行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

1

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann. ?a2?a2???anan?0?a33???a1?a1an3?ann1a1?b1?1例2 计算行列式Dn?1?.

a2?an?bn解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的??1?倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的??1?倍分别加到第2,3?（n?1）行上去，可得

1a1Dn?1?0b1?0?0a2?an0?00?0??b1b2?bn.

?bn2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

2

x1?mx2?xnxn?例3 计算行列式Dn?x1?x1x2?m???x2.

?xn?m?x解： Dn?ni?mx2?xnxn?

?xi?1ni?1ni?mx2?m???m1?i??xi?1x2x2?xn?m?xnxn?n?1x2?m????xi?m?????i?1??1x2?xn?m1x2?n?0?m???xi?m???i?1??002.2.3 滚动消去法

?xnn?0?n?1????m???xi?m?.

???i?1???m当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．

12例4 计算行列式Dn?3212321?n?1n?n?2n?1?n?3n?2?n?2?.

?2?1????nn?1n?2?解：从最后一行开始每行减去上一行，有

3

123?n?1?1?1?100?1n123?n?100?1n?2?2 ??11?1?1?Dn?11?1??1?1?1???1200??1?220???100?0????111?123?n?1n?1100??2n?2110?????111????1?n?1?n?1?2n?2.

2.2.4 逐行相加减

对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．

?a100?01a1?a20?010a2?01????000?1000?an1例5 计算行列式D??a3?.

??an解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：

?a10D?0?010?a20?022n?200?03????000?n000?0n?1?a3?

??an???1???1?n?n?1?a1a2?an???1?n?n?1?a1a2?an.

2.3 降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解．

4

2.3.1 按某一行（或列）展开

x00例6 解行列式Dn??0an解：按最后一行展开，得

?1x0?0an?10?1x?0?????000?x000. ??1a1an?2?a2Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

其中Ai是子式Mi对应的代数余子式． D?M1A1?M2A2???MnAn，即

AnnCnnAnn00Bnn?Ann?Bnn，

Cnn?Ann?Bnn. Bnn?b例7 解行列式Dn?b?baaa?????a???????????.

?????解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加

5

到第二列，得

?bDn?0?0aaa?a?????0?????0??0??0

???0????aa?a?b?0?0??n?1?a???n?2??0?0?????0??0??0???0????0?0???0????n?2?b?n?1?a???n?2???????0???????n?2????n?1?ab??????.

2.4 升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．

其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．

6

011?11101?11110?11??????111?01111?10例8 解行列式D=.

解：使行列式D变成n?1阶行列式，即

111?11001?11D?010?11??????011?01011?10.

再将第一行的??1?倍加到其他各行，得：

1?1??1?110?0010?00????100?0100?0?1?1?1D=

?1?.

??1从第二列开始，每列乘以??1?加到第一列，得：

?（n?1)0D?0?001?10?0010?00????100?0100?0?1?1?

??1???1?n?1?n?1?.

2.5数学归纳法

7

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?例9 计算行列式Dn?2cos??.

?2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时，D1?cos?. 当n?2 时，D2?cos?11?2cos2??1?cos2?.

2cos?猜想，Dn?cosn?.

由上可知，当n?1，n?2时，结论成立．

假设当n?k时，结论成立．即：Dk?cosk?.现证当n?k?1时，结论也成立．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?当n?k?1时，Dk?1?2cos??.

?2cos?将Dk?1按最后一行展开，得

8

cos?Dk?1???1?k?1?k?112cos?1?012cos?1?00?000?2cos?10?01?2cos???00

???2cos??0cos????1?k?1?k10?01?02cos??0 ?0???1?2cos?Dk?Dk?1.

因为

Dk?cosk?，

Dk?1?cos?k?1???cos?k?????cosk?cos??sink?sin?， 所以

Dk?1?2cos?Dk?Dk?1

?2cos?cosk??cosk?cos??sink?sin? ?cosk?cos??sink?sin?

?cos?k?1??.

这就证明了当n?k?1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：Dn?cosn?.

2.6 递推法

技巧分析：若n阶行列式D满足关系式

9

aDn?bDn?1?cDn?2?0.

