2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案

2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案

北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2020.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．设集合1,0,1,2{}A -=，2

{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）

（A ）{1,0,1}-

（B ）{1,2}-

（C ）{0,1,2}

（D ）{1,1,2}-

3．在锐角?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =

，sin 4

B =

，则（ ） （A ）3

A π= （

B ）6

A π=

（C

）sin 3

A =

（D ）2sin 3

A =

4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

2．设命题p ：2log 0,2x

x x ?>>，则p ?为（ ） （A ）2log 0,2x

x x ?>< （B ）2log 0,2x

x x ?>≤ （C ）2log 0,2x

x x ?><

（D ）2log 0,2x

x x ?>≥

5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时刻为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时刻去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）

（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）45

8. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设

BE

x AB

，则（ ）

（A ）函数()y f x 的值域为(0,4] （B ）函数()y f x 的最大值为8

（C ）函数()y f x 在2

(0,)3上单调递减

（D ）函数()y f x 满足()

(1)f x f x

7． 设抛物线2

:4W y x 的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：

1x 的距离为d ，则有（ ）

（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB

A B

E C

D G

H F

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 复数i 1i

z =

+，则||z =______.

10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3?=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.

11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么那个四棱锥最

长棱的棱长为_____.

12．设12,F F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，假如12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.

13. 某小学教师预备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

14. 设函数3

||, 1,()log , 1.x a x f x x x -?=?>?≤ （1）假如(1)3f =，那么实数a =___；

（2）假如函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范畴是___.

侧(左)视图 正(主)视图 俯视图

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分） 已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R .

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）判定函数()f x 在区间ππ[,]66

-

上是否为增函数？并说明理由.

16．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．

（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范

畴．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F . （Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；

（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；

（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范畴. （结论不

要求证明）

18．（本小题满分13分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情形如下： B C A 1 D 1

D A B 1 C 1

E F

（1） 投资股市：

（2） 购买基金：

（Ⅰ）当2

p 时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范畴； （Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果显现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：22

11612

x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||

FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ?和PNF ?的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.

20．（本小题满分13分）

关于函数(),()f x g x ，假如它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.

设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.

（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判定函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；

（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e -，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）

北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准 2020.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．B 3．A 4．C

5．B 6．D 7．A 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．2 10．2π3

11. 12．221416

x y -= 13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()

4f x x =-- πcos 2()4x =-

……………… 3分

sin 2x =， (5)

分 因此函数()f x 的最小正周期2ππ2T =

=. ……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分

理由如下： 由ππ2π22π22k x k -

+≤≤， 解得ππππ44k x k -+≤≤， 因此函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z . ……………… 12分

当0=k 时，知)(x f 在区间ππ

[,]44

-上单调递增， 因此函数()f x 在区间ππ

[,]66

-上是增函数. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，

因为 25a =，212S a a =+， 因此 24215S p p =-=-+，

解得 2p =. ……………… 3分

因此 2

2n S n n =-．

当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，

因此43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)

(21)12

n n n b T b -=

=--. ……………… 10分

因为 55T S <，

因此 52

1(21)255b -<?-，

解得 145

31

b <

． ……………… 12分 又因为10b ≠，

因此1b 的取值范畴是45

(,0)(0,

)31

-∞． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，

因此平面ABCD ∥平面1111A B C D .

又因为平面ABCD

平面1A ECF EC =， 平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，

因此 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ?平面1B CE ，CE ?平面1B CE ，

因此 1A F ∥平面1B CE . …………………6分

（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，

因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，

因此 222112AC =+=，222112CD =+=.

因此 222AC CD AD +=，

因此 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分

因为 1A A ⊥平面ABCD AC ?，平面ABCD ，

因此 1A A AC ⊥.

因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，

因此 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ?平面11CDD C ，1CD C C C =，

因此 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分

（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范畴是12[,]33

. …………………14分

18．（本小题满分13分） B C A 1 D 1

D A B 1 C 1

E F

（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种

且三种投资结果相互独立，

因此 p +13

+q =1. ……………… 2分

又因为 12

p ， 因此 q =6

1． ……………… 3分

（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 38

q ， ……………… 4分 因为 p +13

+q =1， 因此 2338q p ，解得 724p . ……………… 7分 又因为 113p

q ，0q ≥， 因此 23p ≤. 因此 7224

3p ≤. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分

用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，

y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”

、“不赔不赚”、“亏损”， 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339?=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分

因此事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .

…………… 11分

因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =

. …………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 22

11612

x y +=， 因此 4a =

,b =

,2c ==, ………………2分

则 12

c e a =

=，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 因此 8m =. ………………5分

（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分

若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .

由 ?????-==+),

2(,112162

2x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分

可知 0>?恒成立，且 3

41622

21+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分

因为PMF ?和PNF ?的面积分别为111||||2S PF y =

?，221||||2S PF y =?, 因此2||||2

12121=-==y y y y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.

因此 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， (11)

分

则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-?-x k x k x k x k ，

即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，

即 222

2222)43

416(2434162344816-+-=++?-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分

因此直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(2

5

--=x y . ……………… 14分 20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：

由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，

又因为 ()2f x x '=-，1()g x x '=， …………………2分

因此当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，

因此关于任意的0x >，()()f x g x ''≠.

当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x

'=

， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,

由题意，得 2ln as as s -=， ① 1

2as a s

-=， ② …………………4分 由②，得 1

(21)a s s =

-，

代入①，得 1

ln 21

s s s -=-. （*） (5)

分

因为 1

0(21)a s s =>-，且0s >，

因此 12

s >

. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1

(,)2

x ∈+∞， 则 2

(41)(1)

()(21)

x x F x x x ---'=-. …………………6分

令()0F x '= ，解得1x =或1

4

x =

(舍). …………………7分

当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情形如下表所示，

…………………8分

因此当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.

因此，当且仅当1x =时()0F x =.

因此方程（*）有且仅有一解1s =.

因此 ln 0t s ==，

因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e

-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相

切. …………………13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z3s1.html