基础理论

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2.2弹塑性力学

2.2.1 弹性力学

弹性力学早期根植于数学和物理研究中，自牛顿时代以来逐渐分离出来。最初研究的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。弹性关系的概念最先为英国科学家胡克提出，胡克定律，即“拉力与伸长成正比”发现于1660年，发表于1678年。弹性力学的研究对象是弹性体，是固体力学的一个分支学科，主要研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、变形或位移。

弹性力学的基本假设有：

（1）连续性假设—弹性体是一种密实的连续介质，在整个变形过程中保持连续性。物体内的一些物理量，如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示它们的变化规律。

（2）完全（线）弹性假设—物体完全弹性的，服从胡克定律应力应变关系是线性的（成正比），弹性常数不随应力或形变的大小而变化。

（3）均匀性假设—物体由同一材料组成，不同点处的弹性性质处处相同，物体的弹性不随位置坐标而变化。

（4）各向同性假设—物体内同一点的弹性性质在所有方向上都相同。

（5）小变形假设—位移和形变是微小的，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，考察物体的应变和位移时，可略去高阶小量。

广义胡克定律：

1[?x??(?y??z)] E1[?y??(?x??z)] E1[?z??(?x??y)] E?x??y??z??xy??yx??yz??zy??zx??xz?xy2G

?yz2G??zx 2G式中：E为弹性模量，?为泊松比，G为剪切弹性模量。

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G?E

2(1??)在进行应力分析与应变分析时，将一点的应力张量和应变张量分解为球张量和偏张量是有明确物理意义的，即物体的体积变形与球应力成正比，与偏应力无关；物体的形状变化与偏应力成正比，与球应力无关。这一结论对研究塑性变形时的应力应变关系是十分重要的。

2.2.2 塑性力学

当受力物体中一点的应力状态满足屈服条件而进入塑性阶段以后，弹性本构关系（广义胡克定律）对该点就不再适用。因而需要建立塑性阶段的本构方程描述塑性应力与应变之间或者应力增量与应变增量之间的关系。

塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性关系；不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。当外载荷变化时，应力也要变化，在应力空间代表一点应力状态的应力点就要移动，应力点移动的轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史。对应于外载荷还有所谓加载路径和加载历史。在弹性阶段，应变可以由应力直接用胡克定律求解，而不需要了解这一应力状态是怎样达到的，即不必了解其应力历史。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的应力历史，或者说应变是应力和应力历史的函数。

到目前为止，塑性范围内的应力应变关系还没有一个像弹性范围内的虎克定律那样的统一理论。历史上有许多学者提出了各种不同的描述塑性应力应变关系的理论，但总体上可归纳为两大类，即：

描述应力与应变增量之间关系的增量理论； 描述应力与全量应变之间关系的全量理论。 2.2.2.1增量理论

增量理论又称流动理论。在增量理论中，应用最广泛的有：

列维—米塞斯(Levy—Mises)理论以及普朗特—劳斯(Prandtl—Reuss)理论。 （1）列维—米塞斯理论

列维和米塞斯分别于1871年、1913年各自独立地提出了描述应变增量与应力关的增量理论。该理论是建立在以下四个假设条件基础之上的，即

(a)假设材料为刚塑性材料，及弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量；

(b)材料符合米塞斯屈服准则：???s；

(c)在每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合；

(d)材料在塑性变形过程中满足体积不变条件，即应变增量张量就是应变增量偏张量。

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在上述假设基础上，可假设应变增量与应力偏张量成正比，即：

'd?ij??ijd?

式中：d?为正的瞬时常数，在加载的不同瞬时是变化的，在卸载时，d??0。

d?x?(?x??m)d??(?x??x??y??z3)d??21d?[?x?(?y??z)] 32同样可以求出其它的应变增量，于是，本构关系为：

d?x?d?y?d?z?21d?[?x?(?y??z)]d?xy??xyd? 3221d?[?y?(?x??z)]d?yz??yzd? 3221d?[?z?(?y??x)]d?zx??zxd? 32定义有效应力（或者称为应力强度）和有效塑性应变增量（或称为塑性应变强度增量）分别为：

1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)22

1222?(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)2??2(d?1?d?2)2?(d?2?d?3)2?(d?3?d?1)23 2222?(d?x?d?y)2?(d?y?d?z)2?(d?z?d?x)2?6(d?xy?d?yz?d?zx)33d?由于d??

