中考数学专题突破：证明圆的切线

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°， ∴DE是⊙O的切线；

【2017湖北咸宁】如图，在?ABC中，AB?AC，以AB为直径的⊙O与边

BC,AC分别交于D,E两点，过点D作DF?AC，垂足为点F.

⑴求证：DF是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，

，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C， ∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°， ∴∠ODF=∠DFC=90°， ∴DF是⊙O的切线．

【2016·四川泸州】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线；

【解答】（1）证明：连接CD，

∵BD是直径，∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°， ∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，∴∠CBD+∠EBC=90°， ∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线．

【2017山东滨州23】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．

（1）求证：直线DM是⊙O的切线；

A

O·BMDE·CF

【解析】证明：（1）如答图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；

∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．[ ∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，

∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°． ∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；

G A

O·BMDE·CF答图1

【2016·贵州安顺·12分】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

【解析】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分】

理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC； 又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE； 连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90° ∴∠AE0+∠DEC=90° ∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．…（5分】

【2014昆明】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：如图，连接OD ∵OB?OD，∴?1??2， ∴∠DOC?2?1，

∵?A?2?1，∴?A??DOC，

?∠ABC=90°，??A??C?90?

∴?ODC??C?90，

???ODC?90?

∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；

【2015?枣庄】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点

D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 【解析】（1）证明：连接OD，BD， ∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；

【2015?西宁】如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足

=

，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：连接OA；

∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA； ∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．

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