离散时间信号处理 期末复习习题精要及答案

1. 1判断下列信号是否是周期性的，并且对于每一个周期信号求其基本点周期。

x(n)?cos(0.125?n)

x(n)?Re{ejn?/12}?Im{ejn?/18}

x(n)?sin(??0.2n)

x(n)?ej?16cos(n?/17)

解：1、因为0.125???/8cos(期。

?8n)?cos(?8(n?16))，所以x(n)是以N?16为周

2、这里我们有两个周期信号之和：x(n)?cos(n?/12)?sin(n?/18)

其中第一个信号的周期N1?24，第二个信号的周期N2?36。因此，这个和的周期是：

N?N1N2(24)(36)(24)(36)???72

gcd(N1,N2)gcd(24,36)123、先须求得N值，使得sin(??0.2n)?sin(??0.2(n?N))，这个正弦函数是以2?为周期的，所以0.2N必须是2?的整数倍。但?是无理数，不存在整数N使这个等式成立，于是这个周期是非周期的。 4．这里有两个周期序列的乘积，

N?(32)(34)(32)(34)??544。

gcd(32,34)2N1?32N2?34所以基本周期是

1.2线性离散系统是通过一个时延单位采样?(n?k)的响应hk(n)来表征的。对于如下定义的线性系统，判断是否为稳定的、因果的

(a)hk(n)?(n?k)u(n?k)，(b)hk(n)??(2n?k)

解：（a）因为

k????|h(n)|??|n?k|??|k|??，所以这个系统是不稳定的。

kk???k?0?n?因为对于n

（b）注意到hk(n)最多有一个非零值，且这个非零值为1，因而对于所有n有

k????|h(n)|?1，于是这个系统是稳定的。

k?但这个系统不是因果的，因为如果x(n)??(n?2)，其响应是

y(n)?h2(n)??(2n?2)??(n?1)，这个系统产生一个在输入发生之前的响应，因此它是非因果的。

1.3判断下列系统的线性和非移变性：T[x(n)]?g(n)x(n)T[x(n)]?ax(n)?b 解1

T[x(n)]?g(n)x(n)T[x1(n)]?g1(n)x1(n)T[x2(n)]?g2(n)x2(n)T[x1(n)?x2(n)]?g(n)[x1(n)?x2(n)]

?T[x1(n)]?T[x2(n)]，所以系统为线性系统。

T[x(n?no)]?g(n)x(n?no)?g(n?no)x(n?no)，所以为移变系统。 2 T[x1(n)]?ax1(n)?b T[x2(n)]?ax2(n)?b

T[x1(n)?x2(n)]?a[x1(n)?x2(n)]?b

?T[x1(n)]?T[x2(n)]，所以为非线性系统

T[x(n?no)]?ax(n?no)?b?y(n?no)，所以为非移变系统。

1.4考虑其输出y(n)与输入x(n)的关系如下所示的一个系统

y(n)?k???判断这个系统是否为(a)线性的(b)移位不变的(c)稳定的?x(k)x(n?k)，

?(d)因果的

(a) 我们注意到x(n)??(n),则y(n)??(n)；如果x(n)?2?(n)，则

y(n)?4?(n)，所以系统是非线性的。

(b) 因为y(n?no)??k????x(k)x(n?n??o?k)，对于x1(n)?x(n?no)

y1(n)?k????x(k)x(n?k)??x(k?n)x(n?k?n)

11ook???所以y1(n)?y(n?no)，系统非移变。

（c）如果x(n)是单位阶跃，则y(0)是无界的，所以这个系统不稳定。

（d）因为y(0)等于当k取所有值时，x(k)的平方和，因此这个系统不稳定。

1. 5(1)已知激励为单位阶跃信号之零状态（阶跃响应）是g(n),试求冲激响应h(n)

(2) 已知冲激响应h(n),求阶跃响应g(n) 解：（1）因为?(n)?u(n)?u(n?1)

所以h(n)?g(n)?g(n?1) （2）g(n)?h(n)?u(n)?u(n)?h(n)??k????u(k)h(n?k)??h(n?k)

k?0??即g(n)??h(n?k)

k?01．6x(n)是系统的激励函数，h(n)是线性时不变系统的单位样值响应，求出y(n). 解

由

图

得

：

x(n)??(n)?2?(n?1)??(n?2)，，

h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)y(n)?x(n)?h(n)?[?(n)?2?(n?1)??(n?2)]?[?(n)??(n?1)??(n?2)]

