第9章 动能定理

第9章 动能定理

9-1 为什么切向力作功，法向力不作功？为什么作用在瞬心上的力不作功？

9-2 如图所示，质点受弹簧拉力运动。设弹簧自然长度l0?20cm，系数为k = 20 N/m。当弹簧被拉长到l1?26cm时放手，问弹簧每缩短2 cm，弹簧所作的功是否相同？

题9-2图

题9-3图

9-3一质点M在粗糙的水平圆槽内滑动如图所示。如果该质点获得的初速度v0恰能使它在圆槽内滑动一周，则摩擦力的功等于零。这种说法对吗？为什么？

9-4 自A点以相同大小但倾角不同的初速度v0抛出物体（视为质点），如图10-25所示。不计空气阻力，当这一物体落到同一水平面上时，它的速度大小是否相等？为什么？

题9-4图

题9-5图

9-5 如图所示两轮的质量相同，轮A的质量均匀分布，轮B的质心C偏离几何中心O。设两轮以相同的角速度绕中心O转动，问它们的动能是否相同？

9-6 一纯滚圆轮重P，半径为R和r，拉力FT与水平成?角，轮与支承水平面间的静摩擦系数为f，滚动摩擦系数为?；求轮心C移动s过程中力的全功。

r?s?W?FTs?cos??????P?FTsin??R?R?答：

。

题9-6图

9-7 计算下列情况下各均质物体的动能：（1）重为P、长为l的直杆以角速度? 绕O轴转动；（2）重为P、半径为r的圆盘以角速度? 绕O轴转动；（3）重为P、半径为r的圆轮在水平面上作纯滚动，质心C的速度为v；（4）重为P、长为l的杆以角速度? 绕球铰O转动，杆与铅垂线的夹角为?（常数）。

T?P6gl?22sin2?答：（4）。

题9-7图

9-8 滑轮重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为?，一绳绕在滑轮上，绳的另一端系一重为P的物体A，滑轮上作用一不变转矩M，使系统由静止而运动；不计绳的质量，求重物上升距离为s时的速度及加速度。

v?2gsM/R?PP?Q?R22,a?M/R?PP?Q?R22gg答：。

题9-8图

题9-9图

9-9 弹簧原长l0=10 cm，弹簧刚度系数k = 4.9 kN/m，一端固定在O点，此点在半径为R=10 cm的圆周上如图示。当弹簧的另一端由B点沿圆弧运动至A点时，弹性力所作的功

是多少？已知AC⊥BC，OA为直径。

答：WAB??20.3J。

9-10 质量为2 kg的物块A在弹簧上处于静止，如图示。弹簧刚度系数为k=400 N/m。现将质量为4 kg的物块B放置在物块A上，刚接触就释放它。求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。

答：Fmax?k(???0)?(2mB?mA)g?98N。

题9-10图

题9-11图

9-11 链条长l、重P，展开放在光滑桌面上，如图示。开始时链条静止，并有长度为a的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。

答：v?g(l22?a)/l。

9-12 图示滑轮组中，定滑轮O1半求重物M1由静止下降距离h时的速度。

v?4gh(P?2Q?W2)2P?8Q?4W1?3W2r1，重W1；动滑轮O2，半径为r2，重W2。

两轮均视为均质圆盘，悬挂重物M1重P，M2重Q。绳和滑轮间无滑动，并设P?2Q?W2，

答：

。

题9-12图

题9-13图

9-13 周转齿轮传动机构置于水平面内，如图示。已知动齿轮半径为r，重P，可看作均质圆盘；曲柄OA重Q，可看作均质杆；定齿轮半径为R。在曲柄上作 用一常力偶M，力偶在机构平面内，机构由静止开始运动。求曲柄转过?角时的角速度和角加速度。

??2?R?r3gM9P?2Q??6gM答：；

?R?r?2?9P?2Q?。

9-14 原长h0 = 400 mm、弹簧刚度系数k = 2 N/mm、不计质量的弹簧一端固定于O点，另一端与质量m=10 kg的均质圆盘的中心A相联结。开始时OA在水平位置，长h1 = 300 mm，速度为零。求圆盘在铅直平面内沿曲线轨道作纯滚动，OA到铅直位置时盘心的速度，此时OA= h2 = 350 mm。

答：v=2.36 m/s。

题9-14图

题9-15图

9-15 连杆AB重40 N，长l=60 cm， 可视为均质细杆；圆盘重60 N，连杆在图示位置静止开始释放，A端沿光滑杆滑下。求：（1）当A端碰着弹簧时（AB处于水平位置）连杆的角速度?；（2）弹簧最大变形量?，设弹簧刚度系数k=20 N/cm（圆盘只滚不滑）。

