1-1母体和子样

数理统计是以概率论为理论

基础的，从试验数据出发研究随机现象规律性的一门应用性很强的数学学科。内容包括：

1.如何合理的搜集数据——抽样方法、试验设计；

2.如何根据收集到的局部数据较准确地分析推断总体情况——统计推断（本课重点）。

第一章 抽样和抽样分布 §1.母体和子样

1.1 母体及其分布

（1）母体与个体

母体（亦称总体）：研究对象的某项数量指标的各可能取值的全体（各可能取值有一定比率）。个体：总体中的每一个取值。

见P1例1、例2、例3。

（2）母体的分布

母体与随机变量：母体对应一个随机变量X，不加区别，记为母体X。

如例1中的母体对应着具有如下分布的随机变量X:

X 1 2 0 p 0.721 0.213 0.066 母体的分布与数字特征：即指母体所对应的随机变量X的分布（分布函数、分布律、分布密度等）与数字特征（期望、方差、标准差、矩）

1.2 子样（样本）

（1）子样与抽样

子样（样本）：从母体中抽取一部分个体（如n个,以推断母体的有关性质），称为子样（样本）。子样中个体的个数n称为子样容量。

如例1的母体中抽取一个子样（0,1,1,2,0,2,0,0,1,0）,子样容量为10.实际上，这一子样是10维随机变量(X1,X2,?,X10)的一组观察值。

一般，容量为n的子样对应着一个n维随机变量(X1,X2,?,Xn)，称为“子样(X1,X2,?,Xn)”，其观察值称为“子样值

(x1,x2,?,xn)”。

抽样：取得子样的过程称为抽样；子样中每个个体称为样品。

（2）随机抽样法

随机抽样法分为重复抽样和不重复抽样两类。在重复抽样中， X1,X2,?,Xn相互独立，且均与母体有相同分布。在不重复抽样中，无限母体情形下仍可认

为X1,X2,?,Xn相互独立，且均与母体有相同分布；有限母体情形下若可这样认为。

n?0.1仍N（3）简单随机子样

若子样满足：①独立性：X1,X2,?,Xn相互独立；②代表性：X1,X2,?,Xn均与母体 X同分布，则称子样(X1,X2,?,Xn)为简单随机子样。

抽样前，子样是随机变量(X1,X2,?,Xn)；抽样后，得到一组观察值即子样值(x1,x2,?,xn)。

（4）母体分布与子样分布

若母体X有分布函数F(x) ,则其子

样(X,X,?,X)有联合分布函数Fn(x1 ,x2 ,?,xn) =

12nP{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}

=

P{X1?x1}P{X2?x2}?P{Xn?xn}

=

P{X?x1}P{X?x2}?P{X?xn}

=F(x1)F(x2)?F(xn)

??F(xi)

i?1n若离散母体X有分布律P(X?x)，则其子样(X1,X2,?,Xn)有联合分布律

Pn(x1 ,x2 ,?,xn) =

P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn} =

P{X1?x1}P{X2?x2}?P{Xn?xn}

=

P{X?x1}P{X?x2}?P{X?xn}

=P(x1)P(x2)?P(xn)

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