??(n)?3?(n?1)?4?(n?2)?3?(n?3)??(n?4)

1． 7一个具有如下单位采样响应的线性衣位不变系统h(n)=u(-n-1),如果其输入

是x(n)??n3nu(?n)，求其输出。

解 因为对于n>-1,x(n)与h(n)等于零，所以对于n>-2,这个卷积等于零。直接计算卷积和，我们得y(n)?k????x(k)h(n?k)???k3u(?k)u(?(n?k)?1)

kk???k??因为对于k>0,u(-k)=0,对于k

变

k?n?1??k3,n??2

量

代

换

得

01?n?11?n1(?n?1)()?n()??n?11m333?3?3(2n?1)(1)?n,n??2 y(n)??m()?13443m?0(1?)231． 8两线性非移变系统级连，其单位样值响应分别为h1(n)??(n)??(n?4)，

h2(n)?anu(n),|a|?1，输入x(n)?u(n)，求系统输出y(n). 解

???：

w(n)?x(n)*h1(n)?m????x(m)h(n?m)??u(m)h(n?m)??u(m)[?(n?m)??(n?m?4)]11m?0m?0=u(n)-u(n-4)=?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)

y(n)?w(n)*h2(n)[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]*h2(n) ?h2(n)?h2(n?1)

?h2(n?2)?h2(n?3)

anu(n)?an?1u(n?1)?an?2u(n?2)?an?3u(n?3)

1. 9设x(n),y(n),w(n)为三个任意序列，证明:

x(n)*y(n)=y(n)*x(n) x(n)*[y(n)+w(n)]=x(n)*y(n)+ x(n)*w(n) 证：1. x(n)*y(n)?2

???k????x(k)y(n?k)n?k?m?x(n?m)y(m)?y(n)*x(n)

m?????x(n)*[y(n)?w(n)]?k????x(k)[y(n?k)?w(n?k)]??x(k)y(n?k)??x(k)w(n?k)?x(n)*yk???k???1.10解差分方程：y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0,y(-1)=2,y(-2)=1 解：特征方程：a2?3a?2?0a1??1,a2??2 齐次解：y(n)?c1(?1)n?c2(?2)n 将y(-1)=2,y(-2)=1代入得：c1?4,c2??12 所以：y(n)?4(?1)n?12(?2)n

1.11求下示差分方程的完全解：y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1) 其中激励函数x(n)?n2，且已知y(-1)=-1 解：求得其齐次解为c(?2)n，

将激励信号x(n)?n2代入方程右端，得到自由项为

n2?(n?1)2?2n?1。根据此函数的形式，选择具有D1n?D2形式的特解，以此作y(n)代入方程给出：

D1n?D2?2[D1(n?1)?D2]?n2?(n?1)2 3D1n?3D2?2D1?2n?1

21 比较方程两端系数得到：D1?,D2?

3921 完全解的表示式为y(n)?C(?2)n?n?

39代入边界条件y(-1)=-1,得到c=8/9

821于是：y(n)?(?2)n?n?

9391. 12设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程决定

11y(n)?y(n?1)?x(n)?x(n?1)，该系统是因果的。

22（1） 求该系统的单位样值响应；

（2） 由（1）的结果，利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。 解：（1）x(n)??(n)

因为y(n)?h(n)?0,n?0

11y(?1)?x(0)?x(?1)?1 2211h(1)?y(0)?x(1)?x(0)?1

22111h(2)?y(1)?x(2)?x(1)?