2?，所以本构方程可以化为

??1[?x?(?y??z)]?2 d?1d?y?[?y?(?x??z)]

?2d?1d?z?[?z?(?y??x)]?2

3d?d?xy??xy

2?3d?d?yz??yz 2?d?x?d?

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d?zx?3d??zx 2?（2）普朗特—劳斯理论

列维—米塞斯理论没有考虑弹性变形的影响，因此，适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，弹性变形不可忽略，以及求解弹性回跳和残余应力问题时不宜采用列维—米塞斯理论。普朗特于1924年提出了平面应变下理想弹塑性材料的应力应变关系，劳斯在1930年也独立地提出过该理论，并将其推广到一般情况，通常将这一理论称为普朗特—劳斯理论。

普朗特—劳斯理论考虑了弹性变形部分，认为应变增量是弹性阶段应变增量与塑性阶段应变增量之和，即：

ed?ij?d?ij?d?ijp

塑性应变增量由列维—米塞斯理论给出，弹性应变增量由广义虎克定律的微分形式给出。将广义虎克定律式微分后，可得

11?2?'d?ij??ijd?m 2GE11?2?''d?ij?d?ij??ijd?m??ijd?

2GEed?ij?2.2.2.2全量理论

在增量理论中，得到了塑性应变增量的分量与应力分量之间的关系。为了要得到总塑性应变分量与应力分量之间的关系，应该将增量理论本构关系中的所有方程对全部加载路径进行积分。因此，许多学者例如：汉盖(Hencky)、那达依(Nadai)、伊留申(Iliushin)相继提出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理论，也称形变理论。从而求出总应变分量与瞬时应力分量之间的关系式。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载的路径有关。而全量理论则企图直接建立用全量形式表示的与加载路径无关的本构关系。但我们知道，塑性应变一般地不是与加载路径无关的。所以全量理论一般说来不够准确。不过，从理论上说，沿着路径积分总是可能的。但要在积分结果中引出明确的应力应变的全量形式，而又不包含应变历史的因素，则仅在某些特殊情况下方为可能。

伊留申指出，在塑性变形时，只有满足简单加载（也称比例加载）条件时，才可以建立全量应变与应力之间的关系。所谓简单加载，是指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增加。

为了建立全量理论，需提出如下几点假设，即

（a）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力莫尔圆与应变莫尔圆相似；

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（b）塑性变形时体积保持不变；

（c）应力偏量分量与应变偏量分量成比例；

（d）等效应力是等效应变的函数，而这个函数对每个具体材料都应通过实验来确定，即

??E'?

式中：E'为塑性模量，与材料性质和塑性变形程度有关。 根据以上假设，可以写出如下方程，即

'?ij??ij?1'?ij 2G'式中：G'为塑性剪切模量，与材料性质和塑性变形程度有关。

?x??x??y??z1111(???)?(??)?[??(?y??z)] xmxx2G'2G'33G'211[??(?y??z)] x'3G211?y?'[?y?(?x??z)]

3G211?z?'[?z?(?y??x)]

3G21?xy??xy

2G'1?yz?? 'yz2G1?zx??'zx 2G由此，全量理论的本构关系为：

?x?由于

??3G'?，所以本构方程可以化为

?1[?x?(?y??z)]?2 ?1?y?[?y?(?x??z)]

?2?1?z?[?z?(?y??x)]?2

3??xy??xy

??x?

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?3??zx??zx ?从实际的观点来看，有大量的工程问题与比例加载相差不大，所以用全量理论已经解决了不少实际问题，并且得到了满意的结果。

?yz?3??yz2.3断裂力学基础

断裂力学和其他学科一样，都是在生产实践中产生和发展的，是从20实际70年代才发展起来的一门新兴学科。它应用力学成就，研究含缺陷材料和结构的破坏问题。由于它与材料或结构的安全直接相关，因此尽管它出现的时间比较短，但是实验和理论均有了迅速的发展，并且已经开始为生产服务。最初的断裂力学主要研究线弹性力学问题，随着人们对材料更多的认识，断裂力学逐渐分为线弹性断裂力学与弹塑性断裂力学两个分支学科，而弹塑性断裂力学因其更接近实际，如今已成为断裂力学中最主要的课题之一。断裂力学的任务是：研究裂纹体的应力场、应变场和位移场，寻找控制材料开裂的物理参量；研究材料抵抗裂纹扩展的能力，研究韧性指标的变化规律，确定其数值以及测量方法；确定物体在给定外力作用下是否发生断裂，即建立断裂准则；研究载荷作用过程中裂纹扩展规律；研究在腐蚀环境和应力同时作用下物体的断裂（即应力腐蚀）问题。断裂力学已在航空、航天、交通运输、化工、机械、材料、能源等工程领域得到广泛应用。

