数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法an 1 an d(d为常数）或an 1 an an an 1(n 2)。

a1 a2 an

n

如设{an}是等差数列，求证：以bn=等差数列。

n N*为通项公式的数列{bn}为

2、等差数列的通项：an a1 (n 1)d或an am (n m)d。

如(1)等差数列{an}中，a10 30，a20 50，则通项an 2n 10）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

83

d 3）

3、等差数列的前n和：Sn

n(a1 an)

2

12

，Sn na1

*

n(n 1)

232

d。

如（1）数列 {an}中，an an 1 (n 2,n N)，an ，前n项和Sn

152

，

则a1＝ ＿，n＝＿（答：a1 3，n 10）；

2

（2）已知数列 {an}的前n项和Sn 12n n，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：

2*

12n n(n 6,n N)

）. Tn

2* n 12n 72(n 6,n N)

4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A

a b2

。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及

Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为 ，；偶数个数成等差，可设为 ，a 2d,a d,a,a d,a 2d （公差为d）

a 3d,a d,a d,a 3d, （公差为2d）

5、等差数列的性质：

（1）当公差d 0时，等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn na1 函数且常数项为0.

n(n 1)2

d

d2

n (a1

2

d2

)n是关于n的二次

（2）若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。

（3）当m n p q时,则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有

am an 2ap.

如（1）等差数列{an}中，Sn 18,an an 1 an 2 3,S3 1，则n＝____（答：27）； (4) 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan pbn} (k、p是非零常数)、 也成等差数列，而{an}成等比数列；若{an}Sn,S2n Sn,S3n S2n ，{ap nq}(p,q N)、

是等比数列，且an 0，则{lgan}是等差数列.

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇 nd；项数为奇数2n 1时，

S奇 S偶 a中，S2n 1 (2n 1) a中（这里a中即an）；S奇：S偶 n: n-1 。

*

a

如（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

anbn

(2n 1)an(2n 1)bn

A2n 1B2n 1SnTn

AnBn

f(n)，则

它们的前n项和分 f(2n 1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，

别为Sn和Tn，若

3n 14n 3

，那么

anbn

___________（答：

6n 28n 7

）

(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

an 0 an 0 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 或 an 1 0 an 1 0

*

项是关于

n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N。上述两种

方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a1 25，S9 S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大

值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1 0,a2003 a2004 0，a2003 a2004 0，则使前n项和

Sn 0成立的最大正整数n4006）

（3）在等差数列 an 中，a10 0,a11 0，且a11 |a则（ ） |，Sn是其前n项和，10A、S1,S2 S10都小于0，S11,S12 都大于0 B、S1,S2 S19都小于0，S20,S21 都大于0 C、S1,S2 S5都小于0，S6,S7 都大于0

D、S1,S2 S20都小于0，S21,S22 都大于0 （答：B）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an bm.

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：定义法

an 1an

anan 1

(n 2)。

an 1an

q(q为常数），其中q 0,an

0或

如（1）一个等比数列{an}共有2n 1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an 1为____）；（2）数列{an}中，Sn=4an 1+1 (n 2)且a1=1，若bn an 1 2an ，

65

求证：数列｛bn｝是等比数列。

2、等比数列的通项：an a1qn 1或an amqn m。

如等比数列{an}中，a1 an 66，a2an 1 128，前n项和Sn＝126，求n和q.（答：

n 6，q

12

或2）

a1(1 q)1 q

n

3、等比数列的前n和：当q 1时，Sn na1；当q 1时，Sn

a1 anq1 q

。

如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3 a6 a99（答：44）；

10

n

（2） ( Cnk)的值为__________（答：2046）；

n 1

k 0

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解。

4、等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何

两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数

a,b(a b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及

Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为 ，aq

2

,

aq

2

；但偶数个数成等比时，不能设为 ,a,aq,aq （公比为q）

aq

3

,

aq

,aq,aq， ，

3

因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m n p q时，则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有am an ap.

