微分中值定理及其应用

安 阳 师 范 学 院

微分中值定理及其应用

张庆娜

（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）

摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用

定理3.2（罗尔中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)?f(b),

则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得

f?(?)?0.

定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； 则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得

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f(b)?f(a).

b?a定理3.4（柯西中值定理） 若函数f(x),g(x)满足如下条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f?(x),g?(x)不同时为零； （4）g(a)?g(b)；

f?(?)?则在开区间?a,b?内存在一点?,使得

f?(?)f(b)?f(a). ?g?(?)g(b)?g(a)注 上面各定理的条件是充分的,但不是必要的. 4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.

例4.1.1[5]f(x)是定义在实数集R上的函数,若对任意x,y?R,有f(x)?f(y)?M(x?y)2,其中M是常数,则f(x)是常值函数.

证明 对任意x?R,x的改变量为?x,由条件有f(x??x)?f(x)?M(?2x),即

f(x??x)?f(x)?M?x,

?x两边关于?x?0取极限得

0?lim?x?0f(x??x)?f(x)?limM?x?0 ?x?0?x所以f?(x)?0.

由中值定理f(x)?f(0)?f?(?)x?0,即f(x)?f(0), 故在R上f(x)是常值函数.

思路总结 要想证明一个函数f(x)在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数f?(x)在同一区间上恒为零即可.

1x?12x?1例4.1.2[2] 设f(x)?1x?23x?2,证明：存在??(0,1),使得f?(?)?0.

1x?34x?31?1?1证明 由于f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?1?2?2?0,

1?3?3101f(1)?1?11?0 .符合罗尔中值定理的条件,故存在??(0,1),使f?(?)?0

1?21例4.1.3 若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)?f(1)?0,设F(x)?x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个?,使F???(?)?0.

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证明 由题设可知F(x),F?(x),F??(x),F???(x)在[0,1]上存在,又F(0)?F(1),由罗尔中值定理,??1?(0,1)使

F?(?1)?0,

?1]满足罗尔中值定理,于是又F?(0)?[3x2f(x)?x3f?(x)]|x?0?0可知F?(x)在上[0,??2?(0,?1),使得

F??(?2)?0, 又F??(0)?[6xf(x)?6x2f?(x)?x3f??(x)]|x?0?0对F??(x)存在??(0,?2)?(0,?1)?(0,1),使 F???(?)?0.

.

例4.1.5 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0?a?b,试证：??,??(a,b)使a?bf?(?)?f?(?).

2?证明 由于0?a?b,f(x),g(x)?x2,g?(x)?2x?0,x?(a,b)

由于f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理 ,所以???(a,b)使

f?(?)f(b)?f(a) ?222?b?af?(?)f(b)?f(a)?(b?a)??f?(?),??(a,b)

2?b?a由上面二式可得??,??(a,b)使得：

a?bf?(?)?f?(?).

2?例4.1.6 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1.试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内不同的?,?使

ab??a?b. f?(?)f?(?)a证明 由于a,b?0所以0??1.

a?b又由于f(x)在[0,1]上连续且f(0)?0,f(1)?1.由介值性定理,???(0,1)使得

a, f(?)?a?bf(x)在[0,?],[?,1]上分别用拉格朗日中值定理有

f(?)?f(0)??f?(?),??(0,?)

即

f(?)??f?(?),??(0,?)

f(1)?f(?)?(1??)f?(?),??(?,1)

即

1?f(?)?(1??)f?(?),??(?,1)

于是由上面两式有

1?f(?)b1????

f?(?)(a?b)f?(?)f(?)a???

f?(?)(a?b)f?(?)第 2 页

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将两式相加得

1?ab ???(a?b)f(?)(a?b)f(?)即

ab??a?b. f?(?)f?(?)小结 大体上说,证明在某区间内存在?,?满足某种等式的方法是： ①用两次拉格朗日中值定理.

②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.

④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式

在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.

例4.2.1[3] 设 ⑴f(x),f?(x)在[a,b]上连续；

⑵f??(x)在(a,b)内存在； ⑶f(a)?f(b)?0;

⑷在(a,b)内存在点c,使得f(c)?0;

求证在(a,b)内存在?,使f??(?)?0.

