【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业：13-选4-1 Word版含解析]

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课时作业(七十)

一、填空题

1．(2013·重庆模拟)如图，已知圆O的半径为3，AB与圆D相切于A，BO与圆O相交于C，BC＝2，则△ABC的面积为________．

解析：连接OA，易知∠OAB＝90°，OA＝3，BO＝5，AB＝4，

1211212△ABC中BC边上的高为5，故S△ABC＝22×5＝5.

12答案：5

2．(2013·茂名市第一次模拟)如图，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝________.

解析：∵AB＝6，∴OA＝OB＝OC＝3

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Rt△OCP中，∠CPO＝30°，

∴OP＝6，∴BP＝3

根据切割线定理PC2＝PB·PA＝3×9＝27，

∴PC＝3

3.

答案：33

3．(2013·增城调研测试)已知圆O割线PAB交圆O于A，B(PA<PB)

1两点，割线PCD经过圆心O(PC<PD)，已知PA＝6，AB＝73，PO＝

10，则圆O的半径是________．

解析：

如图，设半径为r，PO＝PC＋r＝10，∴PC＝10－r，PD＝10＋r 根据割线定理PA·PB＝PC·PD

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40∴6×3(10－r)(10＋r)，∴r2＝20，∴r＝5.

答案：25

4．(2013·陕西宝鸡质检(一))如图，△ABC是⊙O的内接三角形，

PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PA＝PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则EC＝________.

解析：根据切割线定理PA2＝PD·PB＝9

∴PA＝3，∵∠ABC＝∠CAP＝60°，PA＝PE＝3，

∴△PAE为等边三角形，∴AE＝3

DE＝2，BE＝PB－PE＝6

根据相交弦定理，AE·EC＝DE·BE

∴EC＝4

答案：4

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5．(2013·黄冈模拟)如图，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，BE∥MN交于点E.若AB＝6，BC＝4，则AE的长为________．

解析：由BE∥MN ∠EBC＝∠MCB；而∠MCB＝∠CAB，故可

ECBC8得∠CBE＝∠CAB，故△BEC∽△ABCBCACEC＝3AE

810＝6－3＝310答案：3

6．(2013·北京西城区高三二模)如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD.若PC＝4，PB＝2，则CD＝________.

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CP解析：连接AC，OC，由圆的切割线定理可得△BPC∽△OPA PA

BPPCPO＝CPAP＝8，得圆的半径r＝3，又因为PC切圆于点C，则PD＝PA

3212 PD＝5，故CD＝PD－PC＝5.

12答案：5

7．(2013·武汉模拟)如图所示，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.

解析：延长PC与圆交于点D，连接AC，AO，由平面圆的性质，易得∠ADP＝30°，∠AOP＝60°，故∠APD＝30°，得PC＝1，PD＝3，由切割线定理可求得PA3. 答案：

3

8．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))如图，CB是⊙O的直

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径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA＝10，PB＝5，则AB的长为________．

解析：由切割线定理得PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5得PC＝20，则BC＝15，∠PAB＝∠PCA，∠P＝∠P，故△PBA∽△PAC，

ABPB1得ACPA＝2，AC＝2AB，△ABC中，AC2＋AB2＝BC2即5AB2＝BC2＝225，AB2＝45，即AB＝5.

答案：35

三、解答题

9．(2013·东北三校第二次联考)如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D.

(1)求证：CE2＝CD·CB；

(2)若AB＝BC＝2，求CE和CD的长．

解：(1)证明：连接BE.

∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∠CBE＝∠A.

∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.

∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CBE，

∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CBE，

CECD∴CBCECE2＝CD·CB.

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(2)∵OB＝1，BC＝2，∴OC＝5，

∴CE＝OC－OE＝5－1.

由(1)CE2＝CD·CB，得(5－1)2＝2CD，

∴CD＝3－

5.

10．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF2＝AD·BC.

证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

π由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝2

π又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2FEB＝∠EAB.

故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.

类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以

EF2＝AD·BC.

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11．(2013·石家庄市高三模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B、C、D，弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过Q点交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.求证：

(1)PA·PB＝PM·PQ；

(2)∠BMD＝∠BOD.

证明：(1)∵∠BAD＝∠BMF，

所以A，Q，M，B四点共圆，

所以PA·PB＝PM·PQ.

(2)∵PA·PB＝PC·PD，

∴PC·PD＝PM·PQ，

又∠CPQ＝∠MPD，所以△CPQ∽△MPD，

∴∠PCQ＝∠PMD，则∠DCB＝∠FMD，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，

∠BOD＝2∠BAD，

所以∠BMD＝∠BOD.

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12．(2013·辽宁六校高三联考

)

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

(1)CD＝BC；

(2)△BCD∽△GBD.

证明：(1)连接AF，∵D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE∥BC，即DF∥BC，

又CF∥AB，∴CF綊BD，CF綊AD，

∴四边形ADCF为平行四边形，

∴CD＝AF.

∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠CAB，∴AF＝BC，

∴CD＝BC.

(2)∵BC∥GF，∴BG＝CF，

又CF＝BD，∴BG＝BD，∴∠BGD＝∠BDG，

∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，

又∠GDB＝∠DBC，∴∠BGD＝∠BDG＝∠DBC＝∠BDC，

∴△BCD∽△GBD.

13．(2013·河南开封第二次模拟)

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如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E、H是边AB上的点，点K、M分别是边AC和BC上的点，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM.

(1)求证：E、H、M、K四点共圆；

(2)若KE＝EH，CE＝3，求线段KM的长．

解：(1)证明：连接CH，∵AC＝AH，AK＝AE，

∴四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C，H，E，K四点共圆，同理C，E，H，M四点共圆，即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上．∴E、H、M、K四点共圆．

(2)连接EM，由(1)得E，H，M，C，K五点共圆，∵四边形CEHM为等腰梯形，∴EM＝HC，故∠MKE＝∠CEH，由KE＝EH可得∠KME＝∠ECH，

故△MKE≌△CEH，即KM＝EC＝3为所求．

14．(2013·吉林期中检测)

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如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点．连接OD交圆O于点M.

(1)求证：O、B、D、E四点共圆；

(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB

证明：(1)如图，连接OE、BE，则BE⊥EC

又∵D是BC的中点，∴DE＝BD.

又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB，

∴∠OBD＝∠OED＝90°.∴O、B、D、E四点共圆．

(2)延长DO交圆O于点H.由(1)知DE为圆O的切线，

∴DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，

1 1 ＋DM AB ，∴2DE2＝DM·∴DE2＝DMAC＋DM·AB. 22

[热点预测]

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15．(2013·吉林长春第一次调研)如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE.

(1)求证：AG·EF＝CE·GD；

GFEF2

(2)求证：AG＝CE.

证明：(1)已知AD为⊙M的直径，连接AB，则∠BCE＝∠BAE，∠CEF＝∠ABC＝90°，由点G为BD的中点可知∠GAD＝∠BAE＝

CEEF∠FCE，故△CEF∽△AGD，所以有AGGD，即AG·EF＝CE·GD.

(2)由(1)知∠DFG＝∠CFE＝∠ADG，故△AGD∽△DGF，所以GFDGEFGFEF2

DG＝AGCEAGCE.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z444.html