2

如（1）在等比数列{an}中，a3 a8 124,a4a7 512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5 a6 9，则olg（答：10）。

(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap nq}(p,q N)、{kan}成等比数列；若

{an}、{bn}成等比数列，{则{anbn}、

*

31

aolg

32

a olg

301

a

anbn

}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q 1，

则数列Sn,S2n Sn,S3n S

2n

， 也是等比数列。当q 1，且n为偶数时，数列

Sn,S2n Sn,S3n S2n ， 是常数数列0，它不是等比数列.

如（1）已知a 0且a 1，设数列{xn}满足logaxn 1 1 logxn(n N*)，且a

x1 x2 x100 100，则x101 x102 x200 . （答：100a

100

）；

（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30 13S10,S10 S30 140，则S20

的值为______（答：40）

(3)若a1 0,q 1，则{an}为递增数列；若a1 0,q 1, 则{an}为递减数列；若则{an}为递减数列；若a1 0,0 q 1, 则{an}为递增数列；若q 0，a1 0,0 q 1 ，

则{an}为摆动数列；若q 1，则{an}为常数列.

(4) 当q 1时，Sn

a11 q

n

q

a11 q

aq

n

b，这里a b 0，但a 0,b 0，

是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。

如若{an}是等比数列，且Sn 3n r，则r＝（答：－1）

mn

(5) Sm n Sm qSn Sn qSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，

若Sn 1,Sn,Sn 2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶 qS奇；项数为奇数2n 1时，

S奇 a1 qS偶.

(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列 an 的前n项和为Sn（n N）， 关于数列 an 有下列三个命题：①若

an an 1

(n N)，则 an 既是等差数列又是等比数列；②若Sn an

n

2

bn a、b R ，

则 an 是等差数列；③若Sn 1 1 ，则 an 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

（n 1) S1

①an ；

S S(n 2)n 1 n

② an 等差、等比数列 an 公式.

例 已知数列{an}满足an 1 2an 3 2n，a1 2，求数列{an}的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 2n转化为

{an2

是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出n

an2

n

an 12

n 1

an2

n

32

，说明数列

1 (n 1)

32

，进而求出数列

{an}的通项公式。

二、累加法

例 已知数列{an}满足an 1 an 2n 1，a1 1，求数列{an}的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为an 1 an 2n 1，进而求出(an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。

n

例 已知数列{an}满足an 1 an 2 3 1，a1 3，求数列{an}的通项公式。

nn

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2 3 1转化为an 1 an 2 3 1，

进而求出an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。 三、累乘法

n

例 已知数列{an}满足an 1 2(n 1)5 an，a1 3，求数列{an}的通项公式。

n

评注：本题解题的关键是把递推关系an 1 2(n 1)5 an转化为

an 1an

2(n 1)5，进而求

n

出

an

an 1an 2

an 1

a3a2

a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1

四、取倒数法

例 已知数列{an}中，其中a1 1,，且当n≥2时，an

an 12an 1 1

1an

1an 1

an 12an 1 1

1an

，求通项公式an。

解 将an

两边取倒数得： 2，这说明{是一个等差数列，

首项是

1a1

1，公差为2，所以

1an

1 (n 1) 2 2n 1，即an

12n 1

.

五、待定系数法

例 已知数列{an}满足an 1 2an 3 5n，a1 6，求数列 an 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n转化为an 1 5n 1 2(an 5n)，从而可知数列{an 5n}是等比数列，进而求出数列{an 5n}的通项公式，最后再求出数列

{an}的通项公式。

例 已知数列{an}满足an 1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列{an}的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 3an 5 2n 4转化为

an 1 5 2

n 1

2 3(an 5 2 2)，从而可知数列{an 5 2 2}是等比数列，进而求

nn

n

出数列{an 5 2 2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

六、对数变换法

n5

例 已知数列{an}满足an 1 2 3 an，a1 7，求数列{an}的通项公式。

n5

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 1 2 3 an转化为

lgan 1 {lgan

lg34lg34

(n 1) n

lg316

lg3164

lg24

5(lgan

lg34

n

lg316

lg24

)，从而可知数列lg34n

lg316

lg24

的通项

lg2

}是等比数列，进而求出数列{lgan

公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 七、迭代法

例 已知数列{an}满足an 1 an

3(n 1)2

n

，a1 5，求数列{an}的通项公式。

3(n 1)2

n

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1 an

n

两边取常用对数得lgan 1 3(n 1) 2 lgan，即

lgan 1lgan

3(n 1)2，再由累乘法可推知

n

lgan

lgan

lgan 1lgan 2

lgan 1

n 1lga3lga23 n! 2

lga1 lg5

lga2lga1

n(n 1)2

，从而an 5

3

n 1

n! 2

n(n 1)2

。

八、数学归纳法

8(n 1)(2n 1)(2n 3)

