高数第七章 向量与空间解析几何

第七章 向量与空间解析几何

空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系；然后引进有广泛应用的向量及其运算，以它为工具，讨论空间的平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.

第一节 空间直角坐标系

平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.引起这场数学史上伟大革命的正是坐标系的建立.代数运算的基本对象是数，几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上，引入运动的观点，使平面曲线和方程对应，从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样，要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线，就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.

一、 空间直角坐标系

空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以

π角度转向2y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向(见图7-1)，这样

的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.

图7-1

三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy，yOz，zOx，统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间(z?0)中，从含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；下半空间(z?0)中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应的叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(见图7-2).

图7-2

确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.

设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R(见图7-3).这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x,y,z)，它称为点M的直角坐标，并依次把x， y和z叫做点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为(x,y,z)的点M，通常记为M(x,y,z).

图7-3

反过来，给定了一有序数组(x,y,z)，我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P，Q与R分别作x轴、y轴与z轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标(x,y,z)的点(见图7-3).从而对应于一有序数组(x,y,z)，必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.

y轴和z轴上的点的坐标，如图7-3所示. x轴、分别为P(x,0,0)，Q(0,y,0)，R(0,0,z)；

xOy面、yOz面和zOx面上的点的坐标，分别为A(x,y,0)，B(0,y,z)，C(x,0,z)；坐标

原点O的坐标为O(0,0,0).它们各具有一定的特征，应注意区分.

二、 空间两点间的距离

设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1,M2为对角线的长方体(见图7-4).根据勾股定理，有



图7-4

M1M22?M1N2?NM222

2 =M1P+因为

M1P?P1P2?x2M1Q? MR1.2?x1， ， ，

M1Q=Q1Q2=y2－y1M1R=R1R2=z2－z1所以d?M1M2=(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2，这就是两点间的距离公式.

特别地，点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离为

d?OM=x2?y2?z2. 第二节 向量及其运算

一、 向量及其线性运算

1. 向量概念

我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小，而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力

等.

在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以M1为始点、M2为终点的有向线段所表示的向量，用记号M1M2表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量，如向量

????????????a，b，i，u或 a,b,i,u等.

图7-5

向量的大小叫做向量的模，向量M1M2或a的模分别记为M1M2或a. 在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量与向量相等的概念： 单位向量 模等于1的向量称为单位向量.

逆向量(或负向量) 与向量a的模相等而方向相反的向量称为a的逆向量，记为?a. 零向量 模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.

向量相等 两个向量a与b，如果它们方向相同，且模相等，就说这两个向量相等，记作a?b.

自由向量 与始点位置无关的向量称为自由向量(即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等).我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时可以把一个向量平行移动到空间任一位置

2. 向量的线性运算 （1） 向量的加(减)法.

仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加(减)法. 定义1 设a，b为两个(非零)向量，把a，b平行移动使它们的始点重合于M，并以a，

???????b为邻边作平行四边形，把以点M为一端的对角线向量M1N????????????????定义为a，b的和，记为a?b(见图7-6).这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法，叫做平行四边形法则.

由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，a?b也可以按下列方法得出：把b平行移动，使它的始点与a的终点重合，这时，从a的始点到b的终点的有向线段

???????M1N就表示向量a与b的和a?b (见图7-7).这个方法叫做三角形法则.

图7-6 图7-7

定义2 设a，b为两个（非零）向量，b的逆向量为－b.称向量a与向量－b的和向量为向量a与向量b的差向量，简称为向量a与向量b的差.即

.

按定义容易用作图法得到向量a与b的差.把向量a与b的始点放在一起，则由b的终点

a?b?a?b到a的终点的向量就是a与b的差a?b (见图7-8).

图7-8

在定义1与定义2中，我们都假设a，b为非零向量.其实这只是为了几何直观的需要，事实上a，b都可以是零向量.根据零向量的定义，我们可以将零向量看成一个没有方向的点.这样我们就可以约定：

任何向量与零向量的和与差都等于该向量自己. 向量的加法满足下列性质：

； (交换律)

(a?b)?c?a?(b?c)； (结合律)

a?0?a； a?(?a)?0a?b?b?a(2) 向量与数量的乘法.

定义3 设λ是一实数，向量a与λ的乘积λa是一个这样的向量：

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，它的模等于a的λ倍，即λa?λa； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反，它的模等于a的λ倍，即λa?λa； 当λ?0时，λa是零向量，即λa?0.

向量与数量的乘法满足下列性质(λ，μ为实数)：  λ(μa)?λ(μa)； (结合律)  (λ?μ)a?λa?μa； (分配律)  λ(a?b)?λa?λb. (分配律)

设ea是方向与a相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a写成

a?aea

这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此若a为非零向量，也有

ea?aa

就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.

二、 向量的坐标表示

1. 向量在轴上的投影

为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念. （1) 两向量的夹角.

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