《微积分I》第1章答案

《一元函数微积分》

习题1—1

1．确定下列函数的定义域： （1）y?1x2?9；

2解：要使函数有意义，则：x?9?0 即 x?3或x??3.所以函数定义域：

(??,?3)?(3,??).

（2）y?logaarcsinx；

解：要使函数有意义，则arcsinx?0，即0?x?1.所以函数定义域：(0,1]. （3）y?1?1?x2； x?12解：1?x?0且x?1?0，即?1?x?1且x??1.所以函数定义域：(-1,1].

（4）y?31?loga(2x?3)； x?233.所以函数定义域：(,2)?(2,??). 22解：x?2?0且2x?3?0，即x?2且x?（5）y?arccos解：?1?x?1?loga(4?x2)； 2x?1?1且4?x2?0，则?1?x?3且?2?x?2。所以函数定义域：[?1,2) 21（6）y?.

sin?x解：sin?x?0,则x?k,k?Z.(其中是Z整数集),函数定义域：(??,??)\\Z.

?1?sin,x?0?2?2.求函数y??的定义域和值域,并求f??和f(0). x????x?0?0解:定义域:(??,??). 当x?0时,

11?(??,??)\\{0},故?1?sin?1. 所以值域:[-1,1]. xx2?f()?sin?1,f(0)?0. ?2

3.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同,为什么?

1

(1) f(x)?x,g(x)?解: 不同 因为g(x)?x2;

x2?|x|,即g(x)的值域是全体非负实数,而f(x)的值域是全体实数.

2(2) f(x)?cosx,g(x)?1?2sin解: 相同

x; 22因为f(x)和g(x)的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且g(x)?1?2sinx?cosx?f(x) 2x2?1,g(x)?x?1; (3)f(x)?x?1解: 不同

x2?1?x?1(x?1).两函数的定义域不同. 因为f(x)?x?1(4)f(x)?解: 相同

因为f(x)?值恒等于1.

4.设f(x)?sinx, 证明:f(x??x)?f(x)?2sinx,g(x)?x0. xx?1(x?0),g(x)?x0?1(x?0)定义域均为非零实数,在定义域内函数x?x?xcos(x?). 22?x?xcos(x?). 22证明: 由三角函数知:f(x??x)?f(x)?sin(x??x)?sinx?2sin

25.设f(x)?ax?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3,试确定a, b的值.

2解: 因为 f(x)?ax?bx?5

故f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?5?ax?(2a?b)x?(a?b?5) 由题设f(x?1)?f(x)?2ax?a?5?8x?3 所以有:2a?8且a?b?3 得:a?4,b??1.

6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) y?x(1?x);

2222 2

解: 定义域:(??,??)

f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)

所以函数是偶函数. (2)y?3x2?x3; 解: 定义域:(??,??)

f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3,f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x).

所以函数既非奇函数又非偶函数.

1?x2(3)y?; 21?x解: 定义域:(??,??)

1?(?x)21?x2f(?x)???f(x) 221?(?x)1?x所以函数是偶函数. (4)y?x(x?1)(x?1) 解: 定义域:(??,??)

f(x)?x(x?1)(x?1)?x3?x,f(?x)?(?x)3?(?x)??x3?x??f(x).

所以函数是奇函数. (5)y?sinx?cosx?1; 解: 定义域:(??,??)

f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sinx?cosx?1,则f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)

所以函数既非奇函数又非偶函数.

ax?a?x(6)y?.

2解: 定义域:(??,??)

a?x?axf(?x)??f(x)

2所以函数是偶函数.

3

7.设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数,证明:

(1)F1(x)?f(x)?f(?x)为偶函数; (2) F2(x)?f(x)?f(?x)为奇函数.