2

例 已知数列{an}满足an 1 an ，a1 2

89

，求数列{an}的通项公式。

解：由an 1 an

8(n 1)(2n 1)(2n 3)

2

2

及a1

89

，得。。。。。。

由此可猜测an

(2n 1) 1(2n 1)

2

2

，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n 1时，a1

(2 1 1) 1(2 1 1)

2

2

89

，所以等式成立。

（2）假设当n k时等式成立，即ak

(2k 1) 1(2k 1)

2

2

，则当n k 1时，

ak 1 ak

8(k 1)(2k 1)(2k 3)

2

2

。。。。。。

由此可知，当n k 1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n N都成立。 九、换元法

例 已知数列{a

n}满足an 1

116

(1 4an 124

，a1 1，求数列{an}的通项公式。

*

解：令bn an 故an 1

124

2

(bn 1) 1

2

(bn 1

1)，代入an 1

16

(1 4an 得。。。。。。即4bn 1 (bn 3)

12

32

22

因为bn

0，故bn 1 0则2bn 1 bn 3，即bn 1 可化为bn 1 3

12

(bn 3)，

bn

，

所以{bn

3}是以b1 3 3 3 2为首项，以

1

1

1

12

为公比的等比数

列，因此bn 3 2()n 1 ()n 2，则bn ()n 2

3 ()n 2 3，得

2

2

2

2

an

21n1n1() () 。 3423

1

十、构造等差、等比数列法

① an 1 pan q；②an 1 pan qn；③an 1 pan f(n)；④an 2 p an 1 q an. 例 已知数列 an 中，a1 1,an 1 2an 3，求数列 an 的通项公式. 【解析】 an 1 3 2(an 3) an 3 4 2n 1 an 2n 1 3. 【反思归纳】递推关系形如“an 1 pan q” 适用于待定系数法或特征根法： ①令an 1 p(an )；

② 在an 1 pan q中令an 1 an x x

q1 p

， an 1 x p(an x)；

③由an 1 pan q得an pan 1 q， an 1 an p(an an 1).

n

例 已知数列 an 中，a1 1,an 1 2an 3，求数列 an 的通项公式.

n

【解析】 an 1 2an 3，

an 12

n

an2

n 1a3n

()，令nn bn 1

22

3nnn

bn (bn bn 1) (bn 1 bn 2) (b2 b1) b1 2 () 2 an 3 2

2

n

【反思归纳】递推关系形如“an 1 pan q”通过适当变形可转化为：

n

“an 1 pan q”或“an 1 an f(n)求解.

十一、不动点法

7an 22an 3

例 已知数列{an}满足an 1 ，a1 2，求数列{an}的通项公式。

解：令x

7x 22x 3

2

，得2x 4x 2 0，则x 1是函数f(x)

3x 14x 7

的不动点。

因为an 1 1

7an 22an 3

1

5an 52an 3

，所以

an

21n1n1() () 。

3423

bn，使得所给递推关系式转化

bn 1

12bn

32

形式，从而可知数列{bn 3}为等比数列，进而求出数列{bn 3}的通项公式，

最后再求出数列{an}的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：Sn

n(a1 an)

2

na1

n(n 1)2

d

2、等比数列求和公式：Sn

na1

n

a anq a1(1 q)

1

1 q1 q

n(n 1)

2

(q 1)(q 1)

前n个正整数的和 1 2 3 n

n(n 1)(2n 1)6

n(n 1)

2

前n个正整数的平方和 12 22 32 n2 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [

]

2

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例 已知log3x

1log23

，求x x x x 的前n项和.

