2杆件的拉伸与压缩

第2章 杆件的拉伸与压缩

杆件的拉伸与压缩是杆件的基本变形形式之一,也是最简单的一种变形形式。本章主要通过对于拉伸与压缩的研究,我们将对杆件变形与内力的关系以及材料基本力学性质的研究建立初步的概念。因此,对拉伸与压缩的研究具有重要的意义。本章将建立拉压杆内力的概念和应力、应变的概念,讨论截面法在求解拉压杆内力中的具体应用,研究应变与应力的关系及材料拉伸压缩时的力学性能,建立强度计算的基本概念,并对超静定问题的求解作初步的了解。

§2.1引言

在实际工程中,我们经常会遇到承受轴向拉伸和轴向压缩的等直杆件。例如组成起重机塔架的杆件(图 2.l),房屋的屋盖珩架中的杆件(图 2.2)等。

如图 2.2(a)所示的房屋的屋盖椅架,是由很多等直杆件绞接而成的。现取出拉杆和压杆来进行分析。拉杆的计算简图如图 2.2(c),它是一根受拉的等直杆,由节点处传来的合力 P, 作用在杆件的两端,与杆的轴线重合,并且大小相等方向相反,它们使杆件产生轴向的伸长变形,我们称之为轴向拉伸;作用在压杆图 2.2(b)两端的力 P使杆产生轴向压缩变形,称为轴向压缩。

图 2.l 图 2.2 (a) 图2.2(c)(b) 拉杆和压杆 通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：

受力特点: 作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。

变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩。

§2.2 用截面法计算拉(压)杆的内力

一、拉(压)杆内力的概念

内力的概念:杆件在受到轴向拉力作用时,会产生变形而伸长,同时,在杆件内任何截面处,截面两侧相连部分之间产生相互作用力,它的存在保证了截面两侧部分不被分开,这种作用力

就是杆件的拉伸内力。类似地,杆件在受到轴向压力作用时,杆件内部会产生压缩内力。

二、用截面法求轴力

根据 1.5 节所介绍计算杆件内力的方法即截面法的原理和一般步骤,现在研究拉(压)杆的内力计算方法。

图 2.3(a)所示拉杆,两端各作用一轴向外力P,内力的计算步骤如下:

(1)在该杆任一横截面 m-m 处将其假想地切开,取其左半部分(或右半部分)为脱离体。 （2)对所取脱离体作受力分析,画出受力图。该脱离体除原来受到的外力 P 之外,在横截面 m-m 处还受到右半部分对它的作用力。我们已经指出,这种作用力本来是分布在整个截面上的连续分布力,在计算内力时,只考虑它们的合力。设其合力为 N,并设其方向为背离截面方向,即设其为拉力。则脱离体的受力分析如 图 2.3(b )的所示。

PPAmmNP(a)

xP(b)

N'B(c)

图 2.3

(3) 对所取脱离体列出平衡方程 由平衡条件得 由于

（拉力），则

，

，如图 2.3(b)所示。对B段也有:，N'=P，N'=N 如

图 2.3(c) 所示

这样,即解得截面 m-m 处的内力。上述方法也同样适用于如图 2.4 所示的受压杆的内力计算,此时将求得 N=-P,负号表明N的实际方向与所设方向相反。

显然,为了保证脱离体的平衡,N的作用线必然与P的作用线重合,也就是说,内力N是沿杆件轴线作用的。因此我们把轴向拉 (压)杆的内力称为轴力。

轴力的符号规定:规定拉力为正的轴力,而压力则为负的轴力。在用截面法计算轴力时,为

了避免符号上的混乱,一般总是设轴力为拉力,如果计算结果为正值,表明实际轴力为拉力,与所设相同; 如计算结果为负值,则表明实际轴力为压力。

三、轴力图

1、轴力图

轴向拉 (压)杆上各部分的轴力将依所受荷载而变化 , 可以用图形来直观地表明杆件上各截面处轴力的变化情况,这种图形叫做 “ 轴力图 ”。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小，以下通过一个例子来说明轴力图的作法。

PmmmP(a)

PNAm(b)

