高代（下）复习

《代数与几何(下)》复习

一、选择题

71．下列集合中是

R3的子空间的为（ ），其中??(x1,x2,x3).

'

A.

??x3?0?;

B??x1?2x2?3x3?0?; C??x3?1?; D.

??x1?2x2?3x3?1?.

72．下列集合有（ ）个是

Rn的子空间.

w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}.

. 1 个;

AB. 2 个;

C. 3 个;

D. 4个.

75．（1）线性变换

?的特征向量之和仍为

?的特征向量；

（2）属于线性变换

?的同一特征值

?0的特征向量的任一线性组合仍是?的特征向量；

（3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是AA. 1 个；

的属于

?0的特征向量. C．3 个 ；

以上说法正确的有（ ）个。 75.

B. 2 个 ；

D. 4个。

n阶方阵A. 充要条件；

具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）。

AB.充分而非必要条件；C. 必要而非充分条件；D. 既非充分也非必要条件.

76. 对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ ）。

A. 一定有n个不同的特征根；B. 存在正交矩阵

P，使

P?AP成对角形；C. 它的特征根一定是整数；D. 属于不同特征根的特征

向量必线性无关，但不一定正交.

77. 设

?1,?2,?3与?1,?2,?3都是三维向量空间V1001??1?1??的基，且

?1?a1,?2??1??2,?3??1??2??3，则

?1?矩阵P??1?0?A.?2,?1,?373．设?是由基

?1,?2,?3到（ ）的过渡矩阵。

B.?1,?2,?3 C．

?2,?3,?1 D.?3,?2,?1

,?是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）.

A.

??????2????2????2；

BD.

??????????????；

C74.

222. ； . .

A是n阶实方阵，则A是正交矩阵的充要条件是（ ）.

1

A.

AA?1?I；

B.

A?A/；

C.

A?1?A/ ；

D.

A?I2.

二、填空题

95. 二次型

f(x,y,z)??x?y?z?xy?xz?yz1k0??0?k?2??0222的矩阵是____________.

96.

?1?A?1???0是正定阵，则k满足条件__________________。

97 . 当t满足条件 ，使二次型98. 设

f?x1?2x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定的。

222n阶实对称矩阵AA的特征值中有r个为正值，有n?r为负值，则

A的正惯性指数和负惯性指数是 。

103. 设为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则

A? 。

104.

A满足

A?2A?I?0，则A2有特征值______________________。

111. 已知4阶矩阵

A相似于

BA，且

A的特征值为

2,3,4,5，则B?E?1,2,3，则矩阵

________________.

112. 已知3阶矩阵的三个特征值为

B?A?2A?A?2E32的特征值为

_____________________;

B?_______________.

n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 。

106. 设矩阵A是n阶零矩阵，则A的n个特征值是 。

105. 设

107. 如果A的特征值为

?，则

AT的特征值为 。

＊114. 复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC?_____，它的一个基为____。 C?____，它的一个基为_____。

＊115. 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dim1. 在

P4中,设

?1?(2,1,3,1),?2?(1,2,0,1),?3?(?1,1,?3,0),?4?(1,1,1,1),则由该向量组生成的子空间的维数

为 ,一组基为 .

3. 设

?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1);?1?(2,?1,0,1),?2?(1,?1,3,7),则L(?1,?2)与 L(?1,?2)的和的维数为________,一组基为_______________________________________.

/123. 令

S是数域

F上一切满足条件

A?A的n阶矩阵A所成的向量空间，则dimS= 。

122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。 120. 设V与W都是

F上的两个有限维向量空间，则V?W? 。

121. 数域F上任一n维向量空间都与Fn 。（不同构，同构）

118. 设{?1,?2,??n}是向量空间V的一个基，由该基到{?2，?，?n，?1} 的过渡矩阵为___________________。

119. 设{?1,?2，?，?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?n，?n?1?，?1} 的过渡矩阵为__________。

2

5. 在

P2?2中定义线性变换

?(X)???c??ab??Xd??,则

?在基

E11,E12,E21,E22下的矩阵为 .

6. 在

P2?2中定义线性变换

?a?(X)?X??c?b??,则??d?在基

E11,E12,E21,E22下的矩阵为 .

110. 若线性变换

?关于基

??1,?2?的矩阵为???a?cb??d?，那么线性变换

?关于基

?3?2,?1?的矩阵为 。

的一个基，

117. 设V是数域C上的3维向量空间，

是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V?关于该基的矩阵是

?1??1?1?129. 设

1221??3?，???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。 ?3??n???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?，则在R中,?,?R中,?1??1,2,3?,?2??0,1,2?,则?1,?3?3= 。

125. 在 。

126. 在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为__ _ __。

x2127. 在欧氏空间C[?1,1]里的长度为_________。

8.