证明 由题设知存在x1?(a,b),使f(x)在x?x1处取得最大值,且由⑷知f(x1)?0,x?x1也是极大值点,所以

f?(x1)?0.

f??(?)由泰勒公式：f(a)?f(x1)?f?(x1)(a?x1)?(a?x1)2,??(a,x1).

2!所以f??(?)?0.

a?baa?b例4.2.2 设0?b?a,证明. ?ln?abb证明 显然等式当且仅当a?b?0时成立. 下证 当0?b?a时,有

a?baa?b ① ?ln?abb作辅助函数f(x)?lnx,

则f(x)在[b,a]上满足拉格朗日中值定理,则???(b,a)使

lna?lnb1? ②

a?b?由于0?b???a,所以

111 ?? ③ a?b1lna?lnb1由②③有??,即

aa?bba?baa?b. ?ln?abb小结 一般证明方法有两种

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①利用泰勒定理把函数f(x)在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：

第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数f(x),使不等式的一边是这个函数在区间[a,b]上的增量f(b)?f(a)；

第二步 验证f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为f?(?)(b?a)；

第三步 把f?(?)适当放大或缩小.

4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题

例4.3.1 设函数在x?x0点的某一邻域内可导,且其导数f?(x)在x0连续,而?n?x0??nf(?n)?f(?n)当n??时?n?x0,?n?x0,求 lim.

n???n??n解 设{?n},{?n}?u0(x0),则由拉格朗日中值定理有 f(?n)?f(?n)?f?(?n),(?n??n??n).

?n??n已知?n?x0(n??),又f?(x)在x0连续,即f?(x0)?limf?(x),所以

x?x0n??x?x?n??n例4.3.2 若f(x)在(a,??)内可导,且lim[f(x)?f?(x)]?0,求limf(x).

n??0limf(?n)?f(?n)?limf?(?n)?limf?(x)?f?(x0).

x??x??x)]ex?f[x(ex)?,]分析 由式[f(x)?f?(引进辅助函数F(x)?f(x)ex,g(x)?ex,显然

g?(x)?0.

解 由lim[f(x)?f?(x)]?0,知???0,?X?0当x?X时f(x)?f?(x)??,

x??令F(x)?f(x)ex,g(x)?ex对x?X,在[X,x]上利用柯西中值定理有

F(x)?F(X)F?(?),??(X,x) ?g(x)?g(X)g?(?)即

f(x)ex?f(X)eX[f(?)?f?(?)]e??,

ex?eXe?亦有

[f(x)?f(X)]eX?x?f(?)?f?(?),

1?eX?x或

|f(x)|?|f(X)|eX?x?|f(?)?f?(?)|(1?eX?x)

由于limeX?x?0,所以?x1?X,当x?x1时有

x???eX?x??和eX?x?1,

于是?x?x1,使

|f(x)|?|f(X)|??2?

即

limf(x)?0.

x??小结

方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的

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迫敛性求的最终结果.

方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果. 4.4 证明零点存在性

在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.

aaa例4.4.1 设ai?R且满足a0?1?2?...?n?0,证明方程

23n?1a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0在(0,1)内至少有一个实根.

x2x3xn?1证明 引进辅助函数F(x)?a0x?a1?a2?...?an,

23n?1显然F(0)?F(1)?0,F(x)又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在??(0,1)使

F?(?)?0

而

F?(x)?a0?a1x1?a2x2?...?anxn

故方程

a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0

在(0,1)内至少有一个实根?.

注 本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程x5?x?1?0有唯一正根. 证明 （存在性）令f(x)?x5?x?1,

显然f(x)是连续函数,取区间[0,N]则f(x)在[0,N]上连续,在(0,N)内可导,且

f?(x)?5x4?1?0,

由连续函数的零点定理,知存在x0?(0,N)使f(x0)?0即方程有正根(N?0). （唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,

设处x0外还有一个x1?0不妨设x0?x1使f(x1)?0则f(x)在[x0,x1]上满足罗尔中值定理条件,于是存在??(x0,x1)使

f?(?)?0

这与上面的f?(x)?5x4?1?0矛盾.

所以,方程有唯一的正根.