图 2.4

2、举例

图 2.5（a）所示杆承受三个轴向外力。由于在截面 B 处作用有外力,当在B截面以左或以右用截面截开杆件,截取的脱离体受力情况是不同的。也就是说,B截面以左和以右的杆段轴力是不同的,因而需要分段研究。

用截面法先计算AB段的轴力。在 AB段的任一横截面 1-1 处将杆切开,并选左段脱离体为研究对象,其受力情况如图 2.5(b) 所示。由平衡方程

A2P1B 2 2 CP?a?12P2P11N1 ?b?2 2 2 N2P?c?N2PPPN22 （d)

x（e)

图 2.5

由∑X?0，N1-2P?0得, AB 段的轴力为 N1=2P.

对于 BC 段,仍用截面法,在任一横截面2-2 处将其切开,仍选左段研究其平衡,如图 2.5(c)所示,有

∑X?0,N2?P-2P?0 , N2?P.

实际上往往不需要先列平衡方程再求解，可直接求BC段上的轴力,N2?2P-P?P.若取2-2截面以右为脱离体,仍可得N2?P,可见整个杆上各截面处轴力不同.

结论:杆任一横截面上的轴力值等于该截面任一侧的杆上所有轴向外力的代数和,与内力(方向假定)方向相反的外力为正,相同的外力为负,即

Ni?∑Pii绘制轴力图: 为表达截面位置选x轴为横坐标，相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出轴力图,如图 2.5(e),由图可知 AB 段的轴力值最大，Nmax=2P.

[例2.1] 绘制下图阶梯杆的轴力.

[解] 截面顺序从右往左排列,取截面以右的各段为隔离体.

34P2P13P3211N2P 2P N113Px2P 3P2P 图 2.6

3P

N1?-3PN2?P?3P?-2PN3?4P?P-3P?2PNmax?3P(在第一段)说明: 绘轴力图时,中间直线和坐标箭头可以去掉.

四、应力的概念

前面已指出,轴力是截面上分布内力的合力。为了研究拉(压)杆横截面、斜截面上内力分布规律,需要引进应力的概念。

点的应力的概念：在外力作用下,杆件内力在截面上某点分布内力的集度称为该点的应力。 平均应力：如图2.7所示,在截面 m-m 上任取一点（K）的周围取一微小面积?A, 设在?A上的分布内力的合力为?P, 则?P 与?A的比值

?P代表?A内的分布内力的平均集度,称?A之为?A内的平均应力。当?A趋向于零时这个平均应力的极值就是 K 处的应力p，即

p?lim?A?0?P?A?dPdA (2.1)

图2.7

p是一个矢量，方向是?P的极限方向；p的单位:P（N?m）,kP,MP.

?2aaa五、横截面上的应力

要确定拉(压)杆横截面上的内力分布规律,即确定横截面上各点的应力,仅靠平衡条件是不能解决的。 杆件在外力作用下不仅产生内力,而且引起变形,内力和变形之间总是相互关联的。要研究应力分布问题 , 除应利用平衡条件外,还应考虑杆件的变形,并利用内力和变形间的关系建立必要的补充条件。

现通过试验观察拉(压)杆的变形情况:图2.8(a) 为一等截面直杆,试验前,在杆件表面等问距地画上与杆轴平行的纵线以及与杆轴垂直的横线, 然后,在杆件两端施加轴向外力P。由图2.8(b)可见,在施加外力之后,各纵、横线仍为直线,并分别平行和垂直于杆轴,只是横线间的距离增加,所有的原纵横线形成的正方形网格均变成大小相同的长方形。

1、 平面假设

根据上述现象,对轴向拉(压)杆内部的变形作如下假设: 变形后,横截面仍保持为平面, 并且仍垂直于杆轴,只是各横截面沿杆轴作相对平移,此假设称为平面假设。

如果将杆件设想成由元数根纵向“ 纤维 ”所组成,则由平面假设可知,任意两横截面间的所有纤维的变形均相同。由于已经假定材料是均匀的,各纵向纤维变形相同,意味着受力也相同,由此可见 ,横截面上各点处的应力相等,其方向均垂直于横截面[图2.8(c)]。垂直于横截面的应力称为正应力或法向应力,用σ表示。若拉(压)杆横截面积为 A, 轴力为 N, 则正应力为