222111h(3)?y(2)?x(3)?x(2)?()2

222111于是：h(n)?y(n?1)?x(n)?x(n?1)?()n?1

2221即h(n)?()n?1u(n?1)??(n)

21 （2）y(n)?x(n)*h(n)?[()n?1u(n?1)??(n)]*ej?nu(n)

2 所以h(0)?1??()(m?1)ejw(n?m)u(n?1)?ej?nu(n) m?12n1?j?11n?j?(n?1)e?()ej?n222?2eu(n?1)?ej?nu(n)

11?e?j?21ej?n?()n2u(n?1)?ej?nu(n) ?1ej??2

x(n)是周期为N的周期序列， ~x(n)也是周期为2N的周期序列。2． 1如果~~~x(n)周期为N时的DFS系数，X2(k)表示~x(n)周期为2N时假定X(k)表示~~~的DFS系数，用X(k)表示DFS系数X2(k)。

2N?1?jnk~~~2N解：若x(n)是周期为2N的周期序列，则DFS系数为X2(k)??x(n)e

n?02?x(n)?~x(n?N)，这个求和可以写为 因为~N?1?jnk?j(n?N)k~X2(k)??~x(n)[e2N?e2N]

n?02?2?=?~x(n)en?0N?1?j2?nk2N[1?e?j?k]

k为偶数时，括号内的项等于2，当k为奇数时，等于零。K为偶数时

~X2(k)?2?~x(n)en?0N?1?j2?n(k/2)N~k?2X()

22X()~所以X2(k)?{02，k?0,2,?,2N?2，k?1,3,?,2N?1，

~k

~~2.2若~x1(n)，~x2(n)是周期为N的周期序列，DFS系数分别为X1(k)，X2(k)。~~~证明：DFS系数为X(k)=X1(k)X2(k)的序列等于~x1(n)和~x2(n)的周期卷积： ~x(n)??~x1(k)~x2(n?k)

k?0N?11~~~x(n)?x(n)为~ 解：X(k)=X1(k)X2(k)，则序列~ 将

N?1~X1(k)??~x1(l)e?j2?kl/Nl?0N~~X(k)X?12(k)ej2?nk/N

k?0N?1代入得到

N?11N?1~~x(n)??X2(k)[?~x1(l)e?j2?kl/N]ej2?nk/N Nk?0l?0N?11N?1~~整理得到： x(n)??X2(k)[?~x1(l)e?j2?kl/N]ej2?nk/N Nk?0l?01N?1~由于：?X2(k)ej2?(n?l)k/N?~x2(n?l)

Nk?0所以： ~x(n)??~x1(l)~x2(n?l)

l?0N?12． 3求下列序列的N点DFT

(a)x1(n)??(n)(b)x2(n)??(n?n0),其中0?n0?N(c)x3(n)??n,0?n?N

(d)x4(n)?u(n)?u(n?n0),其中0?n0?N

nk解(a)X1(k)???(n)WN?1,k?0,1,?,N?1

n?0N?1n0k(b)X2(k)?WN ,k?0,1,?,N?1

N?1n?0N?1n?0(c)X3(k)??x3(n)WnkNnk ???nWNkN1?(?WN),k?0,1,?,N?1 ??(?W)?k1??Wn?0NN?1knNn0?1n?0kn0NkN?j2?kN(d)X4(k)??WnkN1?W?1?W?e(n0?1)2sin(n0?k/N), k?0,1,?,N?1

sin(?k/N)2. 4已知X(k),求其10点DFT反变换:

3,k?0X(k)?{1,1?k?9

解:X(k)可表示为X(k)?1?2?(k),0?k?9 由于x1(n)??(n) X1(k)?1

x2(n)?1 X2(k)?N?(k) 所以x(n)?1??(n) 52.5利用矩表示式阵求x(n)?R4(n)的DFT. 解:由N?4得到W?e?j2?4??j

W0W1W2W3W4W6W9

2.6计算序列x(n)的N点DFT

2?nx(n)?4?cos2(),n?0,1,2,?,N?1

N1解:x(n)?4?[ej2?n/N?e?j2?n/N]2

491jN(2n)1jN(N?2)n??e?e 2442?2?2.7一个有限长序列为x(n)??(n)?2?(n?5) (a) 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换. (b) 若序列y(n)的DFT为Y(k)?ej2k2?10X(k)

其中X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换,求序列y(n). 解:(a)x(n)的DFT很容易得到

X(k)?1?2W5kN?1?2e?j2?5k10?1?2(?1)k

(b)x(n)向左圆周移位2点,就有:

y(n)?x((n?2))10?2?(n?3)??(n?8)

2.8给出两个有限长序列x(n)?(n?1)R4(n)h(n)?(4?n)R4(n) 试用作图方法求圆卷积y(n)?x(n)*h(n)