答：?=4.95 rad/s；? =8.8 cm。

9-16 两均质细杆AB、BO长均为l，质量为m，在B端铰接，OB杆一端O为铰链支座，AB杆A端为一小滚轮。在AB上作用一不变力偶矩M，并在图示位置静止释放，系统在铅直平面内运动，试求A碰到支座O时，A端的速度。

vA??M??3??gl(1?cos?)??m?。

答：

题9-16图

题9-17图

9-17 轴Ⅰ和Ⅱ连带安装在其上的飞轮和齿轮的转动惯量分别为I1 = 490000 kg?cm，I2

= 392000 kg?cm。齿轮的转速比

答：2.34r。

2

2

r1?2?23。发动机传给轴Ⅰ的力矩M = 490N?m，使此系统由

静止而转动。如摩擦不计，试求轴Ⅱ经过多少转后，作角速度n2=120 r/min的转动。

9-18 均质杆OA长l=3.27 m，杆上端O套在某轴上，此杆可在铅垂平面内绕此轴转动。答：vA = 9.80 m/s。

最初，杆处在稳定平衡位置，今欲使此杆转1/4转，问应给予杆的另一端A点多大的速度？

题9-18图

题9-19图

9-19 重物A重P，挂在一根无重不可伸长的绳子上，绳子绕过固定滑轮D，并绕在鼓轮B上。由于重物下降，带动轮C沿水平轨道滚动而不滑动。鼓轮的半径为r，轮C的半径为R，两者固结在一起，总重量为Q，对于水平轴O的回转半径等于?。求重物A的加速度。轮D的质量不计。

a?P(R?r)gQ(?22答：

?R)?P(R?r)22。

9-20 在绞车主动轴上，作用一不变力偶矩M以提升一重为P的物体。已知：主动轴及从动轴连同各轴上的齿轮、鼓轮等部件对轴的转动惯量分别为I1及I2；传速比?1∶?2 = i；吊索绕在半径为R的鼓轮上。不计轴承摩擦及吊索质量，求重物A的加速度。

a?(Mi?PR)gR(I1i2答：

?I2)g?PR2。

9-21 均质圆盘质量为m1，半径为r，可绕定轴O转动，重物A的质量为m2。弹簧水平，弹簧刚度系数为k，图示OB铅直时系统处于平衡位置，求圆盘微振动的微分方程。

d?2答：

dt2?ar2k2m2?m1??0。

题9-20图

题9-21图

9-22 矿用水泵的电机功率N=25 kW，机械效率?=0.6，井深H=150 m；求每小时抽上的水量。

答：36.7 m3/h。

9-23 为了把5000 m3的水提升3 m，安装一具有2 kW功率的抽水机，如抽水机的效率为0.8，试求抽水机完成此项工作所需的时间。

答：25 h 31 min 15 s。

9-24 为了测定发动机的功率，在它的转轮上套一具有木块的软带，软带右边一段与弹簧秤相连，左边一段挂一重物。设发动机转速n=1200 r/min, 弹簧秤量出拉力为40 N，重物质量为1 kg，转轮直径为1 m，试求发动机的功率。

答：1885 W。

题9-24图

题9-25图

9-25 测量机器功率用的测功器由胶带ACDB和杠杆BH组成，胶带的两边AC和BD是铅垂的，并套住受测试机器的带轮E的下部，而杠杆则以刀口搁在支点O上。藉升高或降低支点O可以变更胶带的张力，同时变更轮和胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量m=3 kg的重锤P，如力臂l = 50 cm时杠杆BH可处于水平的平衡位置，机器带轮的转速n=240 rpm，求机器的功率。

答：N=0.369 kW。

9-26 列车质量为m，其功率为常数N，如列车所受阻力F为常数，则时间与速度的关系为

t?mNF2

如阻力F与速度v成正比，则

试证明之。

lnNN?Fv?mvF

t?mv2FlnNN?Fv

9-22 矿用水泵的电机功率N=25 kW，机械效率?=0.6，井深H=150 m；求每小时抽上的水量。

答：36.7 m3/h。

9-23 为了把5000 m3的水提升3 m，安装一具有2 kW功率的抽水机，如抽水机的效率为0.8，试求抽水机完成此项工作所需的时间。

答：25 h 31 min 15 s。

9-24 为了测定发动机的功率，在它的转轮上套一具有木块的软带，软带右边一段与弹簧秤相连，左边一段挂一重物。设发动机转速n=1200 r/min, 弹簧秤量出拉力为40 N，重物质量为1 kg，转轮直径为1 m，试求发动机的功率。

答：1885 W。

题9-24图

题9-25图

9-25 测量机器功率用的测功器由胶带ACDB和杠杆BH组成，胶带的两边AC和BD是铅垂的，并套住受测试机器的带轮E的下部，而杠杆则以刀口搁在支点O上。藉升高或降低支点O可以变更胶带的张力，同时变更轮和胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量m=3 kg的重锤P，如力臂l = 50 cm时杠杆BH可处于水平的平衡位置，机器带轮的转速n=240 rpm，求机器的功率。

答：N=0.369 kW。

9-26 列车质量为m，其功率为常数N，如列车所受阻力F为常数，则时间与速度的关系为

t?mNF2

如阻力F与速度v成正比，则

试证明之。

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