证明: 由题设f(x)为定义在(??,??)的函数, 则F1(x),F2(x)的定义域也为(??,??) (1) ?F1(x)?f(x)?f(?x)?F1(?x)?f(?x)?f(x)?F1(x),. 故F1(x)是偶函数. (2) ?F2(x)?f(x)?f(?x)?F2(?x)?f(?x)?f(x)??F2(x),.故F2(x)为奇函数.

8. 证明: 定义在(??,??)上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设f(x)是定义在(??,??)上的任意函数.

由7题知 F1(x)?f(x)?f(?x)为偶函数,F2(x)?f(x)?f(?x)为奇函数. 且 f(x)?故命题成立.

9. 设f(x)为定义在(?L,L)上的奇函数,若f(x)在(0,L)上单增, 证明: f(x)在(?L,0)上也单增.

证明: 由题设知对于任意x?(?L,L)有:f(?x)??f(x)

不防设任意的x1,x2满足0?x1?x2?L, 则?L??x2??x1?0.

11F1(x)?F2(x). 22f(x)在(0,L)上单增, 则f(x1)?f(x2)

即 ?f(?x1)??f(?x2) f(?x1)?f(?x2) 所以f(x)在(?L,0)上也单增.

10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) y?cos(x?2);

解:cos(x?2?2?)?cos(x?2), 函数是周期函数且周期T?2?. (2) y?cos4x;

4

解: cos4(x?

?2)?cos(4x?2?)?cos4x, 函数是周期函数且周期T??2.

(3) y?1?sin?x;

解: 1?sin?x?1?sin(?x?2?)?1?sin?(x?2),函数是周期函数且周期T?2. (4) y?xcosx; 解: 非周期函数 (5) y?sin2x; 解: sinx?2111(1?cos2x)?[1?cos(2x?2?)]?[1?cos2(x??)], 函数是周期函数222且周期T??. (6) y?sin3x?tanx

解: sin3x?sin(3x?2?)?sin3(x?2?), tanx?tan(x??),故原函数的周期为两函数32sin3x,tanx的周期?和?最小公倍数. 所以周期为T?2?.

3

11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定

义域.

3(1) y?x,x?sint;

3解: 构成复合函数y?sint, 定义域: (??,??). u(2) y?a,u?x;

22解: 构成复合函数y?ax, 定义域: (??,??). (3) y?logau,u?3x?2;

解: 构成复合函数y?loga(2x2?2), 定义域: (??,??). (4) y?u,u?sinx?2;

解: 不构成复合函数y?u要求u?0, 但是u?sinx?2的值域:(?3,?1). (5) y?u,u?x; 解: 构成复合函数y?232x3, 定义域: [0,??).

(6) y?logau, u?x?2.

5

解: 构成复合函数y?loga(x2?2), 定义域: (??,?2)?(2,??).

12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的?

2(1) y?3(1?x)?1;

解: y?3u,u?(1?x)2?1. (2) y?3(lnx?1);

2解: y?3u, u?v, v?lnx?1.

2(3) y?sin3(3x?1);

解: y?u3, u?sinv, v?3x?1. (4) y?3logacosx.

解: y?3u, u?logav, v?w, w?cosx.

13. 求下列函数的反函数: (1) y?2sinx;

解: 原函数的定义域: (??,??), 值域:[?2,2]. 反解: x?sin得反函数: y?sin22y. 2x. 2反函数的定义域: [?2,2], 值域: (??,??). (2) y?1?loga(x?2);

解: 原函数的定义域: (?2,??), 值域:(??,??). 反解: x?a得反函数: y?ax?1y?1?2.

?2

反函数的定义域(??,??):, 值域: (?2,??).

2x(3) y?x.

2?112x2x?1?11x0??1. 2?1?1??1?解: y?x 由于, 则

2x?12?12x?12x?1 6

原函数的定义域: (??,??), 值域:.(0,1) 反解: 2?xyy, x?log2.

1?y1?y得反函数: y?log2x 1?x反函数的定义域: (0,1), 值域: (??,??).