解:作图可得: y(n)?24?(n)?22?(n?1)?24?(n?2)?30?(n?3) 2.9序列x(n)??(n)?2?(n?2)??(n?3)

(a) 求x(n)的4点DFT

(b) 若y(n)是x(n)与它本身的4点圆周卷积,求y(n)及其4点DFTY(k), 解:(a)x(n)的4点DFT为X(k)??x(n)W4nk?1?2W42k?W43k

n?03 (b)y(n)=x(n)Nx(n),则Y(k)?X2(k)

Y(k)?(1?2W42k?W43k)(1?2W42k?W43k?1?4W42k?2W43k?4W44k?4W45k?W46k有因为W44k?1W45k?W4kW46k?W42k 于是Y(k)?5?4W4k?5W42k?2W43k

y(n)?5?(n)?4?(n?1)?5?(n?2)?2?(n?3)

2.10x(n)和h(n)都是长度为6的有限长序列，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的8点DFT。若组成乘积Y(k)=X(k)H(k),对Y(k)作DFT反变换得到序列y(n),求y(n)等于以下线性卷积的n值.z(n)?k????x(k)h(n?k)

?解：如果两个序列的线性卷积结果长度为M，对于N

2.11y(n)是两个长度为N点的有限长序列h(n)和x(n)的线性卷积，y(n)=h(n)*x(n)

设yN(n)是N点圆周卷积，即yN(n)?h(n)Nx(n)?[?h(k)~x(n?k)]RN(n)

k?0N?1推导出y(n)和yN(n)之间的如下关系：yN(n)?[?y(n?kN)]RN(n)

k????x(n)线性卷积的一个周期：解：y(n)等于有限长序列h(n)和周期序列~yN(n)?[h(n)*~x(n)]RN(n) 如果我们设pN(n)?k?????(n?kN)

?x(n)由x(n)与pN(n)线性卷积组成： 那么周期序列~~x(n)?x(n)*pN(n)

所以N点圆周卷积可以写成：

yN(n)?{h(n)*[x(n)*pN(n)]}RN(n) 于是~y(n)?y(n)*pN(n)??k????y(n?kN)

?yN(n)?[?y(n?kN)]RN(n)

k???2.12已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFT[x(n)],现将长度变为rN点的有限长序列y(n)

x(n),0?n?N?1y(n)?{0,N?n?rN?1

试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系. 解:由X(k)?DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?j2?nkN,0?k?N?1

Y(k)?DFT[y(n)]??y(n)Wn?0N?1nkrNnk ??x(n)WrNn?0N?1??x(n)en?0N?1?j2?knNrk?X(),k?lr,l?0,1,?N?1

r所以在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其它的数值(不一定为零),而当k为r的整数l倍时,Y(k)

k与X()相等.

r3.1为什么要研究FFT算法？FFT算法有什么作用？有那两种基本FFT算法？FFT算法能否用来计算x(n)的频率表示X(ej?)?

解：因为DFT的计算量太大，所以要研究FFT算法；FFT算法大大提高计算速度；FFT算法有按时间抽选法和按频率抽选法；FFT算法不能用来计算。2 3.2试述影响FFT的变换速度有哪些？怎样才能提高FFT变换速度？

解：影响FFT的变换速度有：采样点数N，数据的存储，运算器件的速度；

提高FFT变换速度的方法：输出数据放入原输入数据单元，实现原址计算； 选用运算速度快的运算器件等。

3.3基2FFT快速计算的原理是什么？其运算速度是多少？

kn解：原理是利用WN的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，

最后再组合起来。

NLn2N个蝶形运算。 23.4假设一次复乘需要1μs,而且假定计算一个DFT总共需要的时间有计算所有乘法所需的时间决定。

（a） 直接计算一个1024点的DFT需多少时间？ （b） 计算一个FFT需多少时间？

基2FFT快速运算共运行

解：(a)包括可能与?1的乘法在内，直接计算一个N点的DFT需要N2次复乘。如果每一次复乘需1μs，直接计算1024点的FFT需要时间：

tDFT?(1024)2?10?6s?1.05s

(b)对于一个基2FFT，复乘数大约为(N/2)log2N，N=1024时等于5120,所以用FFT计算一个1024点DFT总共需要的时间是:tFFT?5120?10?6ms?5.12ms 3.5用N=1024点的DFT对模拟信号作频谱分析，采样频率为10K赫兹，问谱线频率间隔是多少赫兹？