σ?N (2.2) A由公式(2.2)可知,正应力的符号随轴力的符号而定， 即拉应力为正 , 压应力为负。

PP(a)

PP(b)

P?(c)

图 2.8

2、由静力平衡条件确定由于

的大小

，所以积分得

则

上式中：正应力

-横截面上的正应力，

-横截面上的轴力，

-横截面面积。

的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。

2

[例2.2] 求右图中应力的最大值，设杆件的截面积为 A=400mm。

40kN10kN55kN25kN20kN 50kN10kN20kN内力图5kN[解]

由公式：σmax?Nmax A又由内力图可知，Nmax?50kN

所以

σmax 50?103?4?102?106?125MPa?125?106Pa

六、斜截面上的应力

1. 斜截面上的总应力

p?

现在研究杆的任意斜截面上的应力。如图 2.9(a) 所示, 用一个与横截面成α角的斜截面走假想地将杆截分为二 , 并研究左段杆图 2.9(b)的平衡。于是得到此斜截面上的内力Pa 为:

kPααⅡⅠⅠAαPPασα(a)

kPp?(b)

αp?(c)

τα

图 2.9

Pα?P?pαAα

p?为k-k斜截面上的总应力，由平面假设(拉伸时斜截面p?平行移动)知,斜截面上的

应力也是均匀分布的,故

pα?Pα Aα而 所以

，

pα?σ0?PαP?cosα?σ0cosα AαAP 为拉杆横截面上的正应力。 A和剪应力τα

2、斜截面上的正应力

将斜截面上全应力分解成正应力和剪应力，有

?1?σα?pαcosα?σ0cos2α?σ0?1?cos2α??2??1τ?psinα?σcosαsinα?σ0sin2α?αα02?3、

正负号规定

（2.3）

(2.4)-自x轴逆时针转向斜截面外法线n，为正；反之为负； -拉应力为正，压应力为负； -取保留截面内任一点为矩心，当4、最大应力和最小应力 1）当

时，横截面，?σα?max?σ0?对矩心顺时针转动时为正，反之为负

P，A

1?σ??α2σ0?σ1?0 2）当α??45时，斜截面?(τα)max?τ45??σ0sin2?45??0

22?1?（τ）?τ?-σ0.-45??αmin2? 3）当

时，纵向截面

，

。

结论: 对于轴向拉（压）杆，?σα?max?σ0发生在横截面上；??α?max?σ0/2发生在沿顺时针转45°角的斜截面上。同样大小的剪应力也发生在

0

的斜面上。对于轴向受拉杆,

可能沿横截面被拉断破坏,也可能沿45的斜截面被剪切而破坏。

5、一点处的应力状态

因σα,τα与α有关,α不同,对应的是不同方位的截面上的应力,过一点所作的各截面上的全部应力即称为该点的应力状态。对轴向拉压杆 ， σα、τα可由σ0 (横截面上的正应力)完全确定,称为单向应力状态。

四、应力集中的概念

图2.10 图2.11

进一步的研究表明,对于轴向拉压的杆件,只有在离力的作用点较远处截面上的应力才是均匀分布的。而且,在实际工程中 ,不少杆件截面尺寸会有突然的改变(如连接杆件上有哪钉

孔的地方, 机械零件上有小缺 口、小孔、螺纹等的地方) 。

由于截面的突然改变,使得这些截面上的应力已不再是均匀分布,而是在孔口或缺口附近局部区域处急剧地增大,但稍稍离开这个区域后应力又趋于平均,如图2.10及图 2.11 所示。

