量子力学复习题-1
更新时间:2023-09-22 06:22:01 阅读量: 工程科技 文档下载
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例题1在一维无限深势阱中一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成:
?(x,0)?A??1(x)??2(x)?.
(a) 归一化?(x,0)
(b) 求?(x,t)和?(x,t)。
(c) 计算?x?的值。注意它是随时间的震荡。角频率是多少?振幅是多少?
(d) 计算?p?的值。
(e) 如果你测量粒子的能量,可能得到什么值?得到各个值的几率是多少?求出H的期
望值。并与E1和E2比较。
解:
?22?2(a) 1?????(x,0)A?dx?A?????21??2???2???1dx?2A
2*1*2?212
?iE1t/?
?(x,t)?(b)
12?1(x)e?12?2(x)e?iEt/?
211122?(x,t)??1(x)??2(x)??1(x)?2(x)ei(E2?E1)t/??e?i(E2?E1)t/?222 1 122??1(x)??2(x)??1(x)?2(x)cos??E2?E1?t/??222??(c)设
?n(x)?
a2?n?x?sin?? 0?x?a a?a?aaa1122?x???x?(x,t)dx??x?1(x)dx??x?2(x)dx?cos?(E2?E1)t/???x?1(x)?2(x)dx2020002
利用公式
1???)?cos(???)? sin?sin???cos(2111116a?a??a?2cos?(E2?E1)t/?? 22229??x?以势阱中心a/2为中心振荡, 振荡幅度16a/9?2?a/2
E2?E13?2??振荡频率为 ?? ?2ma2
?x??
(d)
??p????(x,t)(?i?)?(x,t)dx?x0*a12???x??2?x?iE2t/??????x??iE1t/?2??2?x??iE2t/????i????sin??eiE1t/??sin?ecose?cosdx?????e???2a0??a?a?a??a??a???a?1????x???x?2??2?x??2?x??
??i???sin??cos???sin??cos???dxa0?a?a??a?a?a??a??1???2?x???x?i(E2?E1)t/?2???x??2?x??i(E2?E1)t/???i???sin?cose?sindx?????cos??e?a0?aa?a??a??a??a??
利用公式
aaa
1 sin?cos???sin(???)?sin(???)?
2积分得出
4i?t8??i?te?e?sin?t ?p???i?3a3a??验证
d?x?16a8??m?2sin?t?sin?t ?p??mdt3a9?(e)
?(x,t)?12?1(x)e?iE1t/??12?2(x)e?iE2t/?
测量得到E1的几率是1/2, 测量得到E2的几率是1/2 哈密顿的期待值
1*?H????(x,t)H?(x,t)dx???1eiE1t/???2eiE2t/?E1?1e?iE1t/??E2?2e?iE2t/?dx200?aa????
115?2?2/2?E1?E2?222ma2
E1?H?E2
d21????r?r?p?p?r dtmp22?V(r), 试证明r算符平均值对时间的导数可以表示为 例题2. 一个体系的H?2m证: 一个算符期待值随时间的变化为
d?A1A??[A,H] dt?ti?对于本题, 右边第一项为零, 下面求[r2,H], 因为
p2H??V(r)
2m势能与坐标对易,所以
[r,H]?[r,p/2m]
利用坐标和相对应动量之间的关系
222[r2,p2]?[x2,px]?[y2,py]?[z2,pz]
222利用
[x,px]?i?及算符运算公式
xpx?pxx?i?
[AB,C]?A[B,C]?[A,C]B
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