14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:

当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;

当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元; 当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元; 当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;

设x是销售量, y是总价, 试建立总价y和销售量x之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当0?x?20时, y?2.5x;

当20?x?50时, y?2.5?20?2.3(x?20)?2.3x?4;

当50?x?100时, y?2.5?20?2.3?(50?20)?2(x?50)?2x?19; 当x?100时, y?219?1.8(x?100)?1.8x?39

0?x?20?2.5x?2.3x?420?x?50? y???2x?1950?x?100?x?100?1.8x?39图形(略)

15. 设某商品的市场供应函数Q?S(p)??80?4p, 其中Q为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L与市场价格p的函数关系式. 解: 供应函数Q?S(p)??80?4p则总利润

L?(p?1.5)Q?(p?1.5)(?80?4p)?4p2?86p?120.

16. 用p代表单价, 某商品的需求函数为Q?D(p)?7000?50p, 当Q超过1 000时成本函数为C?20000?25Q, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).

解: 当Q?1000时 Q?D(p)?7000?50p?100 0 则价格p?120.

7

达到损益平衡, 则 pQ?C

即: p(7000?50p)?20000?25Q?20000?25(7000?50p)

p2?165p?3900?0

得p?165?107.82

2又因为价格p?120, 故p?28.59

答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.

17. 在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数, 并求此函数的定义域.

h2h22解: 设圆柱的半径为R, 则满足R?r?()?r?

2422h21)h??r2h??h3. 圆柱的体积: V??Rh??(r?4422定义域: (0,2r)

18. 已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F或0℃, 水的沸点温度为212F或100℃.

(1) 写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系; (2) 画出该函数的图形;

(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?

解: (1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 y?ax?b 其中a , b为常数. 由题知:

?32?a?0?b?a?1.8 ???212?100a?bb?32??函数关系: y?1.8x?32 (其中x的度量单位是℃, y的度量单位是F) (2) 函数图形(略)

(3) 摄氏20℃时, y=1.8?20℃+32=68(F)

习题1－2

2．（1）证明：???0，要使1?111?1???，即n?。

?nn 8

只须取N=???1, 则当n?N时，有1??1??

n???因此 lim(1?n???1?11)?1。 n1?(?1)n242?0????（2）证明：???0，要使，即。 n?n2n2n2?1?(?1)n?2??0?? 只须取N=?2??1, 则当n?N时，有n???1?(?1)n?0。 因此 lim2n??n（3）证明：???0，要使x?0?x??，

只须取???，则当x?U(0,?) 时，有x?0?x????成立

?x?0 因此 limn??x2?4?4?x?2??， （4）证明：???0，要使

x?2x2?4 只须取???，则当x?U(2,?) 时，有?4?x?2????成立

x?2?x2?4?4 因此 limn??x?2（5）证明：???0，要使

1111?0????，即x??1

?x?1x?1x?1 只须取X?1??1，则当x?X时，有

1?0??成立 x?1 因此 lim

1?0

n??x?1xxx（6）证明：???0，要使esinx?0?esinx?e??，即x?ln?

x 只须取X?ln??0，则当x??X时，有esinx?0??成立

x?0 因此 limesinn??x 9

3．（1）解：略

f(x)?limx?1 （2）解：lim??x?1x?12(x?1)?2 limf(x)?lim?x?1?x?1f(x)?lim f(x) （3）解：? lim-?x?1x?1

?当 x?1时，f(x)没有极限。

x?04．（1）解：lim?xx?lim?1 xx?0?xxx1?lim?lim?1 22??x?0x?0x?1x?xx?x （2）解：lim?x?0 （3）解lim?x?0xx1?lim?lim??1

x2?xx?0?x2?xx?0?x?1习题1-4

1、求下列极限

111????（1）解：lim(

n??1?22?3n?(n?1)11111?1? =?lim?(1?)?(?)???(?)??lim(1?)?1

n??n??223nn?1n?1??12n1?2???n????)lim=

n??n2n2n2n??n211?

