中国石油大学 大物2-1 7章习题解答03--

习题7

7-1. 选择题

1．若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m0，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为( )

(A) pV/m0 (B) pV/ (kT) (C) pV /(RT) (D) pV/(m0T) 2．关于温度的意义，有下列几种说法 (1) 气体的温度是分子平均动能的量度

(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义 (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同 (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度 上述说法中正确的是( )

(A) (1)、(2)、(4) (B) (1)、(2)、(3) (C) (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4)

3．三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，而方均根速率之比

21/221/221/2

为(vA2∶4，则其压强之比pA∶pB∶pC为( ) (vC)= 1∶)∶(vB)∶

(A) 1∶2∶4 (B) 4∶2∶1 (C) 1∶4∶16 (D) 1∶4∶8

4．下列各式中表示气体分子的平均平动动能的是( )。(式中，m为气体的质量，m0为气体分子质量，M为气体的摩尔质量；n为气体分子数密度，NA为阿伏伽德罗常数，V为气体的体积)

(A) [3m0/(2m)] pV (B) [3m/(2M)] pV (C) (3/2)npV (D) [3M/(2m)] NApV

5．一容器内装有N1个单原子理想气体分子和N2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T的平衡态时，其内能为( )

(A) (N1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT]

(B) (1 /2 ) (N 1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT] (C) (3/2) N1kT+ (5/2) N2kT (D) (5/2) N1kT+ (3/2) N2KT

6．已知一定量的某种理想气体，在温度为T1与T2时的分子最可几速率分别为vp1和vp2，分子速率分布函数的最大值分别为f（vp1）和f（vp2）。如果已知T1>T2，则( )

(A) vp1>vp2 f（vp1）>f（vp2） (B) vp1>vp2 f（vp1）<f（vp2） (C) vp1<vp2 f（vp1）>f（vp2）

(D) vp1<vp2 f（vp1）<f（vp2）

7．两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的( ) (A) 平均速率相等，方均根速率相等 (B) 平均速率相等，方均根速率不相等 (C) 平均速率不相等，方均根速率相等 (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等

8．麦克斯韦速率分布曲线如习题7-1(8) 图所示，图中A、

B两部分面积相等，则该图表示 ( )

(A) v0为最可几速率。

(B) v0为平均速率。 (C) v0为方均根速率。

0(D) 速率大于和小于 v0的分子数各占一半。

9．玻尔兹曼分布律表明：在某一温度的平衡态，有 习题7-1(8)图 (1) 分布在某一区间(坐标区间和速度区间)的分子数，与该区间粒子的能量成正比

(2) 在同样大小的各区间(坐标区间和速度区间)中，能量较大的分子数较少；能量较小的分子数较多

(3) 大小相等的各区间(坐标区间和速度区间)中比较，分子总是处于低能态的几率大些 (4) 分布在某一坐标区间内、具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比，与粒子能量无关

以上四种说法中，正确的是( )

(A) 只有(1)、(2) (B) 只有(2)、(3) (C) 只有(1)、(2)、( 3) (D) 全部正确

10．一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程和平均碰撞次数与温度的关系是( )

(A) 温度升高，减少而增大 (B) 温度升高，增大而减少 (C) 温度升高，和均增大 (D) 温度升高，保持不变而增大 7-2．填空题

1．在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是： (1)_______________________________________________________； (2)_______________________________________________________。 2． 如习题7-2(2)图所示,两个容器容积相等，分别储有

相同质量的N2和O2气体，它们用光滑细管相连通，管子

中置一小滴水银，两边的温度差为30K，当水银滴在正中

习题7-2(2)图 不动时，N2和O2的温度为TN，

2

TO

2

( N2的摩尔质量为28 10 3kg mol 1，O2的摩尔质量为32 10 3kg mol 1)

3．自由度为i的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V、压强为p时，其内能E4．已知f (v)为麦克斯韦速率分布函数,vp为分子的最概然速率, 则

vp

f v dv表

示 ；速率v > vp的分子的平均速率表达式为 。

5． 习题7-2(5) 图所示的曲线为处于同一温度T时氦（原

子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种气体分子

的速率分布曲线，其中曲线(a)是__________________气分子

的速率分布曲线；曲线(c)是__________________气分子的速

率分布曲线。 答案:

7-1．选择题

1．B；2．B；3．C；4．A；5．C；6．B；7．A；8．D；

习题7-2(5)图

9．B；10．D 7-2．填空题

1．沿空间各方向运动的分子数相等；vx2=vy2=vz2 2. 210K，240K 3.

i2pV

p

4. 速率在0~vp范围内的分子数占总分子数的比率; vvf v dv/ f v dv

vp

5. 氩；氦

7-3．在体积为2.0×10-3m3 的容器中，有内能为 6.75×102J的刚性双原子分子理想气体。试求：

（1） 气体的压强；

（2） 分子的平均平动动能及气体的温度（设分子总数为 5.4×1022 个）。

[解] (1)理想气体的内能 E N kT (1)

i

2

压强 p nkT

N

kT (2) V

由(1)、(2)两式可得 p

2E

1.35 105 Pa 5V

(2) 由 E N kT 则 T

i2E

362K

25kN33

又 w kT 1.38 10 23 362 7.5 10 21 J

22

7-4．容器内储有氧气，其压强为 p = 1.01×10 5 Pa，温度为 t= 27℃。试求：

(1)单位体积内的分子数； (2)分子的平均平动动能。 解：（1）由p nkT

p1.01 10525-3n 2.44 10m 23

kT1.38 10 300

33 23 21

（2）w kT 1.38 10 300 6.21 10J

22

7-5．容器内某理想气体的温度T＝273K、压强p=1.00 ×10-3atm（1atm=1.013 105Pa），密度为 1.25g m 3。试求： (1)气体的摩尔质量；

(2)气体分子运动的方均根速率；

(3)气体分子的平均平动动能和转动动能； (4)单位体积内气体分子的总平动动能； (5)0.3mol该气体的内能。 [解] (1) 气体的摩尔质量

Mmol N0m N0

kT

p

1.25 10 3 1.38 10 23 273-1

0.028kg mol 6.02 10 35

1.00 10 1.013 10

23

所以该气体是N2或CO (2) 由P nkT 得 n 所以 m

2

P kT

n

kT

P

3kT3kT3P3 1.00 10 3 1.013 10 3-1

m s所以 P 493 3

m kT 1.25 10

(3) 气体分子的平均平动动能

kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21J

3

232

气体分子的转动动能

2 kT 1.38 10 23 273 3.77 10 21J

(4) 单位体积内气体分子的总平动动能

22

E n1

p333

kT p 1.00 10 3 1.013 105 1.52 102J m-3 kT222

(5) 该气体的内能

i5

E 0.3Emol 0.3 RT 0.3 8.31 273 1.701 103J

22

（删除）7-6．设N个粒子的系统的速率分布函数为:dNv=kdv (V>v>0，k为常量)，dNv=0

(v> V)，

(1) 画出分布函数图； (2)用N和v定出常量k； (3) 用V表示出算术平均速率和方均根

速率。

7-7．有N个质量均为m0的同种气体分子，f(v)是速率分布函数，N f(v)随速率的分布如习题7-7图所示。试问：

(1)曲线与横坐标所包围面积的含义； (2)由N和v0求a值；

(3)在速率v0到3v0间隔内的分子数；

2

2

(4)分子的平均平动动能。 解：（1）曲线下的面积表示总分子数N （2）根据图可得

a

a vv 0

Nf(v)

a 0

(v0 v 0)(2v0 v v0)

(其他)

0总分子数可表示为：

习题7-7图

Nf(v)dv N，

1

av0 a(2v0 v0) N 232Nv0a N, a 23v0

（3）在速率v0到3v0间隔内的分子数为：

2

2

3v0

2v02

a3172

vdv adv av0 av0 av0

v0

v08212

Nf(v)dv v0

2

v0

3v

（4）速率分布函数为

a

Nvv

f(v) a

N 0

(v0 v 0)(2v0 v v0)