应力集中的概念：由于截面尺寸突然改变使得在较小区域内出现应力急剧增大的现象称为应力集中。缺口处截面上的最大应力σ

max

称峰值应力,缺口处截面上平均应力为σ0。常温静

载下,常用 “理论应力集中系数α”来衡量杆件应力集中的程度。

应力集中系数: α?σmax,α?1. σ0§2.3 强度条件与截面设计的基本概念

本节将研究拉压杆的强度计算以及依据强度条件进行截面设计的方法。

一、 极限应力

n由前面的试验可知:当受拉杆横截面应力达到强度极限?b时,会引起断裂;当应力达到屈

?服应力?s时,将出现显著的塑性变形。显然,杆件工作时发生断裂或显著的塑性变形都是不允许的。因此,为了杆件能够正常地和安全地工作,杆件内的最大应力必须有一个限制,具体来说就是不能超过材料的极限应力。对于塑性材料来说,极限应力一般是指材料的屈服应力;对于脆性材料来说,极限应力是指材料的强度极限。材料断裂(或处于危险状态)横截面上的应力称为极限应力,用 ?n表示，工作应力不能超过极限应力。即

?max??n （2.16）

二、容许应力

实际上,满足上述条件并不一定能够保证杆件工作的安全性。这是因为,作用在杆件上的荷载常常估计不准确;应力的计算通常都带有一定的近似性;材料也并不像所假设的那样绝对均

匀等等。所有这些因素都有可能使杆件的实际工作条件比理想情况偏于不安全。除此之外,为提高安全度,杆件还应具有必要的强度储备,特别是那些因损坏会带来严重后果的杆件,更应有足够大的强度储备。因此,应将保证杆件安全工作的应力高限取为

?????n (2.17)

n式中: ???为材料在拉伸(压缩)许用应力,n称为安全系数(n>1).

对于低碳钢，拉伸的平均屈服极限为280MPa?240MPa, 材料出厂时97%的若能达到

240MPa ,就认为合格,容许应力为????280Mpa ，查表2.3知 低碳钢????170Mpa。

三、强度条件

对等截面杆 ?max?NmaxA???? （2.18）

条件:容许拉应力=容许压应力。

若截面大小不相等及??L??[?Y]，应同时满足:

??L?max???Y?maxNmax???L?A (2.19)

Nmax????Y?A四、应用上述条件可以解决的问题

1、已知外力(算出内力)和材料种类（ ???已知）,设计截面面积；

A?2.强度较核

Nmax???

Nmax???? A3.确定容许荷载；

已知A和???(杆材)，确定杆能承受的最大轴力，即：

?Nmax??A???

[例2.3] 杆系结构如下图所示，已知杆AB、AC材料相同， 别为

mm2，

mm2，试确

MPa，横截面积分

yB定此结构许可载荷[P]。

【解】（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为对于节点A，由

，AC杆轴力为

得

（a）

由

得

（b）

由强度条件计算各杆容许轴力

。

C（1）30?45?（2）AN1 30?45?N2 P P kN （c） kN （d） ，

代入（2）式，解得

由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将 显然是错误的。

正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系

（e）

（2）根据各杆各自的强度条件，即由（c）、（e）有

kN

，

（f）

计算所对应的载荷的载荷

，

kN

kN （g）

由（d）、（f）有

kN

kN （h）

.

要保证AB、AC杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即

上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。

§2.4虎克定律

一、拉(压)杆的变形与应变

拉(压)杆变形的主要现象是纵向伸长(缩短)。此外,由实验得知,在杆件沿纵向伸长 (缩短)时,其横向尺寸还会有缩小(增大)。下面研究如何计算这些变形。先引入线应变的概念.

Pbb1Pl1图2.12

。在轴向力

作用

l假设杆是受拉杆。如图2.12，设等直杆的原长为，横截面面积为下，长度由变为。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为

设杆横向变形为

一点轴向线应变即为杆件的伸长

,由于杆内各点轴向应力除以原长,即

与轴向应变为均匀分布，所以

（2.6）

横向线应变可定义为

实验还表明,在弹性范围内

(2.7)

μ?ε? ε为反映材料横向变形能力的材料弹性

为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于

常数，为正值，所以，一般冠以负号，称为泊松比或横向变形系数,故有

二、虎克定律

由实验知, 拉(压)杆受力在弹性限度内,杆的横截面正应力与纵向线应变成正比,即

?∝?