n(n?1)n?1n=1 lim =lim==limn??n??2nn??22n22

（2）解：lim(x2?522?5（3）解：lim==-9

x?2x?32?3x?10x2?2x?1(x?1)2lim??0 （4）解：lim==lim2x?1x?1x?1x?12x?1(x?1)(x?1)(x?h)2?x2(x?h?x)(x?h?x)（5）解：lim=lim=lim(2x?h)?2x

h?0h?0h?0hh3（6）解：limx?1x?1x?1=limx?1(3x?1)(3x2?3x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?x?1)323

10

=limx?1(x?1)(x?1)(x?1)(3x2?3x?1)=lim2=

x?13(x2?3x?1)3(x?1)x2?512?5（7）解：lim==?3

x?1x?31?3x?1?1?1x3（8）解：因为lim3==0，所以lim=?

x?1xx?1x?11x2?3(3)2?30（9）解：lim2===0 2x?3x?1(3)?14x3?x（10）解：lim3=limx??2x?3x2?1x??1?2?1x231?3xx11?22x?xxx=0?0 （11）解：lim3=limx??x?3x2?1x??3111??3xx(x?1)(x?2)(1?x?x2)?313limlim（12）解：lim(== ?)333x?1x?1x?11?x1?x1?x1?x=

1 2 =limx?1?(x?2)=?1 2x?x?12、求下列极根

100001000n（1）解：lim2=nlimn=?0

n??n?1x??111?2nn2?nlim（2）解：lim=n??n??n?21n2=1 1?n1?1?an?11?a?a2???an1?a=1?b lim（3）解：lim=

n??1?bn?1n??1?b?b2???bn1?a1?b12n1?(?)?(?2)n?3n333=1 （4）解：lim=limn??n??(?2)n?1?3n?123(?)n?1?13

11

（6）解： lim2x?1(2x?1)(2x?1)lim==4 13x?11x21(2x?1)(3x?1)x?x?6?5x?1x?2224x2?1=lim3、求下列极限：

sinx)=?

x???x11（2）解：limx?cos?0（当x?0时，x为无穷小量，cos为有界量）

x?0xx（1）解：lim(ex?（3）解：limn???nantanx?0 （4）解：limx??x?xsinn??0（当n?0时，

?为无穷小量，sinn?为有界量） ne?x（5）解：因lime??，limanctanx??， 所以lim不存在

x???x???x???2antanx?

（6）解：lime?xancotx?0

x???4、下列各题的做法是否正确？为什么？

（1）错。因为分式分母的极限为零，故不能利用极限的商的运算。

x?90x?9??0，所以lim2?? 正确做法：因lim2x?9x?9x?9x?97211（2）错。因为差式中lim与lim2都不存在，故不能利用差的运算求极

x?1x?1x?1x?1限。

11(x?1)?11?2)=limlim正确做法：lim(=，

x?1x?1x?1x2?1x?1x?1x2?1x2?10 因lim=?0

x?11x 所以lim(x?111?2)?? x?1x?1（3）错误。因为limcosx不存在，故不能利用乘积的根限运算。

x???正确做法：

因当x??时，

1为无穷小时，cosx为有界量，利用无穷小量与有界量乘x积是无穷小量。

cosx?0 所以limx???x习题1－5

1．（1）解：lim

sinax?asinaxbx?a?lim?????

x?0sinbxx?0baxsinbx?b?12

（2）解：limtanx?sinxtan(1?cosx)tanx?lim?lim?33x?0x?x?0xxx22sin2x2x2

x??sin??1sinx12??1 ??lim?2x?0xcosx?x?2???2?（3）解：lim1?cosx?limx?0xsinxx?02sin2x2xx2xsincos22?1lim2x?0x2sinx2?1cosx2?1 2（4）解：lim2x?tanxtanx?x1?2x?lim???lim?2?1?1 ??2limx?0x?0sinxx?0sinxx?0cosxsinxtanx?cosx??arcsinxarcsinxarcsinx?yy?arcsinxx?（5）解：lim?lim???lim?????lin?1 ?x?0sinxx?0x?0y?0sinx?xsiny?xxx????3333?3?????（6）解：lim?1???lim??1?????lim?1????e3

x??x????x???x???x??x??????x33?x??1???1?（7）解：lim?1???lim??1???x??x??x?x????????x?1?x??1????lim?1???x???x???????1?e?1

