数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：

1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,......

379(3),1,,,......

21017?a1,(n?1)2.an与Sn的关系：an??

S?S,(n?2)n?1?n注意：?强调n?1,n?2分开，注意下标；?an与Sn之间的互化（求通项）

?3,n?1例2：已知数列{an}的前n项和Sn??2，求an.

?n?1,n?23.数列的函数性质：

（1）单调性的判定与证明：?定义法；?函数单调性法 （2）最大（小）项问题：?单调性法；?图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）

1?2a,0?a?nn?2，a?3，求a. 例3：已知数列{an}满足an?1??1201715?2an?1,?an?12?二、等差数列与等比数列

1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）

等差数列 等比数列 an?1?q（q是常数，且q?0，ann?1,2,3，?） 定义 an?1?an?d（d是常数n?1,2,3，?）通项公式 an?a1??n?1?d 推广：an?am??n?m?d an?a1qn?1 推广：an?amqn?m n?n?1?n?a1?an?求和 Sn?na1?d? 22公式 a?an?k中项 A?n?k（n,k?N*,n?k?0） 公式 2 ?na1(q?1)? Sn??a?1?qn?a?aq1n1?(q?1)?1?q?1?qG??an?kan?k（n,k?N*,n?k?0） 重要1、等和性：am?an?ar?as 性质 （m,n,r,s?N*,m?n?r?s） 1、等积性：am?an?ar?as （m,n,r,s?N*,m?n?r?s） 2、（第二通项公式）an?am?(n?m)d 2、（第二通项公式）an?am?qn?m an?aman n?m及 q?n?mam3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列） 如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列） 4、sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列 4、sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 Sn5、{}是等差数列 n（仅当公比q??1且n为偶数时，不成及d?立） a1.定义：n?q(n≥2)?{an}是等比数an?1等差数列 2.等差中项：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是列 2.等比中项： 等差数列 2223.通项公式：an?kn?p（k,p为常数）an?1?an?an?2(an?0)?{an}是等比数等价列 ?{an}是等差数列 条件 n23.通项公式：（c,q?0且为常a?c?qn4.前n项和：Sn?An?Bn（A,B为常数）?{an}是等比数列 数）?{a}是等差数列 1.定义：an－an－1＝d (n≥2)?{an}是n 联系 例题： 4.前n项和：Sn?k?qn?k（k,q?0且为常数）?{an}是非常数列的等比数列 真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。 31

例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n5an－1

1**

∈N)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N)．

an－1

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

11

(1)证明 ∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝.

an－1an－111

∴n≥2时，bn－bn－1＝－ an－1an－1－1

11

＝－ 1?an－1－1?

?2－?－1

an－1??an－11＝－＝1. an－1－1an－1－1

5

∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

2

712

(2)解 由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，

2bn2n－72

设函数f(x)＝1＋，

2x－7

7??7??

易知f(x)在区间?－∞，?和?，＋∞?内为减函数．

2??2??

∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.

例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1 (2)求d的取值范围．

－15

解 (1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.

S5

?5a1＋10d＝5，所以?

a＋5d＝－8.?1

解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)方法一 ∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

2

即2a21＋9da1＋10d＋1＝0.

因为关于a1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得d≤－22或d≥22.

方法二 ∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 9da1＋10d2＋1＝0.

222

故(4a1＋9d)＝d－8.所以d≥8.

故d的取值范围为d≤－22或d≥22.

例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．

解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，

10×915×145

∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.

223

565?5?

∴an＝20＋(n－1)×?－?＝－n＋.

33?3?

∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋＝130.

5方法二 同方法一求得d＝－. 3

25?3 125n?n－1??5?51255?

∴Sn＝20n＋·?－?＝－n2＋n＝－?n－?2＋.

2?2666?24?3?

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130. (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.

所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． ?an＝4n－25<0， ①令?

?an＋1＝4?n＋1?－25≥0， ②

12×11?5?

×?－?2?3?

11

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即数列{|an|}的前6项是以21为首项，

44

公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－24＝3. 设{|an|}的前n项和为Tn，则

n?n－1?

?21n＋×?－4? ?n≤6??2T＝?

?n－6??n－7?

66＋3?n－6?＋×4 ?n≥7??2?

n2

?－2n＋23n ?n≤6?，＝?2

?2n－23n＋132 ?n≥7?.

例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3

Sn7n+45=例8等差数列{an},{bn}的前n项和分别为{Sn},{Tn}，且Tnn-3,则使得

anbn为正整数的正整数n的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）

22Sn例9已知数列?an?中，a1?1，当n≥2时，其前n项和Sn满足an?，则

2Sn?13?1?n?1??3数列?an?的通项公式为 an??2n≥2??2?1?4n?

2?lnn例10在数列{an}中，a1?2，an?1?an?ln(1?1)，则an? . n例11 设3b是1?a和1?a的等比中项，则a+3b的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cosθ, 22cos2θ,23cos3θ, ? ,前100项之和为0, 则θ的值为

2k??2?,k?Z（ ） 3例13 △ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_

三、数列求和： （1）倒序相加法

112m(x?R)，求Sm?f()?f()???f()_________ 如：已知函数f(x)?x4?2mmm（2）错位相减法：?anbn?其中{ an}是等差数列，?bn?是等比数列。

（3）裂项相消法：形如an?

（4）拆项分组法：形如an?bn?cn，

?6n?5(n为奇数)如：an?2n?3，an??n，an?(?1)n?1?n2

(n为偶数)?2n1111?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C练习：

111，，···，的前n项和为（ B ） 1?21?2?31?2???nn?22nn2nA． B． C． D．

n?12n?1n?12n?11、数列1，

11112、数列1,3,5,7,?,前n项和Sn? ．

248163、数列?an?的通项公式为an?1n?1?n，则S100＝_________________。

4、设Sn?31111，且Sn?Sn?1?，则n? ．6 ?????42612n?n?1?5、设n?N*，关于n的函数f(n)?(?1)n?1?n2，若an?f(n)?f(n?1)，则数列{an}前100项的和a1?a2?a3???a100?________．答案：100．

解答：an?f(n)?f(n?1)?(?1)n?1?n2?(?1)n?(n?1)2?(?1)n[(n?1)2?n2]，

?(?1)n(2n?1)，所以a1?a2?a3???a100?(?3)?5?(?7)?9???(?199)?201

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