引入比例常数E ,则有

??其纵向伸长 Δl? 因N?内力??P,

?E (2.8)

Nl (2.9) EAΔl?EA称为抗拉(压)刚度.上式即为胡克定律.

Pl EA对于变截面杆,其微段的伸长为

积分得

对于直杆,轴力随x变化,d(Δl)?1lN（x）dxN（x）dx , Δl??0EAEAN（x）

dx

P

当拉（压）杆有两个以上的外力作用时需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量ΔL?NiLi. ∑i?EA?i§2.5材料在拉伸或压缩时的力学性质

一、 材料的拉伸与压缩试验

材料的力学性能：也称机械性能。通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算构件强度、刚度的依据。因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。 此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。

试件和设备：

标准试件：圆截面试件，如图2-16：标距 与直径 的比例分为

l0?10d(常用)或l0?5d

的比例分为，l0?11.3A或l0?5.6A，

板试件（矩形截面）：标距 与横截面面积

试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。详细介绍见材料力学试验部分。国家标准《金属拉伸试验方法》（如GB228-87）详细规定了实验方法和各项要求。

dh

图2.16

压缩试块为短圆柱：

l?1~3d

二、低碳钢在拉伸时的力学性能

根据材料拉伸试验中所得的 P-?l关系可以得到拉伸图如下图一所示。如将纵坐标P除以试件横截面的原面积A,横坐标?l除以试件试验段原长l, 所得到的曲线不再与杆件的长度和横截面面积有关,只反映材料的力学性能。此曲线叫材料的应力 -应变曲线或σ -ε曲线。 低碳钢是工程中广泛应用的金属材料 , 其应力 -应变曲线也具有典型意义。

1、 拉伸图（P-）

曲

如图2.17a所示。弹性阶段,屈服（流动）阶段,强化阶段和局部变形阶段.由于P-线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，可采用应力应变曲线，即替P-2、

曲线。

曲线图

曲线来代

如图2.17b所示，其各特征点的含义为： 1) 弹性阶段

应力-应变曲线的第一阶段。 OA 为一直线,此阶段内应力和应变成正比,即。这一阶段的最高点A所对应的应力称为材料的比例极限巧。比例极限是使应力与应变保持正比关系的最大应力值。Q235 钢的比例极限?p?200MPa 。在这一阶段内,试件的变形是完全弹性的,即将试件上的荷载撤去后,变形将完全消失。

图2.17

2) 屈服阶段

达到比例极限后继续加载,应力和应变之间不再保持正比关系。当到达 B点时,图线出现水平(有微小波动)线段。在此阶段内,应力几乎不变,但变形却急剧增长,这种现象称为材料的屈服或流动。屈服时的应力称为材料的屈服应力或屈服极限,用?s表示。 Q235 钢的屈服应力?s?240MPa 。当材料屈服时,在试件表面将出现与试件轴线成45。的线纹(图 2.18), 此

0

线纹称为滑移线,它们是材料沿最大切应力面发生滑移而出现的。

图 2.18滑移线

3) 强化阶段

经过屈服阶段之后,材料又增强了抵抗变形的能力。这时,要使材料继续变形需要增大拉力,这种现象称为强化。强化阶段的最高点 D 所对应的应力称为材料的强度极限,用σb 表示。强度极限是材料所能承受的最大应力。Q235 钢的强度极限σb ≈40OMPa。

4) 局部变形阶段

经过强化阶段之后,在试件的某一局部范围内,横截面显著缩小(图2.19示), 产生所谓颈缩现象。颈缩现象出现后,继续拉伸所需外力减少,最后试件断裂。

图2.19

综上所述,在整个拉伸过程中,材料经历了弹性、屈服、强化和局部变形四个阶段,并存在三个特征点,其相应的应力依次为比例极限、屈服极限和强度极限。对低碳钢一类材料来说,屈服极限和强度极限是衡量其强度的主要指标。衡量材料塑性变形能力的另一指标是截面收缩率ψ。设试件横截面的原面积为A, 断裂后断口的横截面积为A1, 截面收缩率为。