2?1?（8）解：lim?1??x???x?x?2?1??1??1??1??lim?1????1???lim?1??lim?1???e x??x???x??x??x?x???x??lim(1?tanx)x?01tanx?ytanxx2x（9）解：lim(1?tanx)x?0cotx????lim(1?y)?e

y?01y2a?2a??x?a???（10）解：lim???lim?1???lim?1??x??x?ax??x??x?ax?a??????x?a??2a2a??? ?lim??1??x????x?a????2aaxxx?a2a???1?? ?x?a?2aax?a??2a2a?2a????lim?1???lim?1???x???x???x?a???x?a???x2?1?e2a

?x?2???lim（11）解：

x???x2?1???2x2?11???lim?1?2?x??x?1??n?e

nnn1???1?（12）解：lim?1?2??lim?1??x???n?x???n?

n1?1??1??1???1???lim?1??lim?1???e??1

e?n?x???n?x???n?13

2．（1）证明：

?12n12n?????x????? nn2?n?n2?n?n2?n?n2??n2??n2??1n(n?1)1n(n?1) ?22?xn?22n?n?n??1n(n?1)1n(n?1)112?， lim22? 又 lim2x??n?n?x??n?n?22根据夹逼准则知 lim

（2）证明：设xn?1?12n1????? 22x??n2??n?2?n?n?22?xn(n?1,2,?),x1?2

显然xn?0(n?1,2,?)。 当n?1,x1?2?2， 假定n?k时，,xk?2，

当?k?1时，xk?1?2?xk?2?2?2，

由归纳法知xn?2(n?1,2,?)，则xn有上界；

又xn?1?xn?2?xn?xn?2?xn?xn22?xn?xn??(xn?2)(xn?1)2?xn?xn

由 xn?2 知 xn?1?xn?0， 则xn单调增加；

根据单调有界准则知数列2,2?2,2?2?2,?的极限存在。

2a?2a??x?a???3．解：?lim???lim?1???lim?1??x??x?ax??x??x?ax?a???????2a?? ??lim??1??x????x?a?? 由已知 e4．解：5年后价值

2axxx?a2a???1?? ?x?a?x?a2aax?a2a????2a?2a?2a???lim?1???lim?1???x??x????x?a??x?a??a????2a?e2a

?4 解得 a?ln2。

1?0.05?pk?lim10?1??x??n??5n20n??1???10lim??1???n??20n??????4?10e?12.84（万元）

14习题1-6

14

1．证明：???x?~??x? 即lim??x?~??x?

??x???x??1,lim?1 ??x???x???x???x???x???x???x??lim?lim??lim?lim?1

??x???x???x???x???x?即 ??x?~??x?。 2．（1）limsin2x2x2?lim?；

x?0sin3xx?03x3sin2x2x?lim?2; （2）limx?0arctanxx?0x（3）limx?0sinxn?sinx?mx?1,n?mx??limm??0,n?m； x?0x??,n?m?n（4）lim?x?01?cosx?lim?x?0x12x2?2

