2012年高三数学一轮复习资料第八章 平面向量第八章 综合能力检测

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第八章 综合能力检测

一、选择题(第小题5分,共40分)

1.向量i=(1,0),j=(0,1),下列向量中与向量3i?j垂直的是( )

A.2i?23j

3j)(

B.?i?3j C.2i?3j D.?i?3j

答案:B (?i?

3i?j)=0所以选B

2.已知向量a??4,3?,b???1,2?,若向量a?kb与a?b垂直,则k的值为

A.

233( )

B.7 C.?115 D.?233

答案:A (a?kb)(a?b)=5(4?k)?(3?2k)?0

??????????????????????????13.设OM?(1,),ON?(0,1),则满足条件0?OP?OM?1,0?OP?ON?1的动点

2P的

变化范围(图中阴影部分含边界)是

yy ( )

yy21021101x?11x012x?201x A. B. C. D. ?????????????????答案:A 设P点坐标为(x,y),则OP?(x,y).由0?OP?OM?1,0?OP?ON?1得

?0?2x?y?2,在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可,选A. ?0?y?1?4.如图,非零向量OA?a,OB?b且BC?OA,C为垂足,若OC??a,则?? ( )

a?b|a|2 A. B.a?b|a||b| C.a?b|b|2 D.|a||b|a?b ????????????????????????????????????????2答案:A解析:BC?OA即BC?OC?(OC?OB)?OC?0?|OC|?OB?OC?0

- 1 -

???2即?|a|??a?b?0可得答案A

25.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中a、b不共线,则四边

形ABCD为( ) A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

答案: C 解析∵AD=AB?BC?CD=-8a-2b=2BC,∴AD//BC. ∴四边形ABCD为梯形.

????????6.已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb (λ,μ∈R)那么A,B,C三点

共线的充要条件为( )

A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1

????????答案:D 解析: A,B,C三点共线即存在实数k使得AB=kAC即λa+b=k( a+μb)

所以有λa=ka , b=kμb,即λ=k, 1=kμ 故选D

7.已知向量a?(m,n),b?(cos?,sin?),其中m,n,??R.若|a|?4|b|,则当a?b??恒成立时实数?的取值范围是 A.??

C.?2或???2

2 ( )

B.??2或???2 D.?2???2

m?n222???2

答案:B 由已知得|b|?1,所以|a|?a?b?mco?s?nsi?n??4,因此

222m?nsi?n?(?)?4si?n?(?)?4,由于a?b??恒成立,

2所以??4,解得??2或???2.

8.点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v?(4,?3)(即点P的运动方向与v相同,且每

秒移动的距离为v个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )

A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10)

??????????????答案:C 设5秒后点P运动到点A,则PA?PO?OA?5V?(20,?15),

????∴OA?(20,?15)?(?10,10)=(10,-5).

二、填空题(第小题5分,共30分,其中13~15是选做题,选做两题)

9.直角坐标系xOy中,i,j分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,

??

- 2 -

????????????若AB?i?kj,AC?2i?j,且∠C=90°则k的值是 ;

????????????????????答案:由平面向量的坐标表示可得:AB?(1,k),AC?(2,1),CB?AB?AC?(?1,k?1),

????????????????由AC?CB,得AC?CB?2???1??1??k?1??k?3?0,k?3.

????????????10.若菱形ABCD的边长为2,则AB?CB?CD?__________。

????????????????????????????????????答案:2 AB?CB?CD?AB?BC?CD?AC?CD?AD?2

????????11.已知向量AB?(4,0),AC?(2,2),则AC与BC的夹角的大小为 .

????????????????????????????AC?BC解析:.?BC?(?2,2),cos?AC,BC???????????0,??AC,BC??90?

ACBC

12.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c =a???2?a?a?则向量a与c的夹角为 ; ?b,

?a?b??a??a?b?= a·a- a·a = 0,

答案:

a?a?a 由题意得a·c = a·?b?= a·a - ?a??a?b?a?b因此a与c的夹角是

?2.

,已知两个向量OP1??cos?,sin??,

13.(选做题)设0???2?OP2??2?sin?,2?cos??,则向量P1P2长度的最大值是 ;

?????答案:P1P2?(2?sin??cos?,2?cos??sin?), ????? P1P2?2(2?cos?)?2sin??2210?8cos??18?32 ?????14.(选做题)设向量a与b的夹角为?,a?(3,3),2b?a?(?1,1),则cos?? . ??????解析:设向量a与b的夹角为?,且a?(3,3),2b?a?(?1,1)∴b?(1,2),则

??a?b9co?s????32?a?b=531010.