则作特征方程

ax2?bx?c?0.

n?1① 若??0，则特征方程有两个不等根，则Dn?Ax1n?1?Bx2．

② 若??0，则特征方程有重根x1?x2，则Dn??A?nB?x1n?1． 在①②中， A，B均为待定系数，可令n?1,n?2求出．

9500?0004950?0000495?000????????0000?4950000?049例10 计算行列式Dn?.

解：按第一列展开，得

Dn?9Dn?1?20Dn?2.

即

Dn?9Dn?1?20Dn?2?0．

作特征方程

x2?9x?20?0.

解得

x1?4,x2?5.

则

Dn?A?4n?1?B?5n?1.

当n?1时，9?A?B；

10

当n?2时，61?4A?5B. 解得

A??16,B?25，

所以

Dn?5n?1?4n?1.

3、行列式的几种特殊计算技巧和方法

3.1 拆行（列）法

3.1.1 概念及计算方法

拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析

1?a1?1例11 计算行列式Dn?a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an.

0?001?a3???00??1?an?1解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

11

1?a1a20?0?1?01?a2a3?0D0?0?11?a3?0n??????0?000?1?an?10?000??11a20?00?11?a2a3?00?0?11?a3?00??????000?1?an?1an000??11?an?a1a20?00

01?a2a3?00?0?11?a3?00??????.000?1?an?1an000??11?an上面第一个行列式的值为1，所以

1?a2a3?00?1a3?00Dn?1?a1?????

00?1?an?1an00??11?an?1?a1Dn?1.

这个式子在对于任何n?n?2?都成立，因此有

Dn?1?a1Dn?1

12

000?

an?an1?1?a11?a2Dn?2???1?a1?a1a2?????1?a1a2?an

n?1???1????1??aj.

i?1j?1nii3.2 构造法

3.2.1 概念及计算方法

有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析

1x1x12例12 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得

1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.

?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得

13

f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，

其中，xn?1的系数为

An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为

1?j?i?n??xi?xj?.

??x1?x2?xn?故有

1?j?i?n??xi?xj?.

Dn??x1?x2???xn?1?j?i?n??xi?xj?.

3.3 特征值法

3.3.1 概念及计算方法

设?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式

A??1?2??n.

故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式．

3.3.2 例题解析

例13 若?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为A??1?2??n，则

A可逆?A?0??1?2??n?0??i?0?i?1,2?n?.

14

即

A可逆当且仅当它的特征值全不为零．

4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法

4.1 三角形行列式

4.1.1 概念

a11a12a22a13?a1na11a22a32?an2a33??an3?ann形如

a23?a2na21a33?a3n，a31???annan1这样的行列式，

形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an2a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???000?a11a22?ann. ??ann0?a33???an3?ann4.2 “爪”字型行列式

4.2.1 概念

15

a0c1形如c2?cncn?c2c1a0a1b1b1a1b2a2?bnbn?b2a2?b1a1a0c1c2，?cn，

?ananan?ancna2a1?c2这样的行列式，形状像个c1a0?a2b2?bn，

bn?b2b1“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法

利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析

a11例14 计算行列式1?11a2a3?an1?1，其中ai?0,i?1,2,?n.

分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第

i(i?2,3,?n.)列元素乘以?角形行列式．

1后都加到第一列上，原行列式可化为三ai 16

a11解:1?11a21a3?1a1??i?2n ??an00?01ai1a21a3?1

?ann?1?a2a3?an?a??1?ai?2i????. ?4.3 “么”字型行列式

4.3.1 概念

cnana0b1，b2bnbn??a2c2?bnancn??a2c2a1anbn?b2b1c1a0a1c1b2a2??cnc1a1c2a2??cnb2b1a1c2?bna0c1ancnanbna2a1c1c1a0b1b2这b1bnc2?a2cnan?a1c2an?cn?，

??b2，b2b1b1a0a0??a2形如

c1a0bnc2a1b1，

?b2a2??，

ana0c1cnb1a1c2，，

样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法

利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．

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注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消去cn，然后再用an?1消去cn?1，依次类推． 4.3.3 例题解析

11例15 计算n?1阶行列式Dn?1??1b1?. ?bn?1bn?1????1?1?1解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得

?1??bi?1Dn?1???1?1?n?bi?1ni?1i??bn?1?bnbn

???1????1?n?n?1?2n?????1???1??bi?

i?1??nn?n?3?2n????1??bi?i?1??.