3、延伸率和截面收缩率

为度量材料塑性变形的能力，定义延伸率为

???l0?1000 （2.14）

0l此处为试件标线间的标距，?l0为试验段的残余变形。

定义截面收缩率为 ??A?A1?1000 （2.15） 0A工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：%- 塑性材料；%- 脆性材料。

结构钢和硬铝等属于塑性材料;铸铁和高碳工具钢等则属于脆性材料。

延伸率是衡量材料塑性变形程度的重要标志。 Q235钢的延伸率δ约为 20%~30%。延伸率大的材料在轧制和冷压加工时不易断裂,并能抵抗较大的冲击荷载。

4、卸载规律及冷作硬化

试验表明,如果在弹性阶段内停止加载,并将荷载逐渐减小至零,即卸去荷载,则可以看到,在卸载过程中应力和应变之间仍保持正比关系,仍沿直线AO回到O点图 2.20(a),变形完全消失。卸载后可以完全消失的变形称为弹性变形。这种只产生弹性变形的阶段,在应力-应变曲线上可延续到比稍高一些的M点(在AM 段,应力与应变不再保持正比关系,但在外力撤除后变形仍可完全消除),与 M 点相应的应力称为材料的弹性极限,用σe表示。对于钢和其它金属材料,其弹性极限和比例极限相差不大。所以弹性阶段内的正比阶段(OA段)又常称为线性弹性阶段或线弹性阶段。

图 2.20

在超过弹性极限之后,例如在强化阶段某一点 C卸载,则卸载时的应力-应变曲线如图 2.20(a) 中 CO1 所示, CO1几乎平行于 AO 。线段OO1代表卸载到应力等于零时的应变。 强化阶段卸载和再加载卸载后遗留的变形称为塑性变形或残余变形。对 C 点来说, OO1和

OO2分别代表塑性应变和弹性应变,而OO2代表总应变。

如果卸载后立即重新加载,则应力、应变关系基本上沿卸载时的直线。 O1C 变化,过C 点

后,仍沿曲线 CDE 变化,并至E 点断裂。这样,如果将卸载后已有塑性变形的试件当作一新试

σ

ε

σ 图 2.22

锰钢 σ

强铝 退火球墨铸铁 ε

图2.21

ε

图 2.23

件立即进行拉伸试验,其应力 -应变曲线将如图 2.20(b)所示,即仍沿 OCDE 变化。与未经卸载的同种材料应力 -应变曲线[图 2.20(a)]相比较,其比例极限得到提高(?p??p),而断裂时残余变形则减少,这种现象称为冷作硬化。工程中常用冷作硬化来提高杆件在弹性范围内所能承受的最大荷载。

'三、其它材料在拉伸时的力学性能

锰钢和强铝等材料的应力-应变曲线如图 2.21 所示。可以看出,它们与 Q235 钢的应力-应变曲线相比不存在线弹性阶段,而且断裂时材料没有明显的屈服阶段,有的材料不存在颈缩现象。

对于没有明显屈服阶段的塑性材料,工程中通常以产生 0.2% 塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用σ

0。2

表示。如图 2.22 所示,在ε轴上取OC=0.2%, 自C点作直线平行于 OA,

0。2

并与应力-应变曲线相交D点,与D点对应的应力即为名义屈服应力σ。

至于脆性材料,例如铸铁等,从受拉到断裂,变形始终很小,既无屈服阶段,也无颈缩现象。图2.23为铸铁拉伸时的应力-应变曲线,断裂时的应变只不过0.4%-0.5%,断口则垂直于试件轴线。铸铁应力-应变曲线的另一特点是:当应力不大时,应力和应变间即开始不成正比。但是在实际使用的应力范围内,应力-应变曲线的曲率很小,因此,在实际计算时常把这一部分应力-应变曲线近似地以直线(图 2.23中虚线)代替。衡量脆性材料强度的唯一指标是材料拉伸时

的强度极限，它是试件被拉断时的真正应力。

四、材料在压缩时的力学性能

低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图 2.24所示。可以看出,在屈服阶段以前,压缩曲线与拉伸曲线基本重合,压缩时的屈服应力与拉伸时的屈服应力大致相同。但是,随着压力继续增大,低碳钢试件将愈压愈 “扁” , 可以产生很大的塑性变形而不破裂故无法测出材料的抗压强度极限。

