初二数学竞赛辅导资料(27)

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初二数学竞赛辅导资料（27）

面积法

内容提要

1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换．运用面积公式及有关面积性质定理解答

几何题是常用的方法，简称面积法． 2. 面积公式（略）

3. 两个三角形的面积比定理

① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比

② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 ③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方

④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）．如图△ABC和△ADC有公共边AC， M内分BD

AA第三顶点连线BD被公共边AC

内分或外分于点M，

SBM则△ABC＝ S△ADCMDCBMDCAM M外分BD D A

BMDMD

BBCC

定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比例题

例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项

已知：菱形ABCD中， ∠DAC＝30 求证：AB2＝AC×BD

证明：作高DE，∵∠DAE＝30

∴DE＝

??DCEBA111AD＝AB S菱形ABCD＝AB×DE＝AB2 222S菱形ABCD＝AC×BD， ∴AB2＝AC×BD

例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值

已知：△ABC中，AB＝BC＝AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G

A是垂足

求证：DE＋DF＋DG是一个定值

F G 证明：连结DA，DB，DC，设边长为a, D S△ABC＝S△DBC＋S△DCA＋S△DAB

BEC11aha＝a（DE＋DF＋DG） 22 ∴DE＋DF＋DG＝ha

∵等边三角形的高ha是一个定值， ∴DE＋DF＋DG是一个定值本题可推广到任意正n边形,其定值是边心距的n倍例3.

已知：△ABC中，

ADBECF1??? ABBCCA3 求：

S△DEF的值

S△ABCADFBEC

解：∵△ADF和△ABC有公共角A

1∴

S△ADF＝AD?AF3AB?23AC2S△ABCAB?AC＝AB?AC＝9，同理

S△BED2S△CFES＝，

＝2， ∴S△DEF＝1 △ABC9S　△ABC9S△ABC3（本题可推广到：当

ADAB?1m，BEBC?1n，CFCA?1p时， S△DEFmnp?m?n?p?mn?mpS＝?np）

△ABC

mnp例4.

如图Rt△ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE分成3个三角面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x．

C 解：∵CE平分∠ACB， 30CA?CECA6 ∴

S△CAE30xS＝?? △CEB6?xCB?CECBAEDB ∵CD是 Rt△ABC的高 ∴△CAD∽△BCD，∴30?6x?(CACB)2 ∴

30?6302x?(6?x) 解得x1= 4, x2=9 (两解都适合) 例5. 设一直线截△ABC三边AB，BC，CA或延长线于D，E，F那么 ADDB?BEEC?CFFA?1 （梅涅劳斯Menelaus定理） A 证明：连结AE，根据三角形面积比定理④得 S△AEFADS△BEFBES△CEFDCS＝DB，S＝，＝CF △BEF△CEFCES△AEFFABE∴

AD?BE?CF?S△AEFS×S△BEF×S△CEFFDBECFA＝1 △BEFS△CEFS△AEF例6. 已知MN 是△ABC的中位线，P在MN上，BP，CP交对边于D，E 求证

AEBE?ADDC?1

A 证明：连结并延长AP交BC于F，则AP＝PF

∴S△S△ECPA＝CPF， S△BPA＝S△BPF M DS△CPAS△BPAS△CPF＋SN

AEADPBE?DC?S＋＝△BPFS＝1 △BPCS△BPC△BPCB C

F例7.如图已知：△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB，△ACM和△BCN都是等边三角形求证：MN被AC平分

证明：连结AN，∵△ABC中∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB

MbC ∴∠ACB=30? ∴∠CAN=90? ∠BCM＝90? 603060　abK　a∴S△ACM＝

1N2ba, S1△CAN=2ab ∴S△ACM＝S△CAN， AB形，已知其中两个

∵△ACM，△CAN有公共边AC， ∴MK＝KN

A练习

E1. 如图△ABC面积是96，D分BC为2∶1，