(其他)

则分子的平均平动动能为：

v012v01m0a37m0a331m0av03122a2a m0vf(v)dv m0vvdv mvdv v0 v0

0202v020v0NN8N6N24N2N

又因为a ，

3v0

31m0v032N31 m0v02

24N3v036

7-8．设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为P0=1.0×105pa，已知某地的

3 1

海拔高度为h=2000 m，空气的摩尔质量29 10kg mol，试求该地的气压值。

p0e 1.01 10 e 7.95 10Pa 解：p p0e

7-9．试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率，取分子有效直径为

3 1

3.5×10-10m，空气平均摩尔质量为29 10kg mol。

m0gz

kT

MgzRT

5

29 10 3 10 20008.31 (273 17)

4

kT1.38 10-23 273-8

解： 6.85 10m 2-1025

2πdp2 3.14 3.5 10 1.01 10

8RT8 8.31 273 m s 1 4.46 102 m s 1 3

πM3.14 29 104.46 102 19 1 s 6.54 10 s 8

6.85 10

7-10．设氮分子的有效直径为10-10m，试求： (1)氮气在标准状态下的平均碰撞次数； (2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa时的平均碰撞次数。 解：（1）分子的平均速率

8RT8 8.31 273

m s 1 4.54 102 m s 1 3

πM3.14 28 10

由气体的压强公式可求得气体分子的数密度

p1.013 105 325 3

n m 2.69 10 m

kT1.38 10 23 273

平均碰撞次数

2n d2 2 2.69 1025 3.14 10-10 4.54 102

2

5.42 10次 s

8-1

（2）温度不变的情况下，分子的平均速率不变，又因为

n d

2

2p d2p

，所以1 1

kT2p2

p21.33 104

2 1 5.42 108 7.14 107次 s-1 5

p11.01 10

7-11．设电子管内温度为300 K，如果要管内分子的平均自由程大于10cm时，则应将它抽到多大压强？(分子有效直径约为3.0×10-8 cm)。

解：气体分子的平均自由程为：

1

2

2πdnkT

，要使自由程大于0 10cm，2

2πdp

则有

kT

0，最大气压为

2πd2p

kT1.38 10 23 300p 0.1036Pa 2 102

2πd02 3.14 3.0 10 0.1

第二版补充：

1. 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为

5 10 6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转

动动能是多少?总动能是多少?

[解] 由理想气体状态方程 P

N

kT 得 V

PV5 10 6 1.013 105 10 10 612N 1.61 10

kT760 1.38 10 23 300

一个理想气体分子的平均平动动能为： e1 所以总的平均动能为：

i3

kT kT 22

3PV3335 10 6 1.013 105

E1 NkT kT PV 1.0 10 6 1 10 8 J

2kT222760

将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为

e2

r2

kT kT kT 22

所以总的转动动能为：

PV5 10 6 1.013 105

E2 Ne2 kT PV 10 10 6 0.667 10 8 J

kT760

总动能Ek E1 E2 1.667 10 8 J

2. 容积为10 10 3m3的容器以速率200s匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界

没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 又因 Ek

1

Mv2 Ek 2

MiM5

RT RT

Mmol2Mmol2

Mmol2mv23.35 10 27 4 104

v 1.9K 所以 T 5R5k5 1.38 10 23

由 p

NkT V

NMk T50 10 3 1.38 10 23 1.94

p k T 3.95 10Pa 27 3

VmV3.35 10 10 10

3. 容积为30 10 3m3 的容器中，贮有20 10 3kg的气体，其压强为50.7 103Pa。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N，则有N 该气体分子质量为 m 最概然速率为

pV

kT

MkT

M

NpV

2pV2kT2kTpV2 50.7 103 30 10 3

vp 3.89 102ms 3

mMkTM20 10

平均速率为

pV8kTkT50.7 103 30 10 32 1.60 1.60 1.60 4.39 10 3 mmM20 10

方均根速率

pV3kTkT50.7 103 30 10 3

v 1.73 1.73 1.73 4.77 102ms 3

mmM20 10

2

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