铸铁拉伸、压缩时的应力-应变曲线如图 2.25(a) 所示,实线为压缩曲线,虚线为拉伸曲线。比较这两条曲线可知,铸铁压缩时的强度极限内与塑性指标都较拉伸时大 ,实验测定σ

-b

σ σp

ε

图2.24

≈4σb的。故铸铁材料及其它脆性材料常用作受压构件。铸铁试件受压破坏的断口为斜截面 [图 2.25(b)],与轴线大致成 45角,这说明破坏是因斜截面上切应力使材料产生滑移所致。

工程中常用的木材是各向异性的材料,其力学性能具有方

0

向性,顺纹方向的强度比横纹方向高得多,而且其抗拉强度高于抗压强度。图2.26所示为桦木沿顺纹方向拉、压的应力-应变曲线。

最后,为了便于查阅和比较,将几种常用材料在拉伸和压缩时的力学性能列于教材表 2.2 中。

?铸铁压缩 铸铁拉伸 o(a)

?图 2.25

(b)

.

图2.26

§2–6 温度和时间对材料力学性能的影响

一、温度对材料力学性能的影响（短期，静载下） 总趋势:

温度升高, E、?S 、?b下降；?、? 增大。但在260°以前随温度的升高， ?b反而增大，同时?、?却减小。但象低碳钢这种在260°以前的特征，并非所有的钢材都具有。

二、蠕变与松驰（高温，长期静载下）

1、蠕变：

在高温和长期静载作用下，即使构件上的应力不变，塑性变形却随时间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。

2、应力松弛：

在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小。这种现象称为应力松弛。

§2.7 拉伸和压缩中的超静定问题

一、简单的超静定问题

1、超静定问题

图2.27(a)为静定问题，若中间再加一个杆3，由平衡方程不能求解所有未知力,即为超静定问题。

再如图2.28(a)，匀质杆上下两端均固定，未知个数大于方程个数，故为超静定问题。

超静定问题：单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。 此时

图 2.27

未知力个数多于平衡方程式个数，其差数称为超静定次数。

2、超静定次数的确定

超静定次数=未知力的个数-平衡方程的个数=多余未知力的个数(多余约数的数目)。 3、一般超静定问题的解法

1) 解除“多余”约束，使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基），建立静力平衡方程。

BAC △LAC=△LCB

P 2) 根据“多余”约束性质，建立变形协调方程。 3) 建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。

4) 联解静力平衡方程以及根据变形协调方程和物理方程所建立的补充方程，求出未 知力（约束力或内力）。

变形协调条件应使静定基变形与原超静定结构相一致。

【例2.5】 如图2.29(a)，已知等截面直杆的A两端固定，求A，B处的约束反力。

【解】此结构的约束力个数为2，独立平衡方程数为1，属于一次超静定问题 （1） 静力平衡方程

如图b所示解除B处约束，即得相应静定

A(a)

图 2.28

(b)

，

RAA基，静定基上除B处给以相应约束力还作用有P， 由

。 得

即

（a）

外，

a C b C PBBRB(b)

(a)

图 2.29

（2）变形协调方程

（b）

（3）物理方程

由胡克定律律= （c）

将（c）式代入（b）式得补充方程

或 （d）

（4）求解 （a）、（d）式得

（）

（）

【例2.6】 图2.30(a)所示杆系结构中AB杆为刚性杆，①、②杆刚度为 EA，外加载荷为 P，求①、②杆的轴力。

【解】（1）静力平衡方程

如图(b)所示，N1，N2为①，②杆的内力；XA、YA为A处的约束力，未知力个数为4，静力平衡方程个数为3（平面力系），故为一次超静定问题。

由

得

即

（a）

（2）变形协调方程

图 2.30

或

（b）

（3）物理方程

， （c）

由（c）（d）得补充方程

（4）由（a）和（d）式得

（拉力）

（拉力）

d） （

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