23n

例 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)

Sn

(n 32)Sn 1

的最大值.

∴ f(n)

Sn

(n 32)Sn 1

＝ ＝

1n 34

64n

150

＝(n

18n) 50

2

150

∴ 当 n

8，即n＝8时，f(n)max

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；

然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{an}中，a1 1,an 1 (1 （I）设bn

ann

1n)an

n 12

n

，求数列{bn}的通项公式（II）求数列{an}的前n项和Sn

an 1n 1

ann 12

n

分析：（I）由已知有

bn 1 bn

12

n

12

n 1

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn 2 （II）由（I）知an 2n

n2

n 1

(n N*)

n

n

n

, Sn= (2k

k 1

k2

) k 1

k 1

(2k)

k 1

k2

k 1

nn

而 (2k) n(n 1),又

k 1

k 1

n

k2

k 1

是一个典型的错位相减法模型，

易得

k 1

k2

k 1

4

n 22

n 1

Sn=n(n 1)

n 22

n 1

4

三、 倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).

12nn

5Cn (2n 1)Cn (n 1)2 例 求证：Cn0 3Cn

012n

证明： 设Sn Cn 3Cn 5Cn (2n 1)Cn

Sn (2n 1)Cn (2n 1)Cn

nn 1

3Cn Cn

10

n

∴ Sn (n 1) 2

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1 1,

解：设Sn (1 1) (

Sn (1

1a 1a1

2

1a

4,

1

2

4) (

a1

2

7, ,

1a

n 1

3n 2，… 1

3n 2)

a

7) (

a

n 1

1

n 1

a

当a＝1时，Sn n

a

(3n 1)n

2

) (1 4 7 3n 2)

＝

(3n 1)n

2

1

1

n

a (3n 1)n＝a a1a 12

1 n

当a 1时，Sn

1

(3n 1)n

2

a

例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1 a2 2(

1a1

1a2

)，a3 a4 a5 64(

1a3

1a4

1a5

2

)

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn (an

1an

)，求数列{bn}的前n项和Tn。

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）an f(n 1) f(n) （2）

sin1

cosncos(n 1)

(2n)

2

tan(n 1) tann

（3）an

1n(n 1)

1

1n

1n 1 1[

（4）an 1

(2n 1)(2n 1)

1

1

22n 1

(

1

12n 1

)

（5）an (6)

an

n 2

n(n 1)(n 2)2n(n 1)

1(n 1)(n 2)

]

n(n 1)2

1

n

2(n 1) nn(n 1)

12

n

1n 2

n 1

1(n 1)2

n

,则Sn 1

1(n 1)2

n

例 求数列

1 an

121n 11

,

12 3

, ,

1n

n 1

, 的前n项和.

n 1

n 1 n

则 Sn

2

12

1n 1

3

1n

n 1

nn 1

＝n 1 1

例 在数列{an}中，an

项的和.

解： ∵ an

2n 1

，又bn

2an an 1

，求数列{bn}的前n

1n 1

2n 1

nn 1

n2

∴ bn

Sn

六、合并法求和

)

nn 1nn 1 2211111118n

8[(1 ) ( ) ( ) ( )] ＝

22334nn 1n 1

8(

211

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例 数列{an}：a1 1,a2 3,a3 2,an 2 an 1 an，求S2002.

解：设S2002＝a1 a2 a3 a2002

a6k 1 1,a6k 2 3,a6k 3 2,a6k 4 1,a6k 5 3,a6k 6 2

∵ a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 0

S2002＝a1 a2 a3 a2002 ＝a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4＝5

例 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 9,求log3a1 log3a2 log3a10的值.

解：设Sn log3a1 log3a2 log3a10

由等比数列的性质 m n p q aman apaq

Sn (loga1 log3a10) (loga2 log3a9) (loga5 log3a6) ＝10 333

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

1之和. 例 求1 11 111 111

n个1

1 解：由于111

k个1

19

999 9

k个1

19

(10

k

1)

1 ＝ ∴ 1 11 111 111

n个1

1110(10 1)nn 1

10 9n) ＝(10＝

81910 19

n

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