R3的一组基

?1?(1,1,1),?2?(1,0,?1),?3?(1,0,1)的度量矩阵 (内积接通常定义) 为 . 10. 设欧氏空间

R3[x]的内积为(f(x),g(x))??1?1f(x)g(x)dx,则基?1?1,?2?x,?3?x2的度量矩阵为

__________________.

113. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。

124. 设

?为变换，V为欧氏空间，若??,??V都有

?(?),?(?)??,?，则

?为 变换。（复习对称变换与正交变换）

128. 设??L(V),V是欧氏空间，则

?是正交变换? 。

112. 实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。 99.

A相似于单位矩阵，则

A = _______________。

7. 同一线性变换在两组基下的矩阵是 关系;同一欧氏空间的两组基的度量矩阵是 关系. 三、计算题

129. 判断实二次型10

x1?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3是否正定的。

222222132.

t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3正定。

t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3正定。

3

222133.

135. 求一正交线性替换(正交变换)为标准形。

X?QY化

f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x2x3?4x1x2

22136. 求一个可逆变换

X?PY把二次型

f(x1,x2,x3)?4x1?3x2?2x2x3?3x32222化为标准形。

137. 将二次型

f(x1,x2,x3)?2x1?2x1x2?4x1x3?6x2x3?x32222化为规范形，并指出所用的线性变换。

138. 化简二次方程

x?y?5z?6xy?2xz?2yz?4x?8y?12z?14?0，并判断其曲面类型。

f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x1x2?4x2x3化为标准型,并指出f(x1,x2,x3)?1表

22139. 求一正交变换,将二次型示何种二次曲面. 140. 设

A是实对称矩阵，证明:当实数t充分大之后，tE?A是正定矩阵。

141. 设

f(x1,x2,?,xn)?XTAX是一个实二次型，若有

n维向量

X1,X2使得

X1AXT1?0，

XT2AX2?0。证明：必存在实非零n维向量X0使X0AXT0?0。

?4?144. 设A??2?2?2422??T2?，求一个正交矩阵Q,使QAQ4??为对角形矩阵。

?1?147.设A?2??1??3?148.设A??2???32112?261??1?3??，用初等变换求一可逆矩阵

P,使PAPT是对角形式。

?1??2??1???2x?2,求可逆矩阵T, 使T?1AT是对角形矩阵。

?1?150. 设矩阵A???2??4??4??5???2?与B???1???ny???相似，求x,y?4??。

n151. 验证

Rn中的子集（1）

?(a1,a2,...,an)?aii?1?1（2）?(a1,a2,...,an)?；?aii?1?0?是否为子空间。

139. 已知向量组和一个基。

?1=(1,1,0,-1), ?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间span(?1, ?2, ?3, ?4)的维数

156. 考虑

R3中以下两组向量{?1?(?3,1,?2),?2?(1,?1,1),?3?(2,3,?1)}；

，证明{{?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(2,0,1)}

?1,?2,?3}和{?1,?2,?3}都是

R3的基。并求出由基

4

{?1,?2,?3}到{?1,?2,?3}的过渡矩阵。

151.

?1?(1,1,1),?2?(1,1,2),?3?(1,2,3),??(6,9,14)，求

?关于基

?1,?2,?3的坐标。

?1??0??1???????3153. 设R中的两个基分别为?1??0?,?2??1?,?3??2??1??0??2????????1??1??1???????，?1??0?,?2??1?,?3??1??0??0??1???????（1）求由基

?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。

?1???（2）已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?3??0?????1?(1,0,?1)?3R中的两向量组??2?(2,1,1)???(1,1,1)?3，求

?在基

?1,?2,?3下的坐标。

158. ，

??1?(0,1,1)???2?(?1,1,0) ???(1,2,1)?3（1）证明它们都是

R3的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，

在基{（3）如果?在基{，求??1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2）?1,?2,?3}下的坐标。

159. 在

P4中，求由下列齐次线性方程组确定的解空间的基与维数。

?3x1?2x2?5x3?4x4?0? ?3x1?x2?3x3?3x4?0?3x?5x?13x?11x?0234?1?15?20???8?11?15?75??8?6??157. 设

F上三维向量空间的相性变换

?关于基

{?1,?2,?3}的矩阵是,求

?关于基

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?4?2??3,?3??1?2?2?2?3 的矩阵。

11. 已知3维线性空间V的两组基

?1,?2,?3和?1,?2,?3,

的线性变换

且

?1?2?1??2?3?3,?2??1??2?2?3,?3??1??2??3,又V748?5???1?3???在基

?1,?2,?3?5?下的矩阵为A??0?2?,求

?在基

?1,?2,?3下的矩阵.

?1?312. 已知P的线性变换?在基?1?(?1,1,1),?2?(1,0,?1),?3?(0,1,1)下的矩阵为A??1??1?0121??0?1??,求

? 5

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