例4.4.3 设f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明???(a,b)使

f(a)f(b)f?(?)g(a)h(a)g(b)h(b)?0并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例. g?(?)h?(?)f(a)g(a)h(a)h(b)由于F(a)?F(b)?0,由罗尔中值定理知g(x)h(x)g(b)证明 作辅助函数F(x)?f(b)f(x)???(a,b)使

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f(a)g(a)h(a)?)?f(b)g(b)h, (b ) 0?F?( ①

??f?(?)g?(?)h()若令h(x)?1,则由①式有

f(a)0?F?(?)?f(b)f?(?)g(a)1g(b)1, ② g?(?)0由②式可得

f(b)?f(a)f?(?) ?g(b)?g(a)g?(?)此即柯西中值定理.

若令h(x)?1,g(x)?x由①式有

f(a)a1?)?f(b)b, 1 ③ 0?F?(f?(?)10由③可得

f(b)?f(a)?f?(?)

b?a此即为拉格朗日中值定理.

此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法 （1）构造恰当的函数F(x),使F?(x)?f(x)；对F(x)使用洛尔定理即可证得结论存在?,使得f(?)?0；

（2）对连续函数f(x)使用介值定理；

证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证. 4.5 函数的单调性

f(x)例4.5.1[6] 证明：若函数f(x)在[0,a)可导,f?(x)单调增加,且f(0)?0,则函数在

x(0,a)也单调增加.

证明 对任意x1,x2?(0,a),且x1?x2,则f(x)在[0,x1]与[x1,x2]均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在c1?(0,x1),c2?(x1,x2),使

f(x1)?f(0),

x1?0f(x2)?f(x1)f?(c2)?,

x2?x1由于f?(x)单调增加,且f(0)?0,所以

f(x1)f(x2)?f(x1)?, x1x2?x1从而

f(x1)f(x2)?, x1x2f?(c1)?第 6 页

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f(x)在(0,a)也单调增加. x证明函数为单调函数一般有两种方法： （1）利用函数单调的定义来证明；

（2）利用导函数f?(x)来证明.若在该区间上恒有f?(x)?0则f(x)为单增函数；若在该区间上恒有f?(x)?0则f(x)为单减函数. 4.6 导数的中值估计

例4.6.1[7] 设f(x)在[a,b]上二次可微, f?(a)?f?(b)?0,则至少存在一点??(a,b),使得

2f??(?)?f(b)?f(a). 2(b?a)a?ba?b证明 因为函数f(x)在[a,]与[,b]上可导,所以由中值定理有

22a?bf()?f(a)a?b2 f?(c1)?,c1?(a,), （1）

a?b2?a2a?bf(b)?f()2,c?(a?b,b), （2） f?(c2)?2a?b2b?2(1)?(2),并整理得

2 f?(c2)?f?(c1)?[f(b)?f(a)], （3）

b?a又f?(a)?f?(b)?0,且f(x)在[a,b]上二次可微,则分别在(a,c1)与(c2,b)内至少存在?1与?2,

即函数

使

f?(c1)?f??(?1),?1?(a,c), 1 （4）c1?a

f?(c2)?f??(?2),?2?(c2,b), （5） c2?b(4)?(5),并整理得

?c?)??f?(1)?(c?a)???f2(?)( b,6） f?(c )（2)?f(112c将（6）式代入（3）式得 2f(b)?f(a)?f??(?1)(c1?a)?f??(?2)(c2?b) b?a令f??(?)?max{f??(?1),f??(?2)},则

2f(b)?f(a)?f??(?1)c1?a?f??(?2)c2?b?f??(?)b?a b?a即

f??(?)?2f(b)?f(a),??(a,b). 2(b?a)解题方法小结

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选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.

4.7 证明函数在区间上的一致连续

例4.7.1 设函数f(x)在(0,1]内连续且可导,有lim?xf?(x)?0,证明：f(x)在(0,1]内一

x?0致连续.

