【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:13-选4-1 Word版含解析]
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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:13-选4-1 Word版含解析]
课时作业(七十)
一、填空题
1.(2013·重庆模拟)如图,已知圆O的半径为3,AB与圆D相切于A,BO与圆O相交于C,BC=2,则△ABC的面积为________.
解析:连接OA,易知∠OAB=90°,OA=3,BO=5,AB=4,
1211212△ABC中BC边上的高为5,故S△ABC=22×5=5.
12答案:5
2.(2013·茂名市第一次模拟)如图,⊙O的直径AB=6 cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,PC=________.
解析:∵AB=6,∴OA=OB=OC=3
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Rt△OCP中,∠CPO=30°,
∴OP=6,∴BP=3
根据切割线定理PC2=PB·PA=3×9=27,
∴PC=3
3.
答案:33
3.(2013·增城调研测试)已知圆O割线PAB交圆O于A,B(PA<PB)
1两点,割线PCD经过圆心O(PC<PD),已知PA=6,AB=73,PO=
10,则圆O的半径是________.
解析:
如图,设半径为r,PO=PC+r=10,∴PC=10-r,PD=10+r 根据割线定理PA·PB=PC·PD
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40∴6×3(10-r)(10+r),∴r2=20,∴r=5.
答案:25
4.(2013·陕西宝鸡质检(一))如图,△ABC是⊙O的内接三角形,
PA是⊙O的切线,PB交AC于点E,交⊙O于点D,若PA=PE,∠ABC=60°,PD=1,PB=9,则EC=________.
解析:根据切割线定理PA2=PD·PB=9
∴PA=3,∵∠ABC=∠CAP=60°,PA=PE=3,
∴△PAE为等边三角形,∴AE=3
DE=2,BE=PB-PE=6
根据相交弦定理,AE·EC=DE·BE
∴EC=4
答案:4
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5.(2013·黄冈模拟)如图,△ABC内接于圆O,AB=AC,直线MN切圆O于点C,BE∥MN交于点E.若AB=6,BC=4,则AE的长为________.
解析:由BE∥MN ∠EBC=∠MCB;而∠MCB=∠CAB,故可
ECBC8得∠CBE=∠CAB,故△BEC∽△ABCBCACEC=3AE
810=6-3=310答案:3
6.(2013·北京西城区高三二模)如图,AB是半圆O的直径,P在AB的延长线上,PD与半圆O相切于点C,AD⊥PD.若PC=4,PB=2,则CD=________.
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CP解析:连接AC,OC,由圆的切割线定理可得△BPC∽△OPA PA
BPPCPO=CPAP=8,得圆的半径r=3,又因为PC切圆于点C,则PD=PA
3212 PD=5,故CD=PD-PC=5.
12答案:5
7.(2013·武汉模拟)如图所示,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=________.
解析:延长PC与圆交于点D,连接AC,AO,由平面圆的性质,易得∠ADP=30°,∠AOP=60°,故∠APD=30°,得PC=1,PD=3,由切割线定理可求得PA3. 答案:
3
8.(2013·天津十二区县重点学校联考(一))如图,CB是⊙O的直
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径,AP是⊙O的切线,AP与CB的延长线交于点P,A为切点.若PA=10,PB=5,则AB的长为________.
解析:由切割线定理得PA2=PB·PC,又PA=10,PB=5得PC=20,则BC=15,∠PAB=∠PCA,∠P=∠P,故△PBA∽△PAC,
ABPB1得ACPA=2,AC=2AB,△ABC中,AC2+AB2=BC2即5AB2=BC2=225,AB2=45,即AB=5.
答案:35
三、解答题
9.(2013·东北三校第二次联考)如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D.
(1)求证:CE2=CD·CB;
(2)若AB=BC=2,求CE和CD的长.
解:(1)证明:连接BE.
∵BC为⊙O的切线,∴∠ABC=90°,∠CBE=∠A.
∵OA=OE,∴∠A=∠AEO.
∵∠AEO=∠CED,∴∠CED=∠CBE,
∵∠C=∠C,∴△CED∽△CBE,
CECD∴CBCECE2=CD·CB.
