长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动．它原来静止在平衡位置上，现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂

题3—11 图 题3—12图

直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30处． （1）这碰撞设为弹性碰撞，试计算小球初速?0的值；

0 112

力学基础 第三章 刚体力学

（2）相撞时，小球受到多大的冲量？

3—13 一质量分布均匀的盘状飞轮重50kg，半径为1.0m，转速为每分钟300转，在一恒定的阻力矩L作用下，50s后停止。问L等于多少？

3—14 工程上，常采用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设A轮的转动惯量IA?10kg?m2，B轮的转动惯量

IB?20kg?m2，开始时A轮的转速为600rev?min-1，B轮静止。C为摩擦啮合器，A、

B分别与C的左、右组件相连．当C的左、右组件啮合时，B轮得到加速而A轮减速，直

到两轮的转速相等为止．求： （1）两轮啮合后的转速； （2）两轮各自所受的冲量矩；

（3）啮合过程中损失的机械能和产生的热量．

题3—12图 题3—13图

3—15 一个质量为M、半径为R并以角速度?旋转着的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出；见图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上， （1）问它能上升多高？

（2）求余下部分的角速度、角动量和转动功能．

3—16 一块长为L?0.60m、质量为M?1kg的均匀薄木板，可绕水平轴OO?无摩擦地自由转动．当木板静止在平衡位置时，有一质量为m?10?10?3kg 的子弹垂直击中木板A点，A离转轴OO?的距离l?0.36m，子弹击中木板前的速度为500m?s?1，穿出木板后的速度为

200m?s?1，求：

（1）木板在A处所受的冲量；

（2）木板获得的角速度． 题3—14图

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