证明 由函数极限的局部有界性知,存在M?0和c?(0,1),使

xf?(x)?M,x?(0,c]

于是?x1,x2?(0,c],且x1?x2不妨设x1?x2由柯西中值定理,???(x1,x2),有

f(x2)?f(x1)f?(?)??2?f?(?)

x2?x11/(2?)即

x2?x1??x2?2x1x2?x2?x1

故???0,???min{(2?2Mf(x2)?f(x1)?2M)2,c},当x1,x2?(0,c],且x2?x1??时,由上面两式得到

x2?x1?2Mx2?x1??

于是知f(x)在(0,c]上一致连续,

由于f(x)在(0,1]上连续,所以f(x)在[c,1]上一致连续, 由定理知f(x)在(0,1]内一致连续.

证明函数在区间上的一致连续解题小结：

利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性

例4.8.1 设函数f(x)在点x?0的某邻域内有二阶连续导数,且limx?0?f(x)?0,证x1f()绝对收敛. ?nn?1f(x)证明 由lim?0且f(x)在x?0可导,知f(0)?0,f?(0)?0故f(x)在点x?0处的

x?0x一阶泰勒公式为：

11f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)x2?f??(?)x2,??(0,x)

2!2!因f??(x)?M,故

f(x)?1M2f??(?)x2?x. 2!2取x?1有 n1M12f()?() n2n??M121由于?()收敛,由比较判别知?f()绝对收敛.

nnn?12n?1定理[8] 已知f(x)为定义在[1,??)上的减函数,F(x)为定义在[1,??)上的连续函数,且

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F?(x)?f(x)?0,x?(1,??).

mn(存在时,正项级数⑴当极限liFn??n??n???f(n)n?1?收敛,设其和为a,则

limF(n)?F(1)?a?limF(n)?F(1)?f(1)；

⑵当极限limF(n)??时,正项级数?f(n)发散.

n???n?1证明 下面只证定理的前半部分.

因为函数F(x)在区间[k,k?1]上满足中值定理的条件（其中k?1）,所以在(k,k?1)内至少存在?使得F(k?1)?F(k)?f(?)成立,

又f(x)为减函数,故有

f(k?1)?F(k?1)?F(k)?f(k),k?1,2,???,n.

将上述n个不等式相加得

f(2)?f(3)?...?f(n?1)?F(n?1)?F(1)?f(1)?f(2)?...?f(n).

令Sn?f(1)?f(2)?...?f(n), 则

Sn?f(1)?f(n?1)?F(n?1)?F(1)?Sn,（1）

因极限limF(n)存在,f(x)为减函数,从而数列{F(n)}有界,

n??f(n?1)?f(1),

所以数列{Sn}单调递增且有上界,故极限limSn存在,即级数?f(n)收敛.从而limf(n)?0,

n???n?1n??由（1）可得

limF(n)?F(1)??f(n)?limF(n)?F(1)?f(1).

n??n?1n???n2例4.8.2 判定级数?n是否收敛？若收敛,请估计其和.

n?1e解 令f(x)?x2e?x,F(x)??(x2?2x?2)e?x,

则F?(x)?f(x),f?(x)?x(2?x)e?x,故当x?2时,f?(x)?0,此时f(x)为减函数,又

?n2limF(n)?0,由定理知级数?n收敛, n??n?1e且

?n2limF(n)?F(2)??n?limF(n)?F(2)?f(2), n??n??n?2e?所以

n20?F(2)?f(1)??n?0?F(2)?f(2)?f(1)

n?1e?即

n210e?e??n?14e?2?e?1.

n?1e判定级数的敛散性的一般解题方法

方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；

?2?1?第 9 页

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方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论； 5 总结

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代,对微分中值定理的研究从微积分建立之始就开始了.至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.

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[8]刘章辉. 微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,2（27）:9~81.

The Differential Mean-value Theorem and It’s

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Application

Zhang Qing-na

(School of mathematics and statistics,Anyang Normal

University, Anyang,Henan 455002)

Abstract: The paper introduces some common methods of using Rolle Theorem ,Lagrange Theorem and Cauchy Theorem of Mean-value ,in which the problems of testify being ,issue of judging convergence or divergence of series and the application of testify inequality or equality and of seeking limit are presend .This article also introduces the application of differential Mean-value Theorems in sloving problems by some examples.

Key words：continuation ; derivable ; the theorem of differential median ; reply

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z3g7.html