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(2)∵OB=1,BC=2,∴OC=5,
∴CE=OC-OE=5-1.
由(1)CE2=CD·CB,得(5-1)2=2CD,
∴CD=3-
5.
10.(2013·辽宁卷)如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
证明:(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.
π由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=2
π又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=2FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.
类似可证,Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以
EF2=AD·BC.
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11.(2013·石家庄市高三模拟)如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆O于点A、B、C、D,弦AD和BC交于Q点,割线PEF经过Q点交圆O于点E、F,点M在EF上,且∠BAD=∠BMF.求证:
(1)PA·PB=PM·PQ;
(2)∠BMD=∠BOD.
证明:(1)∵∠BAD=∠BMF,
所以A,Q,M,B四点共圆,
所以PA·PB=PM·PQ.
(2)∵PA·PB=PC·PD,
∴PC·PD=PM·PQ,
又∠CPQ=∠MPD,所以△CPQ∽△MPD,
∴∠PCQ=∠PMD,则∠DCB=∠FMD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD,
∠BOD=2∠BAD,
所以∠BMD=∠BOD.
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12.(2013·辽宁六校高三联考
)
如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
证明:(1)连接AF,∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC,即DF∥BC,
又CF∥AB,∴CF綊BD,CF綊AD,
∴四边形ADCF为平行四边形,
∴CD=AF.
∵CF∥AB,∴∠ACF=∠CAB,∴AF=BC,
∴CD=BC.
(2)∵BC∥GF,∴BG=CF,
又CF=BD,∴BG=BD,∴∠BGD=∠BDG,
∵CD=CB,∴∠CBD=∠CDB,
又∠GDB=∠DBC,∴∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC,
∴△BCD∽△GBD.
13.(2013·河南开封第二次模拟)
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如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别是边AC和BC上的点,且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.
(1)求证:E、H、M、K四点共圆;
(2)若KE=EH,CE=3,求线段KM的长.
解:(1)证明:连接CH,∵AC=AH,AK=AE,
∴四边形CHEK为等腰梯形,注意到等腰梯形的对角互补,故C,H,E,K四点共圆,同理C,E,H,M四点共圆,即E,H,M,K均在点C,E,H所确定的圆上.∴E、H、M、K四点共圆.
(2)连接EM,由(1)得E,H,M,C,K五点共圆,∵四边形CEHM为等腰梯形,∴EM=HC,故∠MKE=∠CEH,由KE=EH可得∠KME=∠ECH,
故△MKE≌△CEH,即KM=EC=3为所求.
14.(2013·吉林期中检测)
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如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.
(1)求证:O、B、D、E四点共圆;
(2)求证:2DE2=DM·AC+DM·AB
证明:(1)如图,连接OE、BE,则BE⊥EC
又∵D是BC的中点,∴DE=BD.
又∵OE=OB,OD=OD,∴△ODE≌△ODB,
∴∠OBD=∠OED=90°.∴O、B、D、E四点共圆.
(2)延长DO交圆O于点H.由(1)知DE为圆O的切线,
∴DE2=DM·DH=DM·(DO+OH)=DM·DO+DM·OH,
1 1 +DM AB ,∴2DE2=DM·∴DE2=DMAC+DM·AB. 22
[热点预测]
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15.(2013·吉林长春第一次调研)如图,已知⊙O和⊙M相交于A、B两点,AD为⊙M的直径,直线BD交⊙O于点C,点G为BD中点,连接AG分别交⊙O、BD于点E、F,连接CE.
(1)求证:AG·EF=CE·GD;
GFEF2
(2)求证:AG=CE.
证明:(1)已知AD为⊙M的直径,连接AB,则∠BCE=∠BAE,∠CEF=∠ABC=90°,由点G为BD的中点可知∠GAD=∠BAE=
CEEF∠FCE,故△CEF∽△AGD,所以有AGGD,即AG·EF=CE·GD.
(2)由(1)知∠DFG=∠CFE=∠ADG,故△AGD∽△DGF,所以GFDGEFGFEF2
DG=AGCEAGCE.
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