二阶偏微分方程的分类

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型.

个具有同一种

符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在

(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.

若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.

在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：

椭圆型：

双曲型：

超双曲型：

抛物型：

式中Φ为不包含二阶导数的项.

[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为

(2)

a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零. 方程

a11dy

2

a12dxdy+a22dx=0

2

称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.

在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类：

当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.

在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：

（i） （i） 双曲型：因Δ>0，存在

两族实特征曲线

，

式

或

和

，

，作变换

（ii） （ii） 抛物型: 因Δ=0，只存

在一族实的特征曲线数

，使

，取二次连续可微函

，

，

，作变换

方程化为标准形式

（iii） （iii） 椭圆型：因Δ<0，不存

在实特征曲线，设

为换

，

的积分，

不同时为零，作变量替

,

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