15.(选做题)P是△ABC所在平面上一点,若PA?PB?PB?PC?PC?PA,则P是△ABC的( )

答案:垂心

由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.

- 3 -

即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0, 则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心.

三、解答题(共80分)

16.(本题满分13分)已知A,B,C是三角形ABC三内角,向量m=(-1,3),n=(cosA,sinA),

且m·n=1. 求角A;

? m·n=1,?(?1,3)?(cosA,sinA)?1?3sinA?cosA?1,即…(4分)

2(sinA?32?cosA?12)?1,sin(A??5?6?6)?12,?(7分)

?0?A??,??6?A??6(,?9分)?A??6??6,?A??3。…(13分)

17.(本题满分13分)已知开口向上的二次函数f(x),对任意x?R,恒有

f(2?x)?f(2?x)成立,设向量

a=(x?2?2x?1,1),b=(1,2)。求不等式f(a·b)

由题意知f(x)在?2,???上是增函数,…(1分)

? a·b=x?2?2x?1?2?2 …(2分) ? f(a·b)

43① 当x??2时,不等式(*)可化为?(x?2)?(2x?1)?3,?x??此时x无解;…(6分) ② 当?2?x?此时0?x?③ 当x?此时

12121212,…(5分)

时,不等式(*)可化为x?2?(2x?1)?3,?x?0,…(8分) ;…(9分)

23时,不等式(*)可化为x?2?2x?1?3,?x?23,…(11分)

?x?。…(12分)

23综上可知:不等式f(a·b)

18.(本题满分14分)已知向量a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)垂直的

单位向量,求a的终点坐标

- 4 -

解:设a的终点坐标为(m,n)……1分 则a=(m-3,n+1)……3分

??3(m?3)?4(n?1)?0①

由题意? ……6分 22②

?(m?3)?(n?1)?1由①得:n=

2

14(3m-13)代入②得……7分

25m-15Om+2O9=O ……9分 1911??m?,m?,12????55解得?……13分 或??n??2.?n??8.12??55??∴a的终点坐标是(

195,?25)或(115,?85)……14分

??19.(本题满分14分)已知a?(1,x),b?(x2?x,?x),m为实数,

??2??求使m(a?b)?(m?1)a?b?1?0成立的x的范围.

??解: a?b?x2?x?x2?x

?m(a?b)2?(m?1)a?b?1?0?mx10当m=0时,x>1…………………6分 20当m≠0时,m(x?1m)(x?1)?0 1m1m2?(m?1)x?1?0………4分

①m<0时,x?1或x?②0<m<1时,1?x?…………………8分 ……………10分

③m=1时, x 不存在………………………12分 ④m>1时,

20.(本题满分14分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a?(?1,2),又点

A(8,0),B(n,t),C(ksin?,t)(0???1m?x?1……………………………14分

?2)

- 5 -

????????(1)若AB?a,且|AB|?????????5|OA|,求向量OB;

????????????(2)若向量AC与向量a共线,当?4时,且tsin?取最大值为4时,求OA?OC

????????解: (1)AB?(n?8,t),?AB?a?8?n?2t?0……2分

又??????????2225|OB|?|AB|,?5?64?(n?3)?t?5t,得t??8 ……4分

???????? ?OB?(24,8)或OB?(?8,?8)……6分 ????(2)AC?(ksin??8,t)

???? ?AC与a向量共线, ?t??2ksin??16……8分

?tsin??(?2ksin??16)sin???2k(sin???k?4,?1?k4?0,?当sin??kk4)?232k

32k432??????4,得k?8,此时??,OC?(4,8)……12分 由k6?????????OA?OC?(8,0)?(4,8)?32 (14分)

时,tsin?取最大值为 (10分)

21.(本题满分12分)已知向量a?(cosx,sinx),b?(?cosx,cosx),c?(?1,0). (1)若x??6??,求向量a,c的夹角; ,9?8??]时,求函数f(x)?2a?b?1的最大值。

??? (2)当x?[解:(1)当x??2?6时, ??a?c???|a|?|c|?cosxcos5?62??cos?a,c??………………2分

(?1)?022x?sin2x???cosx??cos?6?cos.………………3分

???0??a,c???,

??5???a,c??.……………………5分

6??2(2)f(x)?2a?b?1?2(?cosx?sinxcosx)?1…………7分

?2sinxcosx?(2cos2x?1)

- 6 -

?sin2x?cos2x??x?[?2x?2sin(2x??4)……………………9分

?2,9?8?[], 3?4,2?]……………………10分

?4故sin(2x?∴当2x?

?4?4)?[?1.3?422],

?,即x??2时,f(x)max?1.……………………12分

- 7 -

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/z3da.html

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