xsinx?1 2x?0x? 当x?0时，xsinx是x的2阶无穷小。

132sinx?sinxcosx?cos2x22?3 4．?lim?limx?0x?0x2x22? 当x?0时，cosx?cos2x是x的2阶无穷小

3．?lim5．（1）d; (2) b; (3) c; (4) a

习题1-7

1．（1）f?x??x的连续区间为???,0???0,???； x （2）f?1?0??1 f?1?0??1?f?1?；

f??1?0???1 f??1?0??1 ?-1是间断点

连续区间为???,?1????1,???；

2．（1）limf?x??limx?0x?1，x=0为第1类间断点中的可去型间断点。 x?0x（2）x=-1为第一类间断点中的跳跃型间断点。

15

3．当x?k??而limx?k???2(k?0,?1,?2,?)时，tanx无意义，故为间断点

?2?x； ?0，故x?k??(k?0,?1,?2,?)为可去型间断点（第一类）

2tanxx无意义，故为间断点 tanx当x=0时，tanx=0，y?而limx?1，故x=0为可去型间断点（第一类）；

x?0tanxx当x?k?(k?0,?1,?2,?)时，tanx=0, y?无意义，故为间断点

tanxx??，故x?k?(k?0,?1,?2,?)为无穷间断点。 而limx?k?tanx4．f?1?0??e f?1?0??A?1 f?1??1?A 故A=e-1

5.f?0?0??1 f?0?0??1 所以limf?x??1

x?0但f(0)=0,所以f(x)在x=0不连续，x=0是f(x)的可去型间断点。

习题1—8

1．?f(x)在[a,b]上连续，?limf(x)?f(x0),(?x?[a,b])，又?f(x)?0

x?x0?f(x0)?0，故limx?x0111??(?x?[a,b])。 f(x)limf(x)f(x0)x?x02（1）limx?2x?5?x?02(sin2x)3?1 5； （2）lim?x?4 （3）lim2cos4xsinx?2； （4）limx?0x?asinx2cosx?ax?asin22?cosa x?aab(at?1)?ablna （5）令t?x?b,limt?0t1?3x) （6）lim[ln(x?013x3]?e3； （7）limx?0x?1

x2?xex(1?e?2x) （8）limx?1； （9）??

x??e(1?e?2x) （10）lim(?x?2x?2x?2x?2?1x?2)?lim[?x?2x?2(x?2)x?2?1x?2]?1 2 16

xxa1xx?x （11）lim；（12）limln[(1?)]? ??12x?0x??aax?1(x?1)3．（1）x2?x?6?0,(??,?3)?(?3,2)?(2,??)；（2）(??,0)?(0,1)?(1,??) 4．?f(0?0)?e0?1,f(0?0)?b,f(0)?b,?当b?1，a为任意数时f(x)处处连续

a1习题1—9

1．证明：令f(x)?x4?x?1,?f(0)??1?0,f(1)?1?0?至少存在一点??(0,1),

使f(?)?0

2．?f(x)在[a,b]上连续，?在[a,b]上f(x)有最大值M和最小值m，于是 当x?[a,b],m?f(x)?M,?ti?0?tim?tif(xi)?tiM(i?1,2?n)

n个式子相加得：m?t1f(x1)?t2f(x2)???tnf(xn)?M，根据介值定理至少

存在一点??[a,b]使得：f(?)?t1f(x1)???tnf(xn)

3．令f(x)?(x?b)?asinx,?f(0)??b?0;f(a?b)?a[1?sin(a?b)]?0,

????(0,a?b),使得f(?)?0

a?ba?bb?a?b,?在[a,]上对函数F(x)?f(x)?f(x?)用零点定理 222a?ba?ba?ba?b),F()?f()?f(a);?F(a)F()?0 ?F(a)?f(a)?f(2222a?bb?a)?(a,b)，使F(?)?0既得：f(?)?f(??) 至少存在一点??(a,224．?a?5．?f(x)在[a,b]上连续，?x?[a,b],m?f(x)?M，又a?x1?x2?b

[x1,x2]?[a,b],?A?0,B?0,?Am?Af(x1)?AM,Bm?Bf(x2)?BM两式相加 得：m?Af(x1)?Bf(x2)?M，所以至少存在一点??[a,b]使得

A?B Af(x1)?Bf(x2)?(A?B)f(?)

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