4.4 “两线”型行列式

4.4.1 概念

18

a10形如?0bnb1a2?000?00?这样的行列式叫做“两线型”行列式． anb2???00??bn?14.4.2 计算方法

对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析

a10例16 求行列式Dn??0bnb1a2?000b2?00????00?. an?bn?1解：按第一列展开，得

a2Dn?1?a1?00b2??000b10?00 ???n?1a2?bn??1??bn?1??ann?1b2???00?bn?1?a1a2?an???1?b1b2?bn.

4.5 “三对角”型行列式

4.5.1 概念

a?b10?00aba?b1?000ab?0000?000?0???0?000?1000?aba?b形如

a?bab0? 这样的行列式，叫

0?a?b做“三对角型”行列式．

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4.5.2 计算方法

对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析

a?bab000?01a?bab00?0例17 求行列式D01a?bab0?0n????????00000?a?b00000?1解：按第一列展开，得

ab000?001a?bab0?00D1a?bab?00n??a?b?Dn?1?0???a?b???

0000?a?bab0000?1a?b??a?b?Dn?1?abDn?2. 变形，得

Dn?aDn?1?b?Dn?1?aDn?2?.

由于D1?a?b,D22?a?ab?b2， 从而利用上述递推公式得

Dn?aDn?1?b?Dn?1?aDn?2??b2?D2n?2?aDn?3????bn??D2?aD1??bn. 故

20

000?.

aba?b

Dn?aDn?1?bn?aaDn?2?bn?1?bn???an?1D1?an?2b2???abn?1?bn?an?an?1b???abn?1?bn.

??4.6 Vandermonde行列式

4.6.1 概念

1a1形如a12?a1n?11a22a2?n?1a21a32a3?????1an2an这样的行列式，成为n级的范德蒙德行?n?1n?1a3?an列式．

4.6.2 计算方法

通过数学归纳法证明，可得

1a1a12?a1n?11a22a2?n?1a21a32a3?????1an2?an?1?j?i?1??ai?aj?.

n?1n?1a3?an4.6.3 例题解析

1x1x12例18 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德

21

行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得

1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.

?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得

f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn， 其中，xn?1的系数为

An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为

1?j?i?n??xi?xj?.

??x1?x2?xn?故有

1?j?i?n??xi?xj?,

Dn??x1?x2???xn?

1?j?i?n??xi?xj?.

5、行列式的计算方法的综合运用

有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合

22

多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．

5.1 降阶法和递推法

210?00121?00012?00??????000?21000?12例19 计算行列式Dn?.

分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n?1阶的形式．

解：将行列式按第一行展开，得Dn?2Dn?1?Dn?2. 即

Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2.

∴Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2???D2?D1?3?2?1. ∴Dn?1?Dn?1???1?1????1?Dn??n?1??

??n?1??2?n?1.

5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式

例20 计算行列式

11?sin?1D?sin?1?sin2?1sin2?1?sin3?111?sin?2sin?2?sin?22sin2?2?sin3?211?sin?3sin?3?sin?23sin2?3?sin3?311?sin?4sin?4?sin?24sin2?4?sin3?4解：从第一行开始，依次用上一行的??1?倍加到下一行，进行逐行相

23

加，得

1D?sin?1sin2?1sin3?11sin?2sin2?2sin3?21sin?3sin2?3sin3?31sin?4.

sin2?4sin3?4再由范德蒙德行列式，得

1D?sin?1sin2?1sin3?11sin?2sin2?2sin3?21sin?3sin2?3sin3?31sin?4sin2?4sin3?4?1?j?i?4??sin?i?sin?j?.

5.3 构造法和套用范德蒙德行列式

1x1x12例21 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得

1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n

1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn24

?n?2x2n?1x2nx2?.

n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得

f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，

其中，xn?1的系数为

An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为

1?j?i?n??xi?xj?.

??x1?x2?xn?故有

1?j?i?n??xi?xj?.

Dn??x1?x2???xn?

1?j?i?n??xi?xj?.

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