1000010000??9.77(HZ) 解： f1?N10243.6对8个点x(0),x(1),……x(7)的序列，用频选算法分解成两个4点DFT后再组成8点DFT，推导公式。

X(k)?x(0)?x(1)W8k????x(7)W87k?[x(0)?x(1)W8k?x(2)W82k??x(3)W]?W[x(4)?x(5)W?x(6)W?x(7)W]3k84k8k82k83k8

k=2r: X(k)?[x(0)?x(4)]?[x(1)?x(5)]W4r?[x(2)?x(6)]W42r?[x(3)?x(7)]W43r k=2r+1X(k)?[x(0)?x(4)]?[x(1)?x(5)]W81W4r?[x(2)?x(6)]W82W42r?[x(3)?x(7)]W83W43r 3.7写出时选FFT算法的基本蝶形运算的算式和信号流图.

r Xm?1(p)?Xm(p)?WNXm(q)

rXm?1(q)?Xm(p)?WNXm(q)

3.8已知有限长序列x(n)=1,n=0;

x(n)=2,n=1 x(n)=-1,n=2 x(n)=3,n=3 按FFT运算流程求X(k). 解：

3． 9推导按频率抽取FFT算法（桑德-图基算法）的表示式。

解：X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??x(n)Wn?0N?12nkNnk ??x(n)WNn?N2N?1

??x(n)Wn?0N?12n?0N?12nkNN(n?)k??x(n?)WN2

2n?0NNk/2nk)WN]WN 2Nnk)]WN,k?0,1,?,N?1 2Nnr)]WN/2 2Nnnr)]WN}WN/2 2N?12N??[x(n)?x(n?N?12n?0??[x(n)?(?1)kx(n?N?12n?0X(2r)??[x(n)?x(n?N?12n?0X(2r?1)?{?[x(n)?x(n?3.10写出9点（即3*3）时间抽选快速傅里叶的计算公式。

X(k)??x(n)W9nk

n?08??x(3r)Wr?0223rk9??x(3r?1)Wr?0k922(3r?1)k9??x(3r?2)W9(3r?2)k

r?03rk92??x(3r)(W)?W3rk9r?02?x(3r?1)(Wr?0rk3)?W22k9?x(3r?2)(Wr?0rk323rk9)

??x(3r)Wr?0rk3?Wk9?x(3r?1)Wr?02?W2k9?x(3r?2)Wr?0

?Go(k)?G1(k)W9k?G2(k)W92k

rXm?1(q)?Xm(p)?WNXm(q)

3.8已知有限长序列x(n)=1,n=0;

x(n)=2,n=1 x(n)=-1,n=2 x(n)=3,n=3 按FFT运算流程求X(k). 解：

3． 9推导按频率抽取FFT算法（桑德-图基算法）的表示式。

解：X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??x(n)Wn?0N?12nkNnk ??x(n)WNn?N2N?1

??x(n)Wn?0N?12n?0N?12nkNN(n?)k??x(n?)WN2

2n?0NNk/2nk)WN]WN 2Nnk)]WN,k?0,1,?,N?1 2Nnr)]WN/2 2Nnnr)]WN}WN/2 2N?12N??[x(n)?x(n?N?12n?0??[x(n)?(?1)kx(n?N?12n?0X(2r)??[x(n)?x(n?N?12n?0X(2r?1)?{?[x(n)?x(n?3.10写出9点（即3*3）时间抽选快速傅里叶的计算公式。

X(k)??x(n)W9nk

n?08??x(3r)Wr?0223rk9??x(3r?1)Wr?0k922(3r?1)k9??x(3r?2)W9(3r?2)k

r?03rk92??x(3r)(W)?W3rk9r?02?x(3r?1)(Wr?0rk3)?W22k9?x(3r?2)(Wr?0rk323rk9)

??x(3r)Wr?0rk3?Wk9?x(3r?1)Wr?02?W2k9?x(3r?2)Wr?0

?Go(k)?G1(k)W9k?G2(k)W92k

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