2.3.1线弹性断裂力学

线弹性断裂力学以线弹性理论为基础，从20世纪60年代初开始发展，由于理论简明，对脆性断裂能做出了定量分析，而且在疲劳裂纹扩展方面也取得了很好的结果，因此发展较快并且已经成熟。目前，线弹性断裂力学已经广泛应用于各种材料和构件的断裂安全设计中。按照裂纹所处在的位置，裂纹可以分为穿透裂纹、表面裂纹和埋藏裂纹三类；按照裂纹的受力情况，裂纹可以分为I型裂纹（张开型）、II型裂纹（滑开型）和III型裂纹（撕开型）三类。其中，以I型裂纹最为常见也最为危险。

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a). 穿透裂纹 b). 表面裂纹 c).埋藏裂纹

图2.1 按照裂纹所处的位置划分的裂纹基本类型

Fig. 2.1 Basical crack types

I型：张开型 II型：滑开型 III型：撕开型

图2.2 按照裂纹的受力情况划分的裂纹基本类型

Fig. 2.2 Basical crack types

1957年，Irwin提出了应力强度因子理论，并建立了K准则，从而成功地解释了低应力脆断事故。应力强度因子是裂纹尖端应力应变场强度的度量，是裂纹尖端应力应变场具有奇异性的度量，它的临界值是材料本身的固有属性。在线弹性断裂力学中，应力强度因子一般可写为：

K?Y??a(2.XX1)

[长Y为形状系数，σ为名义应力；a为裂纹尺寸；其中，应力强度因子的量纲为[力]×mm-3/2，MPa×m0.5，N×m-3/2。 度]-3/2，常用单位是kg×

应力强度因子KI作为表征裂纹体裂纹尖端附近应力场强度的一个断裂参量，受到很多因素的影响，如外加载荷及裂纹体的尺寸和形状。应力强度因子的大小可以用来判断裂纹是否即将失稳扩展以及断裂。同时，应力强度因子的定义要求材料处于线弹性条

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件，即裂纹尖端附近处于小变形状态，所以其计算确定需要在线弹性小变形约束条件下。线弹性条件下，人们使用应力强度因子的值作为判断材料是否达到断裂条件的准则，即脆性断裂准则：KI=KIC，KIC为应力强度因子即将失稳扩展的临界值，定义为平面应变断裂韧度。研究表明，断裂韧度KIC表征了材料抵抗脆断的能力，是材料的一种固有属性，它不随材料形状尺寸等变化而变化。 2.3.2弹塑性断裂力学

对于线弹性物体，可以用线弹性断裂力学的方法去研究其断裂问题。但是对于真实材料而言，应力不可能是无穷大的，在外载荷的作用下裂纹尖端总要出现塑性区，当塑性区达到一定程度时，裂纹尖端已经发生大范围或者全面屈服，此时线弹性断裂力学已经无法解决相关的问题。所以必须要充分地考虑裂纹体的弹塑性行为，以及在弹塑性情况下裂纹的扩展规律和断裂准则，这也就是弹塑性断裂力学要研究的主要问题。

由于弹塑性断裂力学涉及到裂纹尖端局部地区的弹塑性行为研究，它在理论、实验技术及应用上都比线弹性断裂力学复杂得多。虽然弹塑性断裂力学已经有几十年的研究历史，但是至今尚有许多悬而未决的问题，正应为如此，再加上工程需要的迫切性，直到现在它仍然是断裂力学中十分活跃的一大分支。

1956年，Wells提出了裂纹张开位移的概念：在载荷作用下在原裂纹尖端沿垂直裂纹的方向上产生的位移(Crack Opening Displacement，COD)。同时提出了弹塑性断裂力学的COD准则，该准则可以表述为：当裂纹张开位移δ达到临界值δc时